大二上-概率統(tǒng)計chap

第二 方一、方差的定義及計算公二、離散型隨量的方差三、連續(xù)型隨量的方差星期 上 下 返引例：設(shè)X，YZ的分布律分PX0PY11,PY1 PZ1001,PZ100 X，YZ問題：如何定義 星期 上 下 返 如何定星期 上 下 返一般希望了解 量X取值與期望E(X)的分散程度通常是用E(XE(X))2來度量 可能最先想的是用E(XE(X ,但E(XE(X E(X)E(X 若用E|XE(X) 作為平均波動,雖然理論是可行的但絕對值在計算中麻煩較多故采用下面的星期 上 下 返 量，若EE(X存在，則稱EE(X)2為X的方差記為D(X)或Var(X). D(X)Var(X)EE(X稱DX)為X的均方差或標準差σ方差反映了 量的取值相對于期望值的分散程度D(X)

kkk

EX)]2P{Xxk},

[xE(X

f 星期 上 下 返

一維 設(shè)離散型 量X的概率分布P(Xxk) k1,2,D(X)p(x

x2

p連續(xù)

設(shè)連續(xù)型 量X的分布密度為f D(X)

(x

f(x)dx

x2f(x)dx其中EX星期 上 下 返

D(X)E(X2)[E(XD(X)E{[XE(XE{X22XE(X)[E(XE(X2)2E(X)E(X)[E(XE(X2)[E(X星期 上 下 返 E(X2)121221321421521621 7 D(X)E(X2)[E(X)]2 2 星期 上 下 返f(x)11

1x0x求D(X), 解：EX1x(1x)dx

x(1x)dx1E(

2)

x2(1x)dx

1x2(1x)dx0

1D(X)0600D(X2)E(X4)[E(X20E(

4)

x4(1x)dx

1x40

1 D(X2) 6 星期 上 下 返例：設(shè)Xpx例：設(shè)Xpx

x2求D(X), 解 EX2

2xcosxdx2EX22

x2cosxdx

2x2cos0

x2dsinx

sin

2xsin0

22xdcosx 2xcosx222cos

DX 星期 上 下 返例：設(shè)Xpx例：設(shè)Xpx

x2求D(X),EcosX2

cos2xdx 1

1cos2xdx

1x

1sin2x 2 2

2Ecos2X2

cos3 21sin2xdsinxsinx1sin3x 2DcosX22

星期 上 下 返 0-1分布的方 p1

E(X)E(X2)=12×p+02×（1-p）=D(X)=E(X2)―[E(X)]2=p-p2二項分布的方nP{Xk}Ckpk(1p)nknE(X)=np.D(X)=

k星期 上 下 返證明

E(X2) k2 pk(1p)nk k!(nk)!

(kk

(k1)!(nk

p(1 k1(k1)!(nk

pk(1p)nk (k

(k1)!(nk

p(1

(k1)!(nk

p(1k kn pk(1p)nk

pk(1p)nkk2(k2)!(nk k1(k1)!(nk n(n1)C pl2(1p)n2l

pj1(1p)n1l

jn(n1)p2D(X)E(X2)[E(X)]2n(n1)p2npn2p2np(1星期 上 下 返解法二設(shè)

第i次試驗事件AXi

則D(Xi)

E(

2)E(X

XXi pp2p(1

D(X)

nn

D(Xi

nn

p(1

np(1星期 上 下 返例：設(shè)X～B(n,p)，求解：設(shè)XX1X2Xn 其X 因此，每個Xi服從0-1DXi又由于X1,X2,Xn相互獨立，從D(X1X2Xn)D(X1)D(X2)D(Xn)星期 上 下 返泊松分布的數(shù)學期X~P{Xk}E(X),D(

e k0,1,2, 2

[k(k1)k]證明:E(X) k k k(k1) eEX

k

k2(k星期 上 下 返三、幾種常見的連續(xù)型 量的方均勻分布的方 axf(x)b

E(X)b2

b2abE(

2)

x2f

a

b

dx3

b2ab ab (bD(X)E(X)[E(X

星期 上 下 返指數(shù)分布的方f(x)

x 其它E(X)E(

2)

f(x)dx=

x

2xexdx D(X)E(X2)[E(X)]22 12 ( 星期 上 下 返正態(tài)分布的方f(x) 2π

(

,xE(X)

(D(X)[xE(X)]2f(x)dx (x

xt

2π

D(X)

t2e2dt

2

2π

e2星期 上 下 返泊松分

數(shù)學期a21

(b1星期 上 下 返D(C)=0,C為常數(shù)證明D(CE[CE(C)]2D(CX)=C2D(X),D(X+C)=D(X),C為常數(shù)證明:D(CXE[CXE(CXC2EE(X)]2C2D(XD(XC)E[(XC)E(XEXE(XX星期 上 下 返 證明:DXYE[(XYEXYEE(X)]2EE(YD(X)D(Y)2E[XE(X)]YE(Y星期 上 下 返2E[XEX)]YE(Y)2EXYXE(Y)YE(X)E(X)E(Y2EXY2E(X)E(Y)2E(Y)E(X)2E(X)E(Y D(X1X2Xn)D(X1)D(X2)D(Xn星期 上 下 返D(X)=0的充分必要條件是X以概率1取常數(shù)E(X)。 P{X=E(X)}=1 定理：設(shè) E(X)，(X)=2PXE(X) 定理的證明略星期 上 下 返P{X=E(X)}=1，則有PX2 D(X)E(X2)[E(X)]2 PXE(X)1D(X(X)=0PXE(X)P{X=E(X星期 上 下 返Step1:計算期E(X)p1x1p2x2pkxkpk

E(X)

xf(x)d

連續(xù)Step2:E(X2)px

p

2p

2px

1 E( ) f(x)dx2

D(X)D(X)E(X )[E(X 例設(shè)X1,X2,,X 相互獨立E(Xi),D(Xi), i1,2,,nnX nn i

的數(shù)學期望和方差nn解E(XE(1nn

X)

1

X)1 nnD(X)nn

nn

n X

n

E(XinXi n

D(Xi) 例：設(shè)EX1 DX2

4求E4X32 解：E4X3

D4X3

4X16DX4EX3EX1DX2

EXDXE4X321644932 星期 上 下 返例：設(shè)X～N(0,1)Y～N(-1,4),且X和Y相互獨立，求D(2X-3Y).解：由于X和Y相互獨立，所D(2X-3Y)=22D(X)+32D(Y) 則它們的線性組合C1X1C2X2CnXn C1X1C2X2CnXnN(C

C2其中C1C2,Cn是不全為0

星期 上 下 返X X例：設(shè)E(

)D 解：由于XE(X)

E(X) D(X 1D(X) 1D(X) X~N星期 上 下 返X1,X2是兩個相互獨立的

0x

xf1(x)求D(X1X2)

f2(x)

解因為X1X2 D(XX)D(X) 而EX1

xf1(x)dx

x2xdx3 (yE(X2)

yf2(y)dy

y dy星期 上 下 返E(E(X2)

x2f(x)x2f(x)dxx2xdx2E(X2)2

22yf(22

y2e(y5) y2e(

2ye(y5) 252ye(5352e(y 5

2e(y5) 2 所 D(X) D(X)37623 3 D(XX)11 星期 上 下 返 X~N(2,2 所以P(2X44222 得20.50.3

P(X0)021 星期

上 下 返設(shè) 量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求E{Xe2X解X的密度函數(shù)f(x)

ex

(x

EX (x所 E(Xe2X)EXE(e2X E(e2X)

e2

f(x)dxe3xdx 所 E(Xe2X)星期

上 下 返設(shè) 量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求E{Xe2X解X的密度函數(shù)exf(x)

(x (x所以EXe2X

(xe2x)f(x)dx(xe2x)exdx03xexdx e3xdx