2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)真題源大題分類講義之專題07 利用空間向量解決存在性問題（解析版）

7.利用空間向量解決存在性問題一．探求線段的長度【例1】（2021年·全國甲卷）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，平面與平面所成的二面角的正弦值最小?【解析】因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因為，，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．所以，．由題設(shè)（）．（1）因為，所以，所以．（2）設(shè)平面的法向量為，因為，所以，即．令，則因為平面的法向量為，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時，取最小值為，此時取最大值為．所以，此時．【方法技巧】二．探究點的位置【例2】如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，∥，，，，E為線段AD的中點，過BE的平面與棱PD，PC分別交于點G，F(xiàn)．（1）求證：平面PAD；（2）試確定點G的位置，使得直線PB與平面BEGF所成角的正弦值為．【解析】（1）證明：連結(jié)PE，因為，且E為線段AD的中點，所以．又BC∥AD，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以BE∥CD．因為，所以．又平面，平面PCD，所以∥平面PCD．又平面BEGF，平面平面，所以BE∥GF．又平面平面ABCD，平面ABCD，，平面平面，所以平面PAD．因為平面PAD，所以，又因為BE∥GF，所以，，而，PE，平面PAD，所以平面PAD；（2）G為棱PD上靠近D的三等分點.證明如下：因為，E為線段AD的中點，所以，又平面平面ABCD，如圖，以E為坐標(biāo)原點，，，的方向為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)，得，所以．設(shè)平面BEGF的法向量為，則，即令，可得為平面BEGF的一個法向量，設(shè)直線PB與平面BEGF所成角為，于是有；解得或（舍去），所以當(dāng)G為棱PD上靠近D的三等分點時，直線PB與平面BEGF所成角的正弦值為．【方法技巧】【演練提高】1.（吉林省吉林市2021-2022學(xué)期高三上學(xué)期第二次調(diào)研測試）如圖為一塊直四棱柱木料，其底面ABCD滿足：，．（1）要經(jīng)過平面內(nèi)的一點P和棱將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線？（借助尺規(guī)作圖，并寫出作圖說明，無需證明）（2）若，，當(dāng)點P在點C處時，求直線AP與平面所成角的正弦值．【解析】（1）過點作直線分別交于連接（2）以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則.設(shè)平面的法向量為，則，取設(shè)直線與平面所成角為，所以直線與平面所成角的正弦值為.2.如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.（1）求證：直線l⊥平面PAC；（2）直線l上是否存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF?直線EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：因為E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點，所以BCEF，又因為EF平面EFA，BC不包含于平面EFA，所以BC面EFA，又因為BC面ABC，面EFA∩面ABC，所以BC，又由BC⊥AC，面PAC∩面ABCAC，且面PAC⊥面ABC，所以BC⊥面PAC，因為BC，所以⊥面PAC.（2）以C為坐標(biāo)原點，CA為x軸，CB為y軸，過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，，設(shè)，面的法向量為，則，取，得，又由，所以，，根據(jù)題意，可得，即，解得，所以直線上存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF直線EF所成的角互余，且.3.（內(nèi)蒙古海拉爾第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第三次階段考）已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F(xiàn)分別為AC和AB上的點，且AE＝1，EF∥BC，如圖1．沿EF將△AEF折起使平面AEF⊥平面BCEF，連接AC，AB，如圖2．（1）求異面直線AC與BF所成角的余弦值；（2）已知M為棱AC上一點，試確定M的位置，使EM∥平面ABF．【解析】（1）因為平面AEF⊥平面BCEF，平面AEF平面BCEF，，所以平面，所以，又，所以建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意可知，所以所以所以異面直線AC與BF所成角的余弦值為.（2）設(shè)，因為，所以設(shè)為平面的一個法向量則，即，因此可取所以因為EM∥平面ABF，所以，即所以當(dāng)時，EM∥平面ABF.4.（江蘇省南通市2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期第一次調(diào)研）如圖，在直四棱柱中，，，，.點在棱上，平面與棱交于點.（1）求證：；（2）若與平面所成角的正弦值為，試確定點的位置.【解析】（1）在直四棱柱中，平面，因為平面，所以，連接，因為，，所以，所以，又因為，平面，，所以平面，因為平面，所以.（2）以為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，易知平面的法向量為，，則，解得，則，，，設(shè)，，則，，解得，，，∴，即點為棱的中點.5.（遼寧省鐵嶺市六校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月月考）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是平行四邊形，點G在AC上且，平面ABCD，且，．（1）若H為線段DE的中點，證明：∥平面FGD；（2）若底面ABCD是正方形且，線段ED上是否存在點H，使得直線CH與平面FBE所成角的正弦值為，若存在，求的值，若不存在，請說明理由．【解析】（1）延長EC，F(xiàn)G交于點K，連接KD，因為，所以，則，又因為，∴C為線段EK的中點，又H為線段DE的中點，故，又因為平面FGD，平面FGD，故平面FGD；（2）以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，，，，設(shè)，則，，，設(shè)平面BFE的法向量，則，即，令，則，，∴，∵直線CH與平面FBE所成角的正弦值為，∴，∴，即或，∴或．6.（安徽省宣城市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末）如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，，且，．（1）證明：平面平面PBD；（2）直線PC上是否存在一點M使得二面角為直二面角，若存在，求出M點的位置；若不存在，請說明理由．【解析】（1）如圖，在直角梯形ABCD中，因為，，所以，又因為，所以．取CD的中點為Q點，因為，所以四邊形ABQD為正方形，連接AQ、BD，取AQ、BD的交點為O點，連接PO，因為，所以，所以，，，平面ABCD，平面ABCD所以平面ABCD，平面ABCD，所以，又因為，所以平面PBD，所以平面平面PBD．（2）存在，M為PC的中點．證明如下：過D點作平面ABCD的垂線，以D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，所以，，，，，，設(shè)，所以，，，設(shè)平面BDM的法向量，，所以，設(shè)平面CDM的法向量，平面CDM即平面CDP，所以，所以，若二面角為直二面角，所以，所以，所以點M存在，且為PC的中點．7.（湖南省婁底市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末）如圖，在長方體中，，．若平面APSB與棱，分別交于點P，S，且，Q，R分別為棱，BC上的點，且．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)平面APSB與平面所成銳二面角為，探究：是否成立？請說明理由．【解析】（1）在長方體中，因為平面，平面，所以，在和中，因為，,，所以，,所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面．（2）以D為坐標(biāo)原點，射線DA，DC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以，不妨設(shè)，其中，由（1）得，平面的法向量為，因為，，所以，則，若，則，解得，因為，所以成立．8.（湖南省岳陽市2022屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（一））如圖，在三棱錐中，，．（1）證明：平面SAB⊥平面ABC；（2）若，，試問在線段SC上是否存在點D，使直線BD與平面SAB所成的角為60°，若存在，請求出D點的位置；若不存在，請說明理由．【解析】（1）法一證明：取AB的中點E，連接SE，CE，∵，∴，因為所以三角形ACB為直角三角形，所以又所以所以所以又，，∴平面ABC．又平面SAB，∴平面平面ABC．法二、作平面ABC，連EA，EC，EB，EA，EC，EB都在平面ABC內(nèi)所以，，又所以因為所以三角形ACB為直角三角形，所以E為AB的中點則平面SAB，∴平面平面ABC．（2）以E為坐標(biāo)原點，平行AC的直線為x軸，平行BC的直線為y軸，ES為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)，，則，知，則，，，，，∴，，設(shè)，，則，∴，．設(shè)平面SAB的一個法向量為則，取，得，，則，得，又∵，方程無解，∴不存在點D，使直線BD與平面SAB所成的角為60°9.（山東省棗莊市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，Q為的中點，是邊長為2的正三角形，．（1）求證：平面底面；（2）棱上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．【解析】（1）證明：（1）因為Q為AD的中點，，故．因為，，所以四邊形BCDQ是平行四邊形，所以．在等邊三角形PAD中，．又，，故，故．又，，平面ABCD，平面ABCD，故平面ABCD．又平面PAD，故平面底面ABCD；（2）以Q為原點，，，所在方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．假設(shè)棱PC上存在點M，使二面角為30°．設(shè)，這里．則．又，故．設(shè)平面BQM的一個法向量為，則，即．令，則．又為平面CBQ的一個法向量，由二面角為30°，得，即．兩邊平方并化簡得，解得或（舍）．所以．故棱PC上存在點M，當(dāng)時，二面角為30°．10.（北京市石景山區(qū)2022屆高三上學(xué)期期末）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面為直角三角形，，.（1）求證：平面；（2）求證：；（3）若，，，判斷在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的大小為.【解析】（1）因為四棱錐中，，所以，因為，，所以平面.（2）因為，，所以，又因為，所以，因為，，所以.(3)存在，當(dāng)為線段中點時，理由如下：由（2）可知，因為，，所以，又，，如圖以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，由得令，所以.設(shè)，則，所以，直線與平面所成角為，所以，解得，符合題意，所以當(dāng)為線段中點時，直線與平面所成角的大小為.11.如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點.（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【解析】（1）設(shè)是的中點，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，且平面，所以平面.（2），設(shè)，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡得，解得或（舍去）.所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且.12.（湖北省武漢市武昌區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期1月質(zhì)量檢測）如圖，一張邊長為4的正方形紙片ABCD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，將正方形紙片沿EF對折后豎立在水平的桌面上．（1）求證：；（2）若二面角的平面角為45°，K是線段CF（含端點）上一點，問是否存在點K，使得直線AK與平面CDEF所成角的正切值為？若存在，求出CK的長度；若不存在，說明理由．【解析】（1）因為，，，所以平面ADE．因為平面ADE，所以．（2）方法一：因為，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．因為平面ADE，所以平面平面ADE．過A作，垂足為G，因為平面平面，所以平面CDEF．連結(jié)KG，則為AK與平面CDEF所成的角，即．在中，因為，，所以．在中，因為，所以．設(shè)，過K作于H，則．在中，由，得，解之得或（舍），所以，即．方法二：因為，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A（2，0，0），，設(shè)直線AK與平面CDEF所成角為，則，從而．設(shè)平面CDEF法向量為，直線AK的方向向量與平面CDEF法向量所成的角為，則．因為，所以，令，則所以，解得．此時，點K為點F，CK的長度為2．13.如圖1，已知正方形的邊長為，分別為的中點，將正方形沿折成如圖