曲線積分與曲面積分總結(jié)

第十一章：曲線積分與曲面積分一、對弧長的曲線積分f(x,y)dsf(x,y)d2xd2yLLB參數(shù)方程Axx(t)t若L:y(t)y則原式=f(x(t),y(t))x2(t)y2(t)dt對弧長的曲線積分f(x,y,z)dsf(x(t),y(t),z(t))d2xd2yd2zLLxx(t)若L:yy(t)tzz(t)則原式=f(x(t),y(t),z(t))(x(t))2x(y(t))2(z(t))2dt常有的參數(shù)方程為：x2xxyyyy(x)y(x)yxx(y)2xxx(y)yxyy22特其他：ex2y2dse2dse2dse2.2LLLL為上半圓周x2y2=2(y0)二、對坐標(biāo)的曲線積分p(x,y)dxq(x,y)dyLxx(t)，終點處t計算方法一：若L:起點處t則yy(t)原式=p(x(t),y(t))x(t)dtq(x(t),y(t))y(t)dt對坐標(biāo)的曲線積分L

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzxx(t)L:yy(t)起點處t，終點處t則zz(t)原式=P(x(t),y(t),z(t))x(t)dtQ(x(t),y(t),z(t))y(t)dtR(x(t),y(t),z(t))z(t)dt計算方法二：在計算曲線積分時，經(jīng)過適合的增添線段或曲線，是之變?yōu)橐粋€關(guān)閉曲線上的曲線積分與所增添線段或曲線上的曲線積分之差，進(jìn)而對前者利用格林公式，后者利用參數(shù)方程。?p(x,y)dxq(x,y)dyp(x,y)dxq(x,y)dyLLL(qp)dxdyp(x,y)dxq(x,y)dyDxyL1如圖：LL1三、格林公式(qp)dxdyp(x,y)dxq(x,y)dy此中L為D的正向界限D(zhuǎn)xyL特別地：當(dāng)qp時，積分與路徑?jīng)]關(guān)，xy(x2,y2)x2p(x,y1)dxy2且p(x,y)dxq(x,y)dyq(x2,y)dy(x1,y1)x1y1P(x,y)dxQ(x,y)dydU(x,y)是某個函數(shù)的全微分QPxy注：在計算曲線積分時，經(jīng)過適合的增添線段或曲線，是之變?yōu)橐粋€關(guān)閉曲線上的曲線積分與所增添線段或曲線上的曲線積分之差，進(jìn)而對前者利用格林公式。四、對面積的曲面積分1、當(dāng)曲面為2、當(dāng)曲面為3、當(dāng)曲面為

zf(x,y)(x,y,z)ds(x,y,f(x,y))1fx2fy2dxdyxyyf(x,z)(x,y,z)ds(x,f(x,z),z)1fx2fz2dxdzxzxf(y,z)(x,y,z)ds(f(y,z),y,z)1fy2fz2dydzyz特其他：ds面積。222例：exyzdse2dse2dse22r2為上半球面x2y2z22(z0)五、對坐標(biāo)的曲面積分1、R(x,y,z)dxdy中，只好為zf(x,y)，它在xoy面的投影為Dxy，且外法向量與Z軸正向的夾角為銳角，則原式=R(x,y,f(x,y))dxdy，不然為負(fù)；D2、Q(x,y,z)dzdx中，只好為yf(x,z)，它在xoz面的投影為Dxz，且外法向量與Y軸正向的夾角為銳角，則原式=R(x,f(x,z),z)dxdz，不然為負(fù)；D3、P(x,y,z)dydz中，只好為xf(y,z)，它在yoz面的投影為Dyz，且外法向量與X軸正向的夾角為銳角，則原式=R(f(y,z),y,z)dydz，不然為負(fù)；D計算方法：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdyòP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdyP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy11=PQRP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy(y)dvxz1注：在計算曲面積分時，經(jīng)過適合的增添平面或曲面，是之變?yōu)橐粋€關(guān)閉曲面上的曲面積分與所增添平面或曲面上的曲面積分之差，進(jìn)而對前者利用高斯公式。六、高斯公式PdydzQdzdxRdxdy(PQR)dv