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文檔簡介
本節(jié)內容
三、函數(shù)極限的性質定義1.設函 的某去心鄰域內有定義若
0,
0,當0
x
時
f(x)則稱常數(shù)A為函 時的極限,記
f(xA 時
AAA
y
(x) 例1.
(注意x=1無定義證
(x)故
0
, 時,必x2x1x21因
x1例2.證明:
0,欲
0 x0只 可
保證.
x0
x0,
則當0
x
時,x因 x
2.(單側極限
f(x)
0xx0
f(x)
f
0)00,0
0,
x(
x00時0
f(x)
0xx0
f(x)
f
0)
0,
0
x(x0
x0
f
時
0xx0
f(x)
0xx0
f(x)例3x1,
x
yx1f(x)
x
O1
1
x
yx1討論
0
f(x)
的極限是否存在解:1x0
f
lim(x
x0
f(x)
lim(xx0
顯然
(0)
(0
x0
f(x)
例
設f(x)
ex2x2x
xx
求
f
f解 x4
f(x)
2x1
x0
f(x)
limexx0
f
2x
因 x0
f(x)
f(x)
所以
f(x)
二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極定義2.設函 大于某一正數(shù)時有定義,0,
0,
Ax
f(x)
時的極限xxX或x
A
f(x)
AAA
A
y
(x) 直線y=A為曲 的水平漸近線例5
limx
y證
1 0,欲 取X1 就注x
f(x)
0,X0,
時,f(x)A0,
0x
時f(x)A幾何意義
直線yA仍是曲線yf(x的漸近線
y0;
y例
f
ex,
解
f(x)f(x)
limexlimex
所以
f(x不存三、函數(shù)極限的性
U(U(x0,xx
f(x函數(shù)
(x)
在x0的某去心鄰域內有界
f(x)
(x)當x充分大時有定理2.若 且A>0,(A<0
f(x)(f(x)
證:時即證:時A0時,(<
A
y
(x)
A(
x0x0推論.若 的某去心鄰域內
(x0(f(x)
A
(反證法證明略(A思考2
(x)
0是否必
A0?函數(shù)極限的定
當xU(x0時
g(x)
f(x)
h(x(xX0xx0
g(x)
xx0
h(x)(x (xlimxx0(x
(x)(仿照數(shù)列極限的定理證明
f(x)
xn:
xn
f(xn
xnxxn
xn
(n
有
f(xn)說明 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在法1找一個數(shù)列
xn
x0,n
f(xn
不存在 的不同數(shù)列xn及xn,
f(xn)
例6.證 不存在1證:012xn2
2n
2nπ
(n
sin
))
sin2nπ
sin(2nπ 2由定理4 不存在2
xx0
f(x存在
是否一定有xx0
f(x)
f(x0)ax2
x
f(x)
存在
f(x)
2x1,
x
a 函數(shù)極限"
或"X
作習題19,21(2)(3),23,24改成
f(補充
x31.2x
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