1991考研數(shù)三真題及解析

一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.)設(shè)Z=esinxy，貝\\dz=設(shè)曲線fG)=43+qx與gG)=M+c都通過點(-1,0),且在點(-1,0)有公共切線,,b=,b=.處取極小值設(shè)fG)=xex,則f(")G)在點.=設(shè)A和.處取極小值設(shè)A和B為可逆矩陣，X=A]為分塊矩陣，則X-i=設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=P(X<%}F(x)=P(X<%}=0,X<—1,0.4,—1<<1,0.8,l<x<3,1,x>3.<則X的概率分布為.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)卜列各式中正確的是(A)lim1(A)lim1+-X=1(B)lim1+-n(A)(A)人-i|A|"(B)n(A)(A)人-i|A|"(B)人t|A|(C)甲|r1(C)limi-=-e(D)lim1+xTooXT8IxjnO+XXTO+X-x1設(shè)＜-(n=l,2,)則下列級數(shù)中肯定收斂的是nn(B)nn=l

n=l設(shè)A為〃階可逆矩陣，X是A的一個特征根，則A的伴隨矩陣A*的特征根之一是設(shè)A和8是任意兩個概率不為零的不相容事件,則下列結(jié)論中肯定正確的是(A)A與B不相容(B)A與B相容(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)P(A-B)=P(A)⑸對于任意兩個隨機變量X和Y,若E(XY)=E(X)-E(Y)，則()(A)D(XY)=D(X)-D(Y)(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y)(C)X和Y獨立(D)X和Y不獨立三、(本題滿分5分)…(ex+e2x++enx)x求極限lim，其中n是給定的自然數(shù).XT0kn/四、(本題滿分5分)計算二重積分I=hydxdy,其中D是由x輒y軸與曲線"三+「§=1所圍成的區(qū)a\bD域，a>0,b>0.五、(本題滿分5分)求微分方程xydL=x2+y2滿足條件y|=2e的特解.六、(本題滿分6分)假設(shè)曲線%:y=1-x2(0<x<1)、x軸和y軸所圍區(qū)域被曲線L2:y=ax2分為面積相等的兩部分，其中a是大于零的常數(shù),試確定a的值.七、(本題滿分8分)某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售，售價分別為P和P；銷售量分別為q和TOC\o"1-5"\h\z121q；需求函數(shù)分別為q=24—0.2p和q=10—0.05p，總成本函數(shù)為C=35+40(q+q).2112212試問：廠家如何確定兩個市場的售價,能使其獲得的總利潤最大？最大利潤為多少？八、(本題滿分6分)1、小、試證明函數(shù)f(x)=(1+-)x在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)增加.x九、(本題滿分7分)設(shè)有三維列向量

1+人110以=1，以=1+人，以=1，隊X123111+入入2問人取何值時，P可由％。2。3線性表示，且表達式唯一？P可由％。2。3線性表示，且表達式不唯一?P不能由。3線性表示？十、(本題滿分6分)考慮二次型f=^2+4x2+4x2+2人xx—2xx+4xx.問人取何值時，f為正定二123121323次型.十一、(本題滿分6分)試證明n維列向量組%,。2，…,%線性無關(guān)的充分必要條件是以T以以T以???以T以11121n以T以D=21:以T以22:???以T以2n豐0?，:以T以以T以???以T以n1n2nn其中有表示列向量七的轉(zhuǎn)置，F(xiàn)2…,n.十二、(本題滿分5分)一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號顯示的時間相等，以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù).求X的概率分布.十三、(本題滿分6分)假設(shè)隨機變量X和Y在圓域x2+J2<,2上服從聯(lián)合均勻分布.(1)求X和Y的相關(guān)系數(shù)P；(2)問X和Y是否獨立?十四、(本題滿分5分)設(shè)總體X的概率密度為人axa—ie—^xa,0,x>0,x<0,其中人>0是未知參數(shù)，a>人axa—ie—^xa,0,x>0,x<0,一、填空題（本題滿分15分,每小題3分.）⑴【答案】CsinxyCOSXJdz【解析】方法-：先求出兩個偏導數(shù)虱和礦然后再寫出全微"，dzTOC\o"1-5"\h\z———gsinxy?COSxy?^=yesinxycosxy

dx''dz，——gsinxy?cosxy-x=xesinxycosxyQz所以dz=—dx^dy=ye^xycosxydx+xe^xycosxydydxdy-'=^sinxycosxy(ydx+xdy).所以方法二：利用一階全微分形式不變性和微分四則運算法則直接計算衣.dz=d(esinxy)=esinxyd(sinxy)=esinxycosxydxy=esinxycosxy(ydx+xdy).(2)【答案】a=-1,b=-1,c=1【解析】由于曲線f(x)與g(x)都通過點(-1,0)，則f(-1)=-1-a=0

g(-1)=b+c=0又曲線f(X)與g(x)在點(?-1,0)有公切線，則f(-1)=g'(-1),即|=-2b,x=-1f<(-1)=(3x2+a)=3+a=g，(一1)=2bx|亦即3+a=-2b,解之得a=-1,b|=-2b,x=-1(3)【答案】x=-(n+1)；-e-(n+1)【解析】由高階導數(shù)的萊布尼茲公式(uv)〃)=才Cku(k)v(n-k)可知，nk=0f(n)(x)=C0x(ex)(n)+C1x'(ex)(n-1)+C2x"(ex)(n-2)++Cnx(n)ex=xex+nex+0++0=(x+n)ex.對函數(shù)g(x)=f(n)(x)求導，并令g'(x)=0,得g，(x)=f(n+1)(x)=(x+n+1)ex=0,如、Fr、1_()Ig'⑴<0，x〈一(n+1),函數(shù)g(x)嚴格單調(diào)遞減;之得駐點*=—〃,且|g,(x)>0,x>-(n+1),函數(shù)g(x)嚴格單調(diào)遞增;故x=-(n+1)是函數(shù)g(x)=f(〃)(x)的極小值點，極小值為g(-n-1)=f(n)(-n-1)=(-n-1+n)e-n-1=-e-n-1.(4)【答案】(4)【答案】IAt0J【解析】利用分塊矩陣，按可逆矩陣定義有aVX1X3,AX=0,由對應元素或塊相等，即V4BX1=0,、BX2=E.從A和B均為可逆矩陣知X3=A-1,X4=0,X1=0,X2=B-1.故應填L°1B0-1](5)【答案】x-113P{X=x}0.40.40.2【解析】因為隨機變量X的分布函數(shù)F3)在各區(qū)間上的解析式都與自變量x無關(guān)，所以在F(x)的連續(xù)點，P{X=x}=0,只有在F(x)的間斷點處X取值的概率才大于零，且P{X=x}=P{X<x}-P{X<x}=F(x)-F(x-0)，則P{X=-1}=F(-1)-F(-1-0)=0.4,P{X=1}=F(1)-F(1-0)=0.8-0.4=0.4,P{X=3}=F(3)-F(3-0)=1-0.8=0.2.因此X的概率分布為x-113P{X=x}0.40.40.2二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】(A)-1、【解析】由重要極限l皿(1+—)x=e可知,xsx極限lim(1-A)x=lim[1+(-!)]-x-(-1)=e-1,x—3xxsxlim(1+i)-x=lim(1+-1)x.(-1)=e-1.x—3xx—3x而極限lim(1+1)x=limW+：)x=ex—m+岫t)x=點x岫:)x—0+xx—0+1令t=—，則xlimxln(1+上)=lim】n(l+*)洛lim—=0,x—0+xt—+3tt—+31+t所以lim(l+上)x=e^+xln(1+x)=eo=1.TOC\o"1-5"\h\zxr0+x故選項(A)正確.⑵【答案】(D)【解析】因為|(-1)〃。2|=a2<—，由黨—收斂及比較判別法可知尤(-1)na2絕對收斂.nnn2n2nn=1n=1即(D)正確.(C)E=￡￡螳￡-n=1n=1另外，設(shè)a=^~(n=1,2…)，則可知n2n(A)￡a=￡-1=1￡1,n2n(C)E=￡￡螳￡-n=1n=1設(shè)a=0,a=1(n=1,2…)，則可知(B)不正確.2n-12n4n⑶【答案】(B).【解析】由人為A的特征值可知，存在非零向量X，使得AX=XX.兩端同時乘以"有A*(人X)=A*AX，由公式A*A=|A|得到人A*X=|A|X.于是A*X=X-1|A|X.按特征值定義知"1|A|是伴隨矩陣A*的特征值.故應選(B).【相關(guān)知識點】矩陣特征值與特征向量的定義：設(shè)A是n階矩陣，若存在數(shù)人及非零的n維列向量X使得AX=XX成立,則稱人是矩陣A的特征值，稱非零向量X是矩陣A的特征向量.⑷【答案】(D)【解析】AB=AUB，如果AUB=。，則AB=0，即A與B互不相容；如果AUB。。，則AB。0，即A與B相容.由于A、B的任意性,故選項(A)(B)均不正確.任何事件A一定可以表示為兩個互不相容事件AB與AB的和.又因AB=0，從而A-B=AB=A,另外要注意區(qū)分獨立與互不相容兩個概念，不要錯誤地把A、B互不相容等同于A、B相互獨立而錯選(C).A,B不相容，P(A),P(B)均不為零，因此P(AB)=P(0)=0,P(AB)。P(A)P(B).即(C)不正確.用排除法應選(D).事實上，P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A).

(5)【答案】(B)【解析】由于E(XK)=E(X)E(Y)，因此有cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,D(X+Y)=D(X)+2cov(X,Y)+D(Y)=D(X)+D(Y).故應選(B).【相關(guān)知識點】若兩個隨機變量X,Y的方差都大于零,則下面四個命題是等價的:E(XY)=E(X)E(Y)；D(X+Y)=D(X)+D(Y)；cov(X,Y)=0；X和Y不相關(guān)，即X和Y的相關(guān)系數(shù)P=0.三、(本題滿分5分)【解析】方法一：這是*型未定式極限.[.(ex+e2x++enx)xhmx項In)=limeXT0,(ex+e2x+.ln|n1(ex+e2x+…+en、lim=ex—。xln(ex+e2x+enx)-Inn-Qlim=ex—0[.(ex+e2x++enx)xhmx項In)=limeXT0,(ex+e2x+.ln|n1(ex+e2x+…+en、lim=ex—。xln(ex+e2x+enx)-Inn-Qlim=ex—0X0其中指數(shù)上的極限是0型未定式，由洛必達法則，有「ln(ex+e2x++en)一lnnlimX—0X「ex+2e2x++nenx1+2++nn(n+1)n+1=lim===x—0ex+e2x++enxn2n2所以「(ex+e2x++enx)xlimx—0，n/n+1=e2方法二：由于rex+e2x+-+enx、1'ex+e2x++enx)x1+1"n)ex+e2x++enx記y=—1,則當x—0時y—0,從而limx—0kex+e2x+enx'1=lim(1+y)xx—01—lim(1+y)yXT01而lim(1+y)y=e,yt01所以lim(1+y)yx「y—ehm—exT0*x.XT0又因y(ex一1)+(e2x—1)+...+(enx一1)lim%=limxT0xxr0nx所以-1lim

nex—1e2x—1+limxt0xxt0enx—1limxxr0x%1n+1洛一(1+2n)=—;=n2limxt0kex+e2xh\-enx'（本題滿分5分）【解析】積分區(qū)域D如圖陰影部分所示.四、因此I—JJydxdy—JadxJb〈-'xa)ydy=Ja0000=wJ—I4dx.aI「1]b＜一寸云）七y2r_dydudydu1+u2令y=ux，有=u+x,將其代入上式，得=u+x=dxdxdxdxu1ab2300—Idx—一J0142a(t—1)dtaI21—ab2J1(t4一15)dt—ab2二-1ab2300dyx2+y2【解析】將原方程化為dx=、■化簡得x——_，即udu=—.積分得一u2=lnx+C.dxux2將u—y代入上式,得通解y2—2x2(lnx|+C).x由條件y|=2e,即4e2=2e2(ln|e|+C)求得C—1.所以y2—2x2(ln|x|+1)所求微分方程的特解.六、（本題滿分6分）【解析】先求出曲線L和L的交點，然后利用定積分求出平面圖形面積S和S,如圖:12121所以S=S+S=f1ydx=f1(1-x2)dx12001Tx-一x33」==1+a00dx—dxx1+an|、房x—x33」023。1+a.一2一2:—_一又因為S=2S，所以77=2?°°=，即1'1+a=2,解得a=3.3、1+a1-.一3七、(本題滿分8分)【解析】方法1：總收入函數(shù)為R=pq+pq=24p—0.2p2+10p—0.05p2,11221122總利潤函數(shù)為L=R-C=(pq+pq)一「35+40(q+q)]112212」—32p1—0.2p2+12p2—0.05p2—1395.由極值的必要條件，得方程組——=32-0.4p=0,p1說——=12-0.1p=0,dp22即p1=80,P2=120.因駐點的唯一，且由問題的實際含義可知必有最大利潤.故當"80,p=120時,廠家所獲得的總利潤最大，其最大總利潤為=(32p-0.2p2+12p-0.05p2-1395)p1=80,p2=1201122方法2：兩個市場的價格函數(shù)分別為總收入函數(shù)為總利潤函數(shù)為p1=80,p2=120=605p=120-5q,p=200-20q,1122R=pq+pq=(120-5q)q+(200-20q)q,11221122L=R-C=(120-5q)q+(200-20q)q-「35+40(q+q11221:2)]=80q1-5q：+160q2-20q2-35.由極值的必要條件，得方程組

rdL=80-10q1=0,dq_1dLdqI2nq=8,q=4.=160-40q2=0,因駐點的唯一,且由問題的實際含義可知必有最大利潤.故當%=8,q2=4，即p1=80,p2=120時，廠家所獲得的總利潤最大，其最大總利潤為L|q8q4=605.八、(本題滿分6分)小1、c【解析】因為xG(0,+8)，所以f(x)=(1+—)x>0.Xf(x)=(1+上)x=exln(1+：,兩邊對x求導，得xf(x)=exln(1+X)xln(1+')x?1ln(1+_)+x=(1+_)x

x1ln(1+_)-x1+x11…一、_,_、令g(x)=ln(1+—)—,為證函數(shù)f(x)為增函數(shù),只需f(x)>0在(0,+8)上成x1+x立，，即g(x)>0,xE(0,+8).方法一：利用單調(diào)性.由于g'(x)=ln(1+!)—1且xE(0,+8)，故g'(x)=11+1(1+x)2x(1+x)2x土v°'所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)減少.又limg(x)=lim[ln(1+二)—占]=0,于是有g(shù)(x)>0,xe(0,+8).從而xT8xT8x1+xf'(x)=(1+L)xg(x)>0,xE(0,+8),x于是函數(shù)f(x)在(0,+8)單調(diào)增加.方法二：利用拉格朗日中值定理.1x+1ln(1+—)=ln(——)=ln(1+x)-lnx=u(x+1)-u(x),xx所以在區(qū)間(x,x+1)存在一點&，使得u(x+1)—u(x)=u'(&)(x+1—x)=u'(&),&即ln(1+—)=—.又因為0<x〈&<1+x，所以V—V—,所以x&1+x&x—<ln(1+L)=1<11+xx&x一.111——―.故對一切xE(0,+8),有f(x)=(1+—)x[ln(1+—)-——]>0.函數(shù)f(x)在(0,+8)單調(diào)

xx1+x增加.九、(本題滿分7分)【解析】設(shè)xa+xa+xa=p,將分量代入得到方程組112233(1+X)x+x+x氣+(1+x)x；x+x+112對方程組的增廣矩陣作初等行變換.=0,3+x=X,(1+人)x=X2.3第一行分別乘以有(-1)、-(1+*)加到第二行和第三行上，有一1+人11:0--1+人11：0-11+人1:人一—人入0：人_111+人:人2_—X2—2人0：X2再第二行加到第三行上,所以有-1+人1匚0T一人人0：人—人2—3人00：人2+人若人若人更0且人2+3人豐0,即人更0且人豐—3，則r(A)=r?)=3,方程組有唯一解,即P可由%,。2，。3線性表示且表達式唯一.若人=0,則r(A)=r(A)=1<3,方程組有無窮多解，P可由％七。3線性表示，且表達式不唯一.若X=3，則r(A)=2,r(A)=3,方程組無解，從而P不能由。3線性表示.【相關(guān)知識點】非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)A是mxn矩陣,線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣A=(A：b)的秩,即是r(A)=r(A)(或者說,b可由A的列向量*,?2,-,氣線表出,亦等同于a,a，…,a與a。，…。，b是等價向量組).12n12n設(shè)A是mxn矩陣，線性方程組Ax=b，則有唯一解o有唯一解or(A)=r(A)=n.有無窮多解°r(A)=r(A)<n.無解°r(A)+1=r(A).ob不能由A的列向量a1,a2,^,a〃線表出.十、(本題滿分6分)【解析】關(guān)于判定二次型正定這類題目時，用“順序主子式全大于0”的方法最為簡捷.—12,其順序主子式為—12,其順序主子式為4二次型f的矩陣為A=人4—121人c■cCA=1,A=入4=4一人2,A=A|=一4人2一4人+8.正定的充分必要條件是各階順序主子式都大于0,所以有

氣>0,氣==(2-人)(2+人)>0,A3=|A|=—4(人-1)(1+2)>0.解出其交集為（-2,1），故Xg（-2,1）氣>0,氣==(2-人)(2+人)>0,A3=|A|=—4(人-1)(1+2)>0.解出其交集為（-2,1），故Xg（-2,1）時，f為正定二次型.【相關(guān)知識點】二次型的定義：含有n個變量氣,％,…,x的二次齊次多項式（即每項都是二次的多項式）f(x,x，…,x)=彥naxx,12nijij其中a=ai=1j=1稱為n元二次型，令x=（氣,％,…,xnT，A=JI,則二次型可用矩陣乘法表示為ijf(x,x，…,x)=xtAx,其中a是對稱矩陣（AT=a），稱a為二次型f（氣,X2,…,x^）的矩陣.十一、（本題滿分6分）【解析】記a=（a,a,…,a），則a。，…,a線性無關(guān)的充分必要條件是|A|。0.由于AtA=at1at2[a,a，…，a]=ata11ata21ata12ata22ata1nata2n由此可見a1,氣，…,an線性無關(guān)的充分必要條件是眼0.x1x2【相關(guān)知識點】m個n維向量a「a2，…,a〃線性相關(guān)的充分必要條件是齊次方程組(a1有非零解.特別地，n個n維向量a1,氣，…,an線性相關(guān)的充分必要條件是行列式ax1x2有非零解.特別地，n個n維向量a1,氣，…,an線性相關(guān)的充分必要條件是行列式十二、（本題滿分5分）

【解析】首先確定X的可能值是0,1,2,3，其次計算X取各種可能值的概率.設(shè)事件A.=“汽車在第，個路口首次遇到紅燈”,i=1,2,3,且A.相互獨立.p(a)=pG)=2.事件A發(fā)生表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)為i-1.所以有iP{x=0}=P(A])=12,P{X=1}=PKA2)=PGpP(A2)=%2,p{x=2}=p(aAa)=P(A)P(A)P(A)=項,12312323P{x=3}=P(AAA)=P(A)P(A)P(A)=虹.12312323則X的概率分布為x0123P{X=x}12122123123注：此題易犯的一個錯誤是將P{x=3}計算為124，這是由于該街道僅有三個設(shè)有紅綠信號燈的路口，X=3僅表示所有三個信號燈路口均為綠燈，而不存在第四個有信號燈路口問題.十三、(本題滿分6分)(x,y)eD,(x,y)史D,[—【解析】二維均勻分布(x,r)的聯(lián)合密度函數(shù)為f3,y)=]sd0，SD是區(qū)域D的面積，SD=兀,2,所