2020高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.2. 直線與圓的方程的應(yīng)用練習(xí)（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第32課時直線與圓的方程的應(yīng)用對應(yīng)學(xué)生用書P89知識點(diǎn)一直線與圓的方程在平面幾何中的應(yīng)用1．已知兩點(diǎn)A(－2，0)，B(0,2）,點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是（)A．3－eq\r(2）B．3＋eq\r（2）C．3－eq\f（\r(2）,2)D．eq\f(3－\r(2），2）答案A解析由題意,得lAB：x－y＋2＝0，圓心為(1,0），所以圓心到lAB的距離d＝eq\f（3,\r(2)）＝eq\f(3\r(2)，2),所以AB邊上的高的最小值為eq\f(3\r（2)，2)－1．又|AB｜＝eq\r(－22＋－22)＝2eq\r(2)，所以△ABC面積的最小值是eq\f（1，2)×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3\r（2），2)－1）)＝3－eq\r(2）．2．若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則點(diǎn)P（a，b)在圓x2＋y2＝1的________．（填圓上、圓外或圓內(nèi))答案圓外解析由題意得eq\f(｜－1｜,\r(a2＋b2)）〈1，即a2＋b2〉1,所以點(diǎn)P（a,b)在圓外．知識點(diǎn)二直線與圓的方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用3．在位于城市A南偏西60°相距100海里的B處，一股臺風(fēng)沿著正東方向襲來，風(fēng)速為120海里/時，臺風(fēng)影響的半徑為r（r>50）海里；（1）若r＝70，求臺風(fēng)影響城市A持續(xù)的時間（精確到1分鐘）？（2)若臺風(fēng)影響城市A持續(xù)的時間不超過1小時，求實(shí)數(shù)r的取值范圍．解（1）由題意，|AB′｜＝70,|AC|＝50,則｜B′C｜＝eq\r(4900－2500)＝20eq\r（6),∵風(fēng)速為120海里/時，∴臺風(fēng)影響城市A持續(xù)的時間為2×eq\f(20\r(6）,120）×60≈49分鐘．(2）由題意，｜AB″|＝r，|B″C｜≤60，∴eq\r（r2－2500)≤60，∵r〉50，∴50〈r≤10eq\r(61)．4．設(shè)有半徑長為3km的圓形村落,甲、乙兩人同時從村落中心出發(fā)，甲向東前進(jìn)而乙向北前進(jìn),甲離開村后不久，改變前進(jìn)方向,斜著沿切于村落邊界的方向前進(jìn)，后來恰好與乙相遇．設(shè)甲、乙兩人的速度都一定，且其速度比為3∶1，問：甲、乙兩人在何處相遇？解如圖所示，以村落中心為坐標(biāo)原點(diǎn),以東西方向?yàn)閤軸，南北方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)甲向東走到D轉(zhuǎn)向到C恰好與乙相遇，CD所在直線的方程為eq\f（x，a)＋eq\f（y,b)＝1(a〉3，b>3)，乙的速度為v，則甲的速度為3v．依題意，有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（｜ab｜,\r（a2＋b2））＝3，，\f（\r(a2＋b2)＋a,3v)＝\f（b，v）。)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝5,，b＝3.75。）)所以乙向北前進(jìn)3．75km時甲、乙兩人相遇．知識點(diǎn)三坐標(biāo)法證明幾何問題5．如圖，直角△ABC的斜邊長為定值2m，以斜邊的中點(diǎn)O為圓心作半徑為n的圓，直線BC交圓于P，Q兩點(diǎn)，求證：｜AP|2＋｜AQ｜2＋|PQ｜2為定值．證明如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系,于是有B(－m，0)，C(m，0）,P(－n,0），Q（n，0)．設(shè)A(x，y)，由已知，點(diǎn)A在圓x2＋y2＝m2上．｜AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n）2＋y2＋(x－n）2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2（定值）．對應(yīng)學(xué)生用書P90一、選擇題1．已知直線y＝ax與圓C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則圓C的面積為()A．49πB．36πC．7πD．6π答案D解析將x2＋y2－2ax－2y＋2＝0變形為(x－a）2＋(y－1）2＝a2－1，由題意,可得圓心C(a,1)到直線y＝ax的距離d＝eq\f(\r(3)，2）r＝eq\f(\r(3）,2)eq\r（a2－1）＝eq\f（｜a2－1|，\r（a2＋1))，得a2＝7或1（舍去）,故圓C的面積為π（eq\r(a2－1))2＝6π．選D．2．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx－y－9＝0的兩個交點(diǎn)恰好關(guān)于y軸對稱，則k＝(）A．0B．1C．2D．3答案A解析解法一：將兩方程聯(lián)立消去y，得（k2＋1)x2＋2kx－9＝0,由題意此方程兩根之和為0，故k＝0．解法二：直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx－y－9＝0的兩個交點(diǎn)恰好關(guān)于y軸對稱，所以圓心在y軸上,因此k＝0．3．已知點(diǎn)M(a，b)（ab≠0)是圓x2＋y2＝r2(r＞0）內(nèi)一點(diǎn),直線g是以M為中點(diǎn)的弦所在的直線，直線l的方程為ax＋by＋r2＝0,則(）A．l∥g，且l與圓相離B．l⊥g,且l與圓相切C．l∥g，且l與圓相交D．l⊥g，且l與圓相離答案A解析因?yàn)辄c(diǎn)M(a,b)在圓內(nèi),所以a2＋b2＜r2．因?yàn)閳A心（0，0）到直線l的距離d＝eq\f（r2，\r(a2＋b2）)＞r,所以直線l與圓相離．又直線g的方程為y－b＝－eq\f(a,b)(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，所以l∥g．4．臺風(fēng)中心從A地以20千米/時的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處在危險區(qū)域的時間為(）A．0．5小時B．1小時C．1．5小時D．2小時答案B解析受影響的區(qū)域長度＝2eq\r(302－20\r(2)2)＝20千米，故影響時間為1小時．5．如圖,一座圓弧形拱橋，當(dāng)水面在如圖所示的位置時,拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后,水面寬度為（）A．14米B．15米C．eq\r（51)米D．2eq\r（51）米答案D解析以圓弧形拱橋的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以過圓弧形拱橋的頂點(diǎn)的水平切線為x軸,以過圓弧形拱橋的頂點(diǎn)的豎直直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點(diǎn)為A,B，則由已知可得A（6，－2）,設(shè)圓的半徑長為r，則C(0，－r），即圓的方程為x2＋(y＋r）2＝r2．將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上述方程可得r＝10,所以圓的方程為x2＋(y＋10）2＝100，當(dāng)水面下降1米后,水面弦的端點(diǎn)為A′,B′，可設(shè)A′(x0，－3）（x0>0),代入x2＋(y＋10）2＝100，解得x0＝eq\r（51)，∴水面寬度|A′B′|＝2eq\r(51）米．二、填空題6．已知圓C：x2＋y2－6x＋8＝0，若直線y＝kx與圓C相切，且切點(diǎn)在第四象限，則k＝________．答案－eq\f（\r（2），4)解析如圖,設(shè)切點(diǎn)為A,圓C：(x－3)2＋y2＝1．|OC|＝3，｜AC｜＝1，在Rt△OAC中，|OA｜＝2eq\r（2）,k＝－tan∠AOC＝－eq\f(|AC|,|OA|)＝－eq\f（\r(2),4）．7．過點(diǎn)O(0，0）引圓C：(x－2)2＋(y－2)2＝1的兩條切線OA，OB，A，B為切點(diǎn),則直線AB的方程是________________．答案2x＋2y－7＝0解析由題可知，A，B在以O(shè)C為直徑的圓上，即（x－1）2＋(y－1)2＝2與(x－2）2＋（y－2）2＝1作差可得直線AB方程為2x＋2y－7＝0．8．已知圓O：x2＋y2＝1和點(diǎn)A(－2,0），若定點(diǎn)B(b，0)(b≠－2）和常數(shù)λ滿足：對圓O上任意一點(diǎn)M，都有｜MB｜＝λ|MA|，則λ－b＝________．答案1解析設(shè)M（x，y），由|MB|＝λ|MA｜，得（x－b)2＋y2＝λ2(x＋2）2＋λ2y2．取圓上特殊點(diǎn)(1，0），（－1,0)代入上式，可得(1－b)2＝λ2×（1＋2)2，（－1－b)2＝λ2×（－1＋2)2,解得b＝－eq\f（1,2)，λ＝eq\f(1,2），故λ－b＝1．三、解答題9．已知圓C1:x2＋y2＝4和圓C2:x2＋(y－8)2＝4，直線y＝eq\f（\r(5）,2)x＋b在兩圓之間穿過且與兩圓無交點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解直線方程是eq\r(5)x－2y＋2b＝0．當(dāng)直線與圓C1相切時，eq\f（|2b|,\r(5＋4））＝2，解得b＝±3．當(dāng)直線與圓C2相切時，eq\f（｜－16＋2b|，\r(5＋4))＝2,解得b＝5或b＝11．結(jié)合右圖,知3〈b<5．10．已知曲線C的方程為ax2＋ay2－2a2x－4y＝0，其中a≠0，且a為常數(shù)．(1）判斷曲線C的形狀，并說明理由；(2）設(shè)曲線C分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A,B（A，B不同于坐標(biāo)原點(diǎn)O)，問△AOB的面積S是否為定值？并證明；（3）設(shè)直線l：y＝－2x＋4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N,且|OM｜＝|ON|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求曲線C的方程．解（1)將曲線C的方程化為x2＋y2－2ax－eq\f(4，a）y＝0，即(x－a)2＋y－eq\f（2,a）2＝a2＋eq\f(4，a2），可知曲線C是以點(diǎn)Pa，eq\f(2,a）為圓心,以eq\r(a2＋\f（4,a2)）為半徑的圓．（2）△AOB的面積S為定值．證明如下：令y＝0,得x（x－2a）＝0，∴A(2a,0)．令x＝0，得y(ay－4)＝0，∴B0,eq\f(4，a),∴S＝eq\f（1,2)|OA｜·|OB｜＝eq\f(1，2）·｜2a｜·eq\f(4，a)＝4，為定值．（3)∵圓P過坐標(biāo)原點(diǎn)，且｜OM|＝