《微分幾何》考試試卷與參考

(圓滿word版)?微分幾何?考試一試卷與參照(圓滿word版)?微分幾何?考試一試卷與參照(圓滿word版)?微分幾何?考試一試卷與參照?微分幾何?結(jié)業(yè)考試一試卷密名姓次層封業(yè)專線校學(xué)讀報(bào)

題號(hào)一二三四總分得分一、判斷題：〔正確打√，錯(cuò)誤打×。每題2分，共10分〕〕1、等距變換必定是保角變換.〔〕2、空間曲線的形狀由曲率與撓率獨(dú)一確立.〔〕3、二階微分方程A(u,v)du22B(u,v)dudvB(u,v)dv20總表示曲面上兩族曲線.〔〕4、連結(jié)曲面上兩點(diǎn)的全部曲線段中，測(cè)地線必定是最短的.〔〕5、坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是F0，這里F是第一根本量.〔〕二、填空題：〔每空3分，共33分〕1、已知r{cos3x,sin3x,cos2x}，0x，那么，2，，，.2、曲面的第一根本形式為Iv(du2dv2)，v0，求坐標(biāo)曲線的測(cè)地曲率.2、已知曲面r{ucosv,usinv,v6，}u0，0v，那么它的第一基本形式2為，第二根本形式為，高斯曲率K，均勻曲率H，點(diǎn)1,0,0)(處沿方向du:dv2的法曲率，點(diǎn)(1,0,0)處的兩個(gè)主曲率分別為。三、計(jì)算題〔每題12分，共24分〕1、求曲面zx3y3的漸近曲線.?微分幾何?試卷第1頁(yè)共4頁(yè)314四、綜合題：〔每題11分，共33分〕1、設(shè)空間兩條曲線和C的曲率各處不為零，假定曲線和C能夠成立一一對(duì)應(yīng)，且在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線相互平行，求證曲線和C在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角.3、問曲面上曲線的切向量沿曲線自己平行挪動(dòng)的充要條件是曲面上的曲線是測(cè)地線嗎？為何？2、給出曲面上一條曲率線，設(shè)上每一點(diǎn)處的副法向量和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角.求證是一條平面曲線.?微分幾何?試卷第2頁(yè)共4頁(yè)?微分幾何?參照答案一、判斷題：1.2.3.4.5.二、填空題：①1{3cosx,3sinx,4}②{sinx,cosx,0}③1{4cosx,4sinx,3}55④6⑤8⑥du2(u236)dv2⑦12dudv25sin2x25sin2xu236⑧(u236⑨0⑩2437116,636)21517○3737三、計(jì)算題：1、求曲面zx3y3的漸近曲線.解設(shè)r{u,v,u3v3}那么ru{1,0,3u2}，rv{0,1,3v2}，nrurv1{3u22,1}|rurv|9u49v4,3v1ruu{0,0,6u}，ruv0，rvv{0,0,6v}Lnruu6u，Mnruv0，Nnrvv6v〔6分〕9u49v49u49v411因漸近曲線的微分方程為L(zhǎng)du22MdudvNdv20即udu2vdv2或uduvdv033C1或(33C2〔12分〕漸近曲線為u2v2u)2v22、曲面的第一根本形式為Iv(du2dv2)，v0，求坐標(biāo)曲線的測(cè)地曲率.解EGv，F(xiàn)0，Gu0，Ev1〔4分〕u-線的測(cè)地曲率guEv1〔8分〕2EG2vv

Guv-線的測(cè)地曲率gv0〔12分〕2GE四、綜合題：設(shè)空間兩條曲線和C的曲率各處不為零，假定曲線和C能夠成立一一對(duì)應(yīng)，且在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線相互平行，求證曲線和C在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角.證設(shè):rr(s)，:rr(s)，那么由//知，進(jìn)而0，0，d()ds0dsdsconstant，即cos,C這說(shuō)明曲線和C在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角.〔11分〕給出曲面上一條曲率線，設(shè)上每一點(diǎn)處的副法向量和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角.求證是一條平面曲線.證設(shè):rr(u,v)，:uu(s),vv(s)，此中s是的自然參數(shù)，記r,n，那么rncos，兩邊求導(dǎo)，得nrdn0，〔4分〕為曲率線知dn//dr，即dn//drdsdnnrdr由，所以nr0。dsdsdsds假定0，那么為平面曲線；〔6分〕假定n0，那么由于曲面上的一條曲率線，故dnndr.而nnn0，所以dn0，即n為常向量.于是為平面曲線.〔11分〕問曲面上曲線的切向量沿曲線自己平行挪動(dòng)的充要條件是曲面上的曲線是測(cè)地線嗎？為何？答：曲面上曲線的切向量沿曲線自己平行挪動(dòng)的充要條件是曲面上的曲線是測(cè)地線.〔3分〕事實(shí)上，設(shè):iui( )(i1,2)，那么的切向量為r1du1du2usds2ds記a1du，a2du2，Da1da11ijaiduj，Da2da2ij2aidujdsdsi,ji,j那么曲線的切向量沿平行