2021新高考數學(山東專用)二輪復習學案：板塊1應試技巧必備

應試技巧必備巧用5招秒殺選擇題、填空題妙招1特值(例)法特值(例)法是根據題設和各選項的具體情況和特點，選取滿足條件的特殊的數值、特殊的點、特殊的例子、特殊的圖形、特殊的位置、特殊的函數、特殊的方程、特殊的數列等，針對各選項進行代入對照，從而得到正確答案的方法．(1)使用前提：滿足當一般性結論成立時，對符合條件的特殊情況也一定成立．(2)使用技巧：找到滿足條件的合適的特殊例子，有時甚至需要兩個或兩個以上的特殊例子才可以確定結論．(3)常見問題：求范圍，比較大小，含字母求值或區(qū)間，恒成立問題，任意性問題等．真題示例技法應用(2020·全國卷Ⅱ)若α為第四象限角，則()A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0當α＝－時，cos2α＝0，sin2α＝－1，排除A，B，C，故選D．(2019·全國卷Ⅰ)已知三棱錐PABC的四個頂點在球O如圖所示，構造邊長為的正方體PBJA的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三CDHG，顯然滿足題設的一切條件，則球O就是該角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，正方體的外接球，從而體積為則球O的體積為()π.選DA．8C．2πB．4πD．ππ結合三角函數的定義，取角α終邊上的特殊點(2017·全國卷Ⅰ)已知α∈＝________.，tanα＝2，則cos(1,2)，求出sinα＝，cosα＝，代入計算．答案：(2017·山東高考)若a>b>0，且ab＝1，則下列不等式根據條件不妨對a，b選取特殊值驗證，如a＝2，b＝成立的是()時，選項A，C，D對應的不等式不成立．選BA．a＋B．<<log2(a＋b)<log2(a＋b)<a＋C．a＋<log2(a＋b)<D．log2(a＋b)<a＋<(2016·全國卷Ⅱ)函數y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則()結合圖象，分別取x＝0和x＝驗證．選AA．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sin妙招2排除法數學選擇題的解題本質就是去偽存真，舍棄不符合題目要求的選項，找到符合題意的正確選項．排除法就是通過觀察分析或推理運算題目提供的信息或通過特例，對錯誤的選項逐一剔除，從而獲得正確選項的方法．(1)使用前提：四個選項中有且只有一個正確答案，適用于定性型或不易直接求解的選擇題．(2)使用技巧：當題目中的條件多于一個時，先根據某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據另一些條件在縮小選項的范圍內找出矛盾，這樣逐步篩選．它與特值(例)法、驗證法等常結合使用．(3)常見問題：函數圖象的判別，不等式，空間線面位置關系等不宜直接求解的問題．真題示例技法應用(2019·全國卷Ⅱ)若a＞b，則()A．ln(a－b)＞0選擇滿足a＞b的一組數據逐一排除錯誤答案，比如a＝0，b＝－1.選CB．3a＜3bC．a3－b3＞0D．|a|＞|b|(2020·全國卷Ⅱ)設函數f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，則f(x)()由得函數f(x)的定義域為A．是偶函數，且在，＋∞單調遞增∪∪，其關于B．是奇函數，且在－，單調遞減原點對稱，因為f(－x)＝ln|2(－x)＋1|－ln|2(－x)－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以函數f(x)為奇C．是偶函數，且在－∞，－D．是奇函數，且在－∞，－單調遞增單調遞減函數，排除A，C．當x∈ln(2x＋1)－ln(1－2x)，易知函數f(x)單調遞增，排時，f(x)＝除B．當x∈－∞，－時，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln，易知函數f(x)單調遞減，故選D(2019·全國卷Ⅲ)函數y＝致為()在[－6,6]的圖象大由函數解析式易知函數為奇函數，故可排除C，再取特殊值x＝4，可排除D，取特殊值x＝6，可排除A．選B妙招3驗證法驗證法是把選項代入題干中進行檢驗，或反過來從題干中找合適的驗證條件，代入各選項中進行檢驗，從而可否定錯誤選項，得到正確選項的方法．(1)使用前提：選項中存在唯一正確的答案．(2)使用技巧：可以結合特值(例)法、排除法等先否定一些明顯錯誤的選項，再選擇直覺認為最有可能的選項進行驗證，這樣可以快速獲取答案．(3)常見問題：題干信息不全，選項是數值或范圍，正面求解或計算繁瑣的問題等．真題示例技法應用(2020·新高考全國卷Ⅰ)若定義在R的奇函數?(x)在(－∞，0)單調遞減，且?(2)＝0，則滿足x?(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1,1]∪[3，＋∞)當x＝3時，f(3－1)＝0，符合題意，排除B；當x＝4時，f(4－1)＝f(3)<0，此時不符合題意，排除選項A，C．選DB．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)D．[－1,0]∪[1,3](2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數列{an}的前n項由已知S4＝0，a5＝5可知S5＝5，驗證和．已知S4＝0，a5＝5，則()A．an＝2n－5B．an＝3n－10選項C，D可知C，D錯誤；再由a1＋a2＋a3＋a4＝0驗證選項A，B，可知B錯誤．選AC．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2n(2018·全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則()當x＝0時，sinx＝0，cosx＝1，函數值為4，所以A，C錯誤；驗證可得f(x＋π)＝f(x)，所以D錯誤．選BA．f(x)的最小正周期為π，最大值為3B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4(2018·全國卷Ⅲ)下列函數中，其圖象與函數y＝lnx的圖象關于直線x＝1對稱的是()A．y＝ln(1－x)函數y＝lnx的圖象過點(1,0)，而點(1,0)關于直線x＝1對稱的點是(1,0)，經驗證只有B符合題意．選BB．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)(2017·全國卷Ⅰ)函數f(x)在(－∞，＋∞)單調遞減，且為奇函數．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f當x＝4時，f(x－2)＝f(2)＜f(1)＝－(x－2)≤1的x的取值范圍是()A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3]1，不符合題意，當x＝3時，f(x－2)＝f(1)＝－1，符合題意．選D妙招4構造法構造法是一種創(chuàng)造性的解題方法，它很好地體現了數學中的發(fā)散、類比、轉化思想．利用已知條件和結論的特殊性構造函數、數列、方程或幾何圖形等，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的或不易求解的數學問題得到簡捷解答．構造法來源于對基礎知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯想，橫向類比，從曾經類似的問題中找到構造的靈感．(1)使用前提：所構造的函數、方程、圖形等要合理，不能超越原題的條件限制．(2)使用技巧：對于不等式、方程、函數問題常構造出新函數，對于不規(guī)則的幾何體常構造成規(guī)則幾何體處理．(3)常見問題：比較大小，函數與導數問題，不規(guī)則的幾何體問題等．真題示例技法應用(2019·全國卷Ⅲ)設f(x)是定義域為R的偶函數，且在(0，＋根據題意可構造函數f(x)＝－|x|(或構造∞)單調遞減，則()函數f(x)＝－x2等都可以)，代入比較即可．選CA．fB．fC．f＞f＞f＞f＞f＞f＞fD．f＞f＞f由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－<2y－(2020·全國卷Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，則().設f(x)＝2x－，A．ln(y－x＋1)>0B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0則f(x)<f(y)．因為函數y＝2x在R上為增函數，y＝－在R上為增函D．ln|x－y|<0數，所以f(x)＝2x－在R上為增函數，則由f(x)<f(y)，得x<y，所以y－x>0，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0.選A(2018·全國卷Ⅱ)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝在長方體ABCDABCD的平面11111，AA＝，則異面直線AD與DB所成角的余弦值為111ABB1A1的一側再補填一個完全一樣的長方體ABC2D2A1B1B2A2，研究△AB2D1即可．選C()A．B．C．D．妙招5估算法因為選擇題提供了唯一正確的答案，解答又不需提供過程，所以可以通過猜測、合理推理、估算而獲得答案，這樣往往可以減少運算量，但同時加強了思維的層次．估算省去了很多推導過程和復雜的計算，節(jié)省了時間，從而顯得更加快捷．(1)使用前提：針對一些復雜的、不易準確求值的與計算有關的問題．常與特值(例)法結合起來使用．(2)使用技巧：對于數值計算常采用放縮估算、整體估算、近似估算、特值估算等，對于幾何體問題，常進行分割、拼湊、位置估算．(3)常見問題：求幾何體的表面積、體積，三角函數的求值，求離心率，求參數的范圍等．真題示例技法應用(2019·全國卷Ⅰ)古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的頭頂至脖子下端的長度為26cm，可得咽喉至肚臍的長度小于42cm，肚臍至足底的長度小于110cm，則該人的身高小于178cm.又由肚臍至足底的長度長度與肚臍至足底的長度之比是大于105cm，可得頭頂至肚臍的長度，著名的“斷臂維大于65cm，則該人的身高大于170cm.納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至選B肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm(2017·全國卷Ⅲ)函數f(x)＝最大值為()sin＋cos的當x＝時，函數值大于1.選AA．B．1C．D．·＝||·||·cos∠PAB＝|cos∠PAB表2||cos∠PAB，又|(2020·新高考全國卷Ⅰ)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的示在合圖形(圖略)可知，當P與C重合時投影最大，當P與F重合時投影最?。址较蛏系耐队?，所以結一點，則·的取值范圍是()A．(－2,6)B．(－6,2)C．(－2,4)D．(－4,6)··＝2×2×cos30°＝6，＝2×2×cos120°＝－2，故當點P在正六邊形ABCDEF內部運動時，·∈(－2,6)，故選A(2018·全國卷Ⅲ)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上等邊三角形ABC的面積為9，顯然球心不是此三角形的中心，所以三棱四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9體積的最大值為()，則三棱錐DABC錐的體積最大時，三棱錐的高h應滿足h∈(4,8)，所以×9×4＜V三棱錐A．12C．24B．18D．54DABC＜＜V三棱錐DABC＜24×9×8，即12.選B(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關系為()因為a＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＝log＝log25＞A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b1，c＝0.50.2＝≥妙用8個二級結論巧解高考題結論1奇函數的最值性質已知函數f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數，則對任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若奇函數f(x)在D上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，則f(0)＝0.[鏈接高考]1．(2012·全國新課標)設函數f(x)＝2[顯然函數f(x)的定義域為R，的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________.f(x)＝＝1＋，設g(x)＝，則g(－x)＝－g(x)，∴g(x)為奇函數．由奇函數圖象的對稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]結論2函數周期性問題已知定義在R上的函數f(x)，若對任意的x∈R，總存在非零常數T，使得f(x＋T)＝f(x)，則稱f(x)是周期函數，T為其一個周期，常見的與周期函數有關的結論如下：(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函數，其一個周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函數，其一個周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函數，其一個周期T＝2a.(4)如果f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，那么f(x)是周期函數，其一個周期T＝6a.[鏈接高考]2．(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50C[∵f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函數，且一個周期為4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故選C．]結論3函數圖象的對稱性已知函數f(x)是定義在R上的函數．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．對稱，特別地，若f(a＋x)＝f(a－x)中心對稱．特別地，若f(a＋x)＋f(a－(2)若f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關于點x)＝2b恒成立，則y＝f(x)的圖象關于點(a，b)中心對稱.[鏈接高考]3．(2017·全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝lnx＋ln(2－x)，則()A．f(x)在(0,2)單調遞增B．f(x)在(0,2)單調遞減C．y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱D．y＝f(x)的圖象關于點(1,0)對稱C[f(x)的定義域為(0,2)．f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．設u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，則u＝－x2＋2x在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減．又y＝lnu在其定義域上單調遞增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減．∴選項A，B錯誤．∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，∴選項C正確．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋lnx]＋[lnx＋ln(2－x)]＝2[lnx＋ln(2－x)]，不恒為0，∴f(x)的圖象不關于點(1,0)對稱，∴選項D錯誤．故選C．]結論4等差數列的有關結論(1)若Sm，S2m，S3m分別為等差數列{an}的前m項，前2m項，前3m項的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列．(2)若等差數列{an}的項數為2m，公差為d，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，則所有項之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.(3)若等差數列{an}的項數為2m－1，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，則所有項之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，[鏈接高考]＝.4．(2015·全國卷Ⅱ)設Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝()A．5B．7C．9D．11A[法一：利用等差數列的性質進行求解．∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故選A．法二：利用等差數列的通項公式和前n項和公式進行整體運算．∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故選A．]結論5等比數列的有關結論(1)公比q≠－1時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比數列(n∈N*)．(2)若等比數列的項數為2n(n∈N*)，公比為q，奇數項之和為S奇，偶數項之和為S偶，則S偶＝qS奇．(3)已知等比數列{an}，公比為q，前n項和為Sn，則Sm＋n＝Sm＋qmSn(m，n∈N*)．[鏈接高考]5．(2020·全國卷Ⅰ)設{an}是等比數列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝()A．12B．24C．30D．32D[設等比數列{an}的公比為q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故選D．]結論6多面體的外接球和內切球(1)長方體的對角線長d與共點的三條棱a，b，c之間的關系為d2＝a2＋b2＋c2；若長方體外接球的半徑為R，則有(2R)2＝a2＋b