第5講-向量、方程組,特征值特征向量2015基礎(chǔ)

n維向量、向量的線性組合與線性表示向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)、性質(zhì)及判別法求向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩,向量組的秩與矩陣的秩間的關(guān)系齊次線性方程組有非齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解與解的結(jié)構(gòu)求齊次和非齊次線性方程組的通矩陣的特征值與特征 n個有次序的數(shù)a1a2an所組成的數(shù)組稱為n維向量.n維向量寫成一行，稱為行向量，通常用T,T等表示，如：aTaa, n維向量寫成一列，稱為列向量，通常用等表a1如：aaTC數(shù)aT2 注意行向量和列向量總被行向量和列向量都按照矩陣的運算法則進當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當(dāng)作列向量m個n維列向量所組成的向量組1,2,,m構(gòu)成一個nm矩陣A(1,2,,m)

T,

T,T 1T B 定義:給定向量組A1,2,,m，對于任何一k11k22km稱為向量組的一個線性組合給定向量組A1,2,,m和向量如果存在一組數(shù)1122mm則向量是向量組的線性組合，這時稱向量能由向量組A線性表示．即線性方程組:x11x22xmm 有解定義:給定向量組A:1,2,,m如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,kmk11k22kmm則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．注意1.若1,2,,n線性無關(guān)則只有當(dāng)1n0時才有1122nn01,2,,nXx11x22xnn03.對于含有兩個向量的向量組它線性相關(guān)的充要條件是兩向量的分量對應(yīng)成比例1,2當(dāng)m2時）線性相關(guān)的充分必要條件是1,2,,m中至少有一個向量可由其余m1個向量線性表示．定理:向量組1,2,,m線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A(1,2,,m)的秩小于向量個數(shù)m;向量組線性無關(guān)的充分必要條件是RA)m. 0 2已知 2 4 2 2 2解:(,,) 4 2 2 7 5 0 1,2定義:設(shè)有向量組A，如果在中能選出r個向1,2,,r，滿（1）向量組A0:1,2,,r線性無（2）向量組中任意r1個向量都線性相那么稱向量組A0是向量組的一個極大線性無定理:矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等它的行向量組的秩1,21,2,,r 11,29,3 解：構(gòu)造矩陣 5 4

向量組1，2，

線性無求向量組1 0)T,2 1)T35

1)T 4 1)T的秩

1)T解:作矩陣A

5對A作初等行變換,化A為階梯

2A

5

6 46 1 2 2 6 4 4 5 1 的列RA故向量組1

5的秩為a11x1a12

a1nxn x x 設(shè)線性方程組

amnxn a1n x1 b1

x bA(,)

2n x 2 2

x b x1x

mn

n mAx(,) 2xxx

x x n

齊次方程組AX定理1 n元齊次線性方程組Amnx0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩RAn.解的情況只有兩種：只有零解和非零解；根據(jù)未知數(shù)個數(shù)n，和rA)來判斷AX0只有零 r(A) AX0有無窮多解rA從向量組的角度看:AX01,2,,s線性相關(guān)1,2,,t稱為齊次線性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系如果1,2,,t是Ax0的一組線性無關(guān)的解(2)Ax0的任一解都可由1,2,,t線性表示如果1,2,,t為齊次線性方程組Ax0的一組基礎(chǔ)解系那么,Ax0的通解可表示為xk11k22其中k1,k2,,knr是任意常數(shù)當(dāng)RArn時方程組必有含nr基礎(chǔ)解系1,2nr,此時,方程組的解可表xk11k22其中k1,k2,knr為任意實數(shù)RA時求齊次線性方程x12x2x3x3x 0的基礎(chǔ)解系與通解 2 012 0132 11A

0 x x0 xx1x x0 x 即得基礎(chǔ)解 1,并由此得到通 1 1 x1 xc1，c為任意實2 1 3 x12x3x4 xx 3x2x35x4解:對系數(shù)矩陣A作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚仃? A 2 5

0 x12x3x40x12x3 xxx x 當(dāng)：x31x40時，x12x2當(dāng)：x30x4時，x11x22 11 1通解為：k

k

k1,k2為任意實11 20 非齊次方程組AX n元非齊次線性方程組Amnxb有解陣BA,b的秩.AX無 r(A|)r(AX唯一 r(A|)r(A)AX無窮多解rA|)rAAX有解1,2r(1,2,n,)r(1,2,n設(shè)Ax的解,是方程Ax的解則x仍是方程Axb的解非齊次線性方程組Ax xk

.其中k11knrnr為對應(yīng)齊次線性方程組的通為非齊次線性方程組的任意一個特解x12x3x4 xx 3x2x35x4解:對系數(shù)矩陣A作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚?2202202113131731A 13 3

121 100 00 x12x3x42x12x3x4 xxx xx

21 取xx0,則x2x1,即 對應(yīng)的齊次

00 0 對應(yīng)的齊次線性方程組的通2 11 1k k 11 20

k1k2為任意

x1 2 1 2x 1 1 1原方程組通2k

k x 11 20 03 x4 0 1 0(k1,k2為任意常數(shù)3x15x26x34x4x2x4x

4x5x2x 3x18x224x319x4

43

3 3 4 5A

3 3 15

5

7

0 0

0

0 0

75 0 0

0

0 0 當(dāng)x31x40時有x18x2當(dāng)x30x4時有x17,x25得基礎(chǔ)解系8 51 ,2 則通解為：x

k22k1k2為任意常1 00 1 2x1x2x3 2xx 的通解

2x3AA22，對A作初等行變421414 2 2 4 2

4 6 2 x為自由未知量，對應(yīng)齊次方程組的通解為：k13

非齊次方程組的特解 非齊次方程組的通解為：k12

定義設(shè)A是n階矩陣如果數(shù)和n維非零列向量使關(guān)系式A成立那么這樣的數(shù)稱為方陣的特征值非零向量稱為的對應(yīng)于特征值的特征向量.說明特征向量0特征值問題是對方陣而言的n階方陣的特征值就是使齊次線性方程組AEx0有非零解的值即滿足方程AE0的都是矩陣的特征值a11

A

0

an

ann稱以為未知數(shù)的一元n次方特征方

A

0為f

A

,它是的n次多項式,稱其為方陣的特征多項設(shè)n階方陣Aaij的特征值為12,n,則 12na11a22ann 12nA求特征方AE的全部根12,n就是的全部特征值對于特征值i求齊次方程組AiEx的非零解,就是對應(yīng)于i的特征向量 求A 3 解3 3

(3x)21862(4)(2所以的特征值為1223

1x10 32x 0 2 x1x2 即x 解得x1x2所以對應(yīng)的特征向量可取為p1當(dāng)24時,

113 1x10,即1

1x10 34x

0

1x

0 2 2 解得x1x2p21. 定理設(shè)12,m是方陣的m個特征值p1,p2pm依次是與之對應(yīng)的特征向量.如果12,各不相等p1p2,pm線性無關(guān)注意屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的．矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的,一個特征值具有的特征向量不唯一；的特征值是，則A1的特征值是An的特征值是nkAE特征值是k定 設(shè)A,B都是n階矩陣,若有可逆矩陣P,P1AP則稱B是的相似矩陣,或說矩陣A與B相似.對A進行運算P1AP稱為對A進行相似變換,可逆矩陣P稱為把A變成的相似變換矩陣. 若n階矩陣與B相似,則與的特征多項式相同,從而與的特征值亦相同.1 n相似,則12,,n即是的n個特征值n階方陣A若可找到可逆矩陣P使P1AP為對角陣這就稱為把方陣A定 n階矩陣A與對角矩陣相似(即A能對角化的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量 P1AP，P的列向量p就是A的對應(yīng)于特征值 特征向量如果n階矩陣的n個特征值互不相等，則A與對角陣如果的特征方程有重根，此時不一定有n的特征向量，從而矩陣A 2判斷矩陣A能否對角化,A 4 24 22412解1)A247242122,3122代入A1E0得方程組x12x22x3 2 22x4 4 解之得基礎(chǔ)解1 0.

2x4 4

0 1 不同特征值的特征向量線性無關(guān)，所以A可以找到三個線性無關(guān)的特征向量，即A可對角化. 0 求矩陣A 2 1 AE

3 2

(2)(1所以的特征值為1223當(dāng)12時解方程A2E)x 0 0A2E 0