立體幾何體積問題

立體幾何體積問題1、在如圖所示的五面體中，四邊形為菱形，且，平面，，為中點(diǎn).（1）求證平面；（2）若平面平面，求到平面的距離.【答案】（1）見解析；（2）試題解析（2）由（1）得平面，所以到平面的距離等于到平面的距離．取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，，因?yàn)?，所以，學(xué)所以，設(shè)到平面的距離為，又因?yàn)?，所以由，得，解?學(xué)即到平面的距離為．2、如圖，在五面體中，底面為正方形，，平面平面，.(1)求證；(2)若，，求五面體的體積.【答案】(1)見解析(2)（Ⅱ）連接FA，F(xiàn)D，過F作FM⊥CD于M，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面CDEF且交線為CD，F(xiàn)M⊥CD，所以FM⊥平面ABCD．因?yàn)镃F＝DE，DC＝2EF＝4，且CF⊥DE，所以FM＝CM＝1，學(xué)所以五面體的體積V＝VF－ABCD＋VA－DEF＝＋＝．3、如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，點(diǎn)在線段上，且，為的中點(diǎn).（Ⅰ）若，求證平面平面；（Ⅱ）若平面平面，為等邊三角形，且，求三棱錐的體積.【答案】(Ⅰ)見解析；（Ⅱ）.方法二∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵為等邊三角形，,∴，∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，由(Ⅰ)BO⊥AD∴∵PM=2MC∴4、已知多面體中，四邊形為正方形，，，為的中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證平面；（Ⅱ）求六面體的體積.【答案】（1）見解析（2）（Ⅱ）連接，則由（Ⅰ）可知平面，平面.所以，，所以.5.如圖，正方形中，，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起得到三棱錐，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證；(2)若三棱錐的最大體積為，當(dāng)三棱錐的體積為，且為銳角時(shí)，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).(2)當(dāng)體積最大時(shí)三棱錐的高為，當(dāng)體積為時(shí)，高為，中，，作于，∴，∴，∴為等邊三角形，∴與重合，即平面，易知.∵平面，∴，∴，∴.6.如圖，三棱柱中，側(cè)面是菱形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為，且，.⑴求證平面；(2)設(shè)，若三棱錐的體積為1，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）見解析（2）試題解析（1)證明∵四邊形是菱形，∴,∵,∴平面，又平面，∴．∵,是的中點(diǎn)，∴，∵，∴平面.在中，，在中，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.7、如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，，（=1\*ROMANI）證明平面平面；（=2\*ROMANII）若，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.【答案】（=1\*ROMANI）見解析（=2\*ROMANII）（=2\*ROMANII）設(shè)AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.學(xué)8、如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長交AB于點(diǎn)G.（Ⅰ）證明G是AB的中點(diǎn)；（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）作圖見解析，體積為.試題解析（I）因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為，所以因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為，所以所以平面，故又由已知可得，，從而是的中點(diǎn).（II）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，即為在平面內(nèi)的正投影.理由如下由已知可得，，又,所以,因此平面，即點(diǎn)為在平面內(nèi)的正投影.連結(jié)，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為，所以是正三角形的中心.由（I）知，是的中點(diǎn)，所以在上，故學(xué)9、如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于點(diǎn)H，將沿EF折到的位置.(Ⅰ)證明；(Ⅱ)若,求五棱錐的體積.【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析（Ⅰ）證，再證（Ⅱ）證明，再證平面，最后根據(jù)錐體的體積公式求五棱錐的體積.試題解析（I）由已知得又由得，故10、如圖，四棱錐D中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．（I）證明平面；（II）求四面體的體積.【答案】（I）見解析；（II）．【解析】試題分析（I）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（II）由條件可知四面體N-BCM的高，即點(diǎn)到底面的距離為棱的一半，由此可順利求得結(jié)果．學(xué)