32獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想及應(yīng)用（一）

2022/12/8鄭平正

制作3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué)選修2-3

第三章統(tǒng)計(jì)案例2022/12/8問(wèn)題:

數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家面包店買(mǎi)一塊1000g的面包，并記錄下買(mǎi)回的面包的實(shí)際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為950g。于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足。假設(shè)“面包份量足”，則一年購(gòu)買(mǎi)面包的質(zhì)量數(shù)據(jù)的平均值應(yīng)該不少于1000g；“這個(gè)平均值不大于950g”是一個(gè)與假設(shè)“面包份量足”矛盾的小概率事件；這個(gè)小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。2022/12/8一:假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的原理

假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題由兩個(gè)互斥的假設(shè)構(gòu)成，其中一個(gè)叫做原假設(shè)，用H0表示；另一個(gè)叫做備擇假設(shè)，用H1表示。例如，在前面的例子中，原假設(shè)為：H0：面包份量足，備擇假設(shè)為：H1：面包份量不足。這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題可以表達(dá)為：

H0：面包份量足←→H1：面包份量不足2022/12/8二:求解假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題考慮假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：

H0：面包分量足←→H1：面包分量不足在H0成立的條件下，構(gòu)造與H0矛盾的小概率事件；如果樣本使得這個(gè)小概率事件發(fā)生，就能以一定把握斷言H1成立；否則，斷言沒(méi)有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與H0相矛盾的證據(jù)。求解思路：2022/12/8獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題。在日常生活中，我們常常關(guān)心分類(lèi)變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。1分類(lèi)變量的概念變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別，像這樣的變量稱(chēng)為_(kāi)_______.2.2×2列聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，它們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱(chēng)為2×2列聯(lián)表)為：分類(lèi)變量y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d

一.1.對(duì)分類(lèi)變量的理解(1)分類(lèi)變量的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個(gè)體所屬的類(lèi)別，如性別變量，只取男、女兩個(gè)值，商品的等級(jí)變量只取一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)等.(2)分類(lèi)變量的取值有時(shí)可用數(shù)字來(lái)表示，但這時(shí)的數(shù)字除了分類(lèi)以外沒(méi)有其他的含義.如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.2022/12/8

吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

說(shuō)明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%探究不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)98749199651、列聯(lián)表2、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通過(guò)圖形直觀判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否相關(guān)：不吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達(dá)了兩種情況下患肺癌的比例。2022/12/8

上面我們通過(guò)分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來(lái)考察這個(gè)問(wèn)題。

現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)

H0：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系.不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表

用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”等價(jià)于“吸煙與患肺癌獨(dú)立”，即假設(shè)H0等價(jià)于P(AB)=P(A)P(B).2022/12/8因此|ad-bc|越小，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；

|ad-bc|越大，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條件下應(yīng)該有2022/12/8

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量-----卡方統(tǒng)計(jì)量（1）

若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則K2應(yīng)很小。根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到K2的觀測(cè)值為：那么這個(gè)值到底能告訴我們什么呢？（2）

二.獨(dú)立性檢驗(yàn)2022/12/8在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率

即在H0成立的情況下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。

也就是說(shuō)，在H0成立的情況下，對(duì)隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過(guò)6.635的頻率約為0.01。思考

答：判斷出錯(cuò)的概率為0.01。2022/12/8判斷是否成立的規(guī)則如果，就判斷不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系。獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義

上面這種利用隨機(jī)變量K2來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法，稱(chēng)為兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。在該規(guī)則下，把結(jié)論“成立”錯(cuò)判成“不成立”的概率不會(huì)超過(guò)即有99%的把握認(rèn)為不成立。獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類(lèi)似反證法）(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即“兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系”.(2)在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量K2

應(yīng)該很小,如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k很大,則在一定可信程度上說(shuō)明不成立.即在一定可信程度上認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”；如果k的值很小，則說(shuō)明由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)反對(duì)的充分證據(jù)。(3)根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義,可以通過(guò)評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度,由實(shí)際計(jì)算出的,說(shuō)明假設(shè)合理的程度為99%,即“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為99%.2022/12/8反證法原理與假設(shè)檢驗(yàn)原理反證法原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了這個(gè)假設(shè)不成立。假設(shè)檢驗(yàn)原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果一個(gè)與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個(gè)假設(shè)不成立。注：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與反證法的思想的相似之處反證法獨(dú)立性檢驗(yàn)要證明結(jié)論A

要確認(rèn)“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”

在A不成立的前提下進(jìn)行推理

假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下計(jì)算K2

推出矛盾意味著結(jié)論A成立

由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值k很大，則在一定可信程度上說(shuō)明假設(shè)不合理

沒(méi)有找到矛盾，不能對(duì)A下任何結(jié)論，即反證法不成立

根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義，可以通過(guò)概率P(K2≥k0)的大小來(lái)評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度有多大，從而得出“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度有多大

2022/12/8怎樣判斷K2的觀測(cè)值k是大還是小呢？

這僅需要確定一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)就認(rèn)為K2的觀測(cè)值k大。此時(shí)相應(yīng)于的判斷規(guī)則為：如果，就認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系”；否則就認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量之間沒(méi)有關(guān)系”。----臨界值按照上述規(guī)則，把“兩個(gè)分類(lèi)變量之間沒(méi)有關(guān)系”錯(cuò)誤的判斷為“兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系”的概率不超過(guò)P().在實(shí)際應(yīng)用中，我們把解釋為有的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系”；把解釋為不能以的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系”，或者樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系”的充分證據(jù)。

三.若要判斷的結(jié)論為：H1：“X與Y有關(guān)系”，可以按如下步驟判斷H1成立的可能性：2、可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。1、通過(guò)等高條形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)系,但是這種判斷無(wú)法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度。（1）等高條形圖中，比較兩個(gè)條形圖中某種顏色色條的高。（2）在二維條形圖中,可以估計(jì)滿(mǎn)足條件X=x1的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例，也可以估計(jì)滿(mǎn)足條件X=x2的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例。兩個(gè)比例相差越大，H1成立的可能性就越大。2022/12/8在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過(guò)下表確定臨界值：0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6367.87910.828具體作法是：(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要的可信程度確定臨界值；(2)利用公式(1)，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量的觀測(cè)值；(3)如果，就以的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說(shuō)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)。例5.在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示。未感冒感冒合計(jì)使用血清252248500未使用血清224276500合計(jì)4765241000試畫(huà)出列聯(lián)