線性代數(shù)模擬題目-1章矩陣-3檢查

§ 一、逆矩陣的定二、逆矩陣的運算性二、用行初等變換求逆矩1教學(xué)重教學(xué)重著重講解逆矩陣的概念和性質(zhì)，及用初等變換的方法求逆矩陣。教教學(xué)難講解初等矩陣的逆，以此推導(dǎo)用初等變換的方法求逆矩陣。21.一、逆矩陣的定在數(shù)1.一、逆矩陣的定

0時有aa1a1a

為a的（或

a的逆在矩陣的乘法運算中，單位陣I相當(dāng)于數(shù)1的作

使得AA1

A1AI,

則矩

A1稱為

的逆矩陣或逆陣32.定

設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使得ABBA

A是可逆,方陣B稱為A的逆矩A1由定可知BA的逆矩陣A也B逆矩陣AB是互逆的4例設(shè)A1

1,B,

12,,1 1

1

121 11

1

0AB1

1

12

I11

121

0 1

121

1 1

1

B是一個可逆矩陣

1

12

1 1

1

12

A 1 15逆矩陣的求法一：待定系數(shù)A 1,例 0

求A的逆陣B b 解利用待

法是的逆矩陣 d則AB

1

b 0 0

d 12a 2bd

0

162a

a2a

2bd

0

2b

b

1

ab

驗證

AB1

1

1

1 0, ,

0

2

2 0

1此法對于高階不適合.所以A1此法對于高階不適合. 27單位陣

I1

I1零矩陣

O1

不存數(shù)量矩陣

(kI)1k0時

(kI)1

1k

k=0

不存在對角陣

d2

dn)d1,d2

dn0時

diag(

,1,...,1 d1,d2

0時

不存在8若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的證明B

C是

的逆矩陣則有

I

ACCAI可得B

C

CIC.A的逆矩陣是唯一的,BC

A19推論設(shè)A、B為同階方陣

或BAI(此推論將在§2.2中證明判斷B是否為判斷B是否為A的逆矩陣，只需驗證ABI和BAI二、逆矩陣的運算性1若A可逆,則A1亦可逆,且A112若A,數(shù)

k1A1

1A1k k

)

)(k

)

B1A證明ABB1A1

ABB1A1AIA

I,2m1AB12m1

B1A1推廣

4若A可逆,則AT亦可逆,且AT

ATA1

A1AT

ITI

A1T(A(AB)1A1A

0 01，B

A1

0

B1 0 但AB

0 不可0(A(AB)1A1A

0 01，B 2

A1

0

0120,B0120,B AB

0可(A(AB)10201

B1 120120 例設(shè)方陣A滿足方程A2

A

O,證明

2I都可逆,A

IA2I不同

先證A可逆證明(1)由

A

I

(A2

I)]A1

1A2

I

故A可逆證A2I可逆由A2A證A2I可逆A

3I

2IA

2IA3I

A

2I

1A4

3I故A

2I可逆

A

2I且A

2I

4

A

3I(2)AIA2I不同A滿足方(2)AIA2I不同

(A

I)(A

2I)

A2

A2I若A+I可逆A

I)1(A

I)(A

2I)

(A

I)1OA

2I)

A

2I不可逆同理A2I可逆A

AIA2I不同時問初等矩陣可逆嗎？其逆陣呢問iEiji

I

EE EEc

E

Ei(c)I

E1(c)

E Eij(c)

(c)

I

E1(c)

(c)定理設(shè)A為n階矩陣，則下列各命題等價AA是可逆的AX0只有零解A與I行等價A可表為有限個初等矩陣的乘積證

“1→2”;“2→3”;“3→4”;設(shè)X是AX0的解,(A1A)XA10XAX0只有零解定理設(shè)A為n階矩陣，則下列各命題等價AA是可逆的AX0只有零解A與I行等價A可表為有限個初等矩陣的乘積證

設(shè)A等

(從而B的非零首元等于未知量個數(shù) .1.BI 1 1 定理設(shè)A為n階矩陣，則下列各命題等價AA是可逆的AX0只有零解A與I行等價A可表為有限個初等矩陣的乘積 由條件，A可經(jīng)行初等變換得kk

Ek

使得EkE1AA(Ek

E1

E

定理設(shè)A為n階矩陣，則下列各命題等價AA是可逆的AX0只有零解A與I行等價A可表為有限個初等矩陣的乘積 顯然（由于初等矩陣可逆,它們的乘積也可逆定理設(shè)A為n階矩陣，則下列各命題等價AA是可逆的AX0只有零解A與I行等價A可表為有限個初等矩陣的乘積推論設(shè)A為n階矩陣，則下列各命題等價AA是不可逆的AX0有非零解A不與I行等價A不可表為有限個初等矩陣的乘積設(shè)A為n階矩陣，則AXb有唯一解的充要條件證充分

若A可逆

b

必要

若AX=b有唯一解設(shè)A不可逆AXO有非零解

(反證法令

A(C

Z

bO則Y為AX=b的解且Y與AX=b有唯一 若A可逆

b

XA

B,且A可逆則

AXB

C且A與B可逆,

A1CB1三、三、設(shè)A可逆所以存在初等矩陣E1Ek使AE1E2A1

E1E

E

E1E

E1I k

k I A1

E1E

E1 k

AI

A1例設(shè)A33

3 1,3 3

A1解

AI

3434 0

0 01 1

0

0

002 02

1 1

0000

1 1 0000

1

0000

11求A的逆矩

04A 04

11

0解

I) 0 04 4

01 1 0

0014 014

1100410A不可逆

01 01注用初等行變換求逆時必須堅持始終不能在求矩陣的逆時，若作行初等變換時出現(xiàn)全求解矩陣方程AX=A+X,

0 001 A 001 解把所給方程變形

(A-I)X= (A

I)1(A

I

(A

I)1A

0 3

X

(A

I)101 101A

|I 0 0

0 01 1

0101

0 01 101 01

1 1 1

020102010020131010 00 400

0000A

I 4 4,001100326103 6

0A

I1

2

6

0

A 300 00XA

0 02 2

6

3.2 32例P11

2 ,4

02 2

P,

An解易求P11

2

P,2

1A

PP1,A2

(PP1)(PP1

P2P1,A3

(P2P1)(PP1)

P3P1, 0An

PnP1,

2n1 2P

P11

2

n 01 4

2 1

2nAnPnP1 01

2n

22

2n12

2n1

2n1

1逆矩陣的概念