飛行器結(jié)構(gòu)力學電子教案

飛行器結(jié)構(gòu)力學基礎

——電子教學教案第1頁，共66頁。第三章靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形計算InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures第三講靜定結(jié)構(gòu)的位移計算第2頁，共66頁。一、結(jié)構(gòu)位移計算概述結(jié)構(gòu)在外界因素（諸如載荷、溫度改變、支座移動、制造誤差等）作用下幾何形狀發(fā)生的變化，稱為結(jié)構(gòu)變形。1、結(jié)構(gòu)的變形結(jié)構(gòu)變形可通過不同的結(jié)構(gòu)位移形式來表征，并通過計算位移值來定量描述。第3頁，共66頁。2、結(jié)構(gòu)位移的形式線位移，角位移，相對線位移，相對角位移等統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)位移線位移：參考點沿某一方向上的變形量。角位移：參考截面或元件的轉(zhuǎn)動變形量，轉(zhuǎn)角、扭轉(zhuǎn)角等。相對線位移：兩個參考點沿某一方向上的相對變形量。相對角位移：兩個參考面或元件間的相對轉(zhuǎn)動變形量。第4頁，共66頁。計算結(jié)構(gòu)的位移是結(jié)構(gòu)設計中的一項非常重要的內(nèi)容，一方面為研究結(jié)構(gòu)的剛度提供數(shù)據(jù)，另一方面為靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算奠定基礎。實質(zhì)：分析結(jié)構(gòu)幾何關(guān)系的變化。3、計算結(jié)構(gòu)位移的目的第5頁，共66頁。二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能對于圖(a)的桿件為完全彈性體，其橫截面積為A，長度為L。在載荷P作用下桿件的軸向力N由零逐漸增加到最終值P，桿件的變形也由零逐漸增加到Δ。力與變形之間的關(guān)系按圖(b)曲線變化。這時外力所作的功W等于

按照能量守恒原理，外載荷所作的功就以能量的形式貯存于桿件中。彈性體變形后具有的作功能力，稱為變形能或應變能，用U表示應變能。

第6頁，共66頁。二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能對于完全彈性體，顯然應變能就等于外力所作的功，即圖示桿件的應變能為式中稱為應變能密度(單位體積的應變能)。圖(b)中曲線下面的那部分面積就代表了外力所作的功W或應變能U的大小。第7頁，共66頁。二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能圖(b)曲線上面的那部分面積所代表的功量記為W*或U*，并稱W*為外力余功，稱U*為余應變能。對完全彈性體來說，

圖示桿件的外力余功W*和余應變能U*為式中稱為余應變能密度(單位體積的余應變能)。第8頁，共66頁。二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能外力余功W*或余應變能U*并無任何物理意義，純粹是為了使用上的方便而定義的一個數(shù)學量而已。但可以證明，余應變能同樣服從工程結(jié)構(gòu)中的能量守恒原理，因而，通過它所建立的一種能量方法同樣可用于實際結(jié)構(gòu)分析。在線彈性情況下，載荷-位移曲線退化為直線，應變能U與余應變能U*相等，從而應變能和余應變能可以互換。第9頁，共66頁。二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能將應變能U和余應變能U*

分別對Δ和P微分，可得到分別表示應變能對位移的一階導數(shù)等于外力，而余應變能對外力的一階導數(shù)等于位移，可適用于線彈性或非線彈性情況。在線彈性情況下，著名的卡氏第二定理,只適用于線彈性情況。第10頁，共66頁。二、回顧：外力功和變形能2.2線彈性結(jié)構(gòu)元件的應變能和余應變能的表達式等軸力桿等彎矩梁等扭轉(zhuǎn)桿第11頁，共66頁。三、廣義力與廣義位移在結(jié)構(gòu)力學中，經(jīng)常用到各種不同類型的力和與這些力相對應的位移。如圖所示的三種線彈性元件上，分別作用有集中力、彎矩、扭矩，對應于這些力的位移分別為線位移、彎曲轉(zhuǎn)角和扭轉(zhuǎn)角。外力所作的功分別為：拉伸彎曲扭轉(zhuǎn)第12頁，共66頁。三、廣義力與廣義位移上述三種作用力及對應的三種變形均不相同，但它們有共同點，就是都能使物體發(fā)生變形，從而對物體作了功，所作之實功均等于系數(shù)“1/2”乘“力”乘“位移”。若把這三種不同型式的“力”均稱為廣義力，與此廣義力相對應的位移稱為廣義位移的話，則廣義力所作的功可表達為（廣義力）（廣義位移）

廣義力與廣義位移的定義：一般而論，任何一個力或一組相互有關(guān)且又彼此獨立的力系，如果可以用一個代數(shù)量來表示它，則稱它為一個廣義力，與此廣義力相對應的位移稱為廣義位移。廣義力與相應的廣義位移乘積的一半等于該廣義力所作的功。第13頁，共66頁。三、廣義力與廣義位移如果桿件同時承受有集中力、彎矩、扭矩作用，則廣義外力與廣義位移分別為于是，廣義力所作的功等于一般地：（非線性）（線性）第14頁，共66頁。三、廣義力與廣義位移一些典型結(jié)構(gòu)元件的廣義力和廣義位移：等軸力桿：等彎曲桿：等扭轉(zhuǎn)桿：等剪力桿：第15頁，共66頁。四、彈性體的虛功原理1、概述彈性體在外力作用下處于平衡，存在兩個力學狀態(tài)平衡的力狀態(tài)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)特別注意：這兩個狀態(tài)屬同一個體系，是同一個力學問題的兩種表現(xiàn)形式，相互關(guān)聯(lián)，不可分割。平衡關(guān)系、協(xié)調(diào)關(guān)系、物理關(guān)系力學問題的3個基本關(guān)系（廣義力）（廣義位移）

實功：第16頁，共66頁。研究彈性體力學問題的兩種能量方法當協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)發(fā)生微小變化時，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能量有什么變化？當平衡的力狀態(tài)發(fā)生微小變化時，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能量有什么變化？虛位移原理虛力原理統(tǒng)稱為：虛功原理第17頁，共66頁。重要定義1虛位移——一種假想的、滿足位移約束條件的、任意的、微小的連續(xù)位移。假象的：是指虛位移僅僅是想象中發(fā)生但實際并不一定發(fā)生的一種可能位移。滿足位移約束的：是指虛位移應當滿足變形體的變形協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。任意的：是指虛位移與變形體是否受力無關(guān)。微小的：是指虛位移并不影響變形體的幾何關(guān)系，即不影響力的平衡關(guān)系。因此，在發(fā)生虛位移的過程中，外力與內(nèi)力均保持不變，即保持原有的平衡狀態(tài)。第18頁，共66頁。虛位移的例子位移邊界條件為：w為梁的真實撓度曲線。幾種虛位移的形式：變形體的真實位移是否可作為虛位移呢？完全可以第19頁，共66頁。重要定義2虛功——實力在虛位移上所作的功，或廣義力在與其無關(guān)的虛廣義位移上所作的功。因為，在發(fā)生虛位移的過程中，外力和內(nèi)力保持不變,因此，在虛功的表達式中無系數(shù)“1/2”。為了與實功W區(qū)別，記虛功為δW，虛位移δΔ，則虛功為第20頁，共66頁。虛功的例子真實外力虛位移虛功為：第21頁，共66頁。重要定義3虛力——一種假想的、滿足平衡條件的任意力系。假象的：是指虛力僅僅是想象中一種可能力系。滿足平衡條件的：是指虛力應當滿足力的平衡方程（內(nèi)部）和力的邊界條件（外部）。任意的：是指虛力與變形體的變形無關(guān)。因此，在發(fā)生虛力的過程中，變形體的位移均保持不變，即保持原有的協(xié)調(diào)狀態(tài)。第22頁，共66頁。虛力的例子真實受力和變形狀態(tài)：虛力狀態(tài)1：雖然力狀態(tài)是平衡的，但力狀態(tài)與實際變形無關(guān)系。不是真實的受力狀態(tài)，而僅是滿足平衡條件的力狀態(tài)。第23頁，共66頁。虛力的例子真實受力和變形狀態(tài)：虛力狀態(tài)2：虛力狀態(tài)3：變形體的真實受力狀態(tài)是否可作為虛力呢？完全可以第24頁，共66頁。重要定義4余虛功——虛力在真實位移上所作的功，或虛廣義力在與其無關(guān)的廣義位移上所作的功。因為，在發(fā)生虛力的過程中，位移保持不變，在余虛功的表達式中也無系數(shù)“1/2”。為了與余功W*區(qū)別，記余虛功為δW*，虛力δP，則余虛功為第25頁，共66頁。余虛功的例子余虛功為：真實位移虛力第26頁，共66頁。2、虛功原理2.1質(zhì)點的虛位移原理一質(zhì)點在諸力作用下處于平衡的充分必要條件是：所有力在質(zhì)點虛位移上所作的虛功總和為零。必要條件充分條件平衡方程：虛功方程：第27頁，共66頁。2、虛功原理2.2質(zhì)點系的虛位移原理一質(zhì)點系在諸力作用下處于平衡的充分必要條件是：對于任意的虛位移，作用于質(zhì)點系的主動力所做虛功之和為零。必要條件充分條件平衡方程：虛功方程：第28頁，共66頁。2、虛功原理2.2剛體(或剛體系)的虛位移原理一剛體(系)處于平衡的充分必要條件是

：對于任何可能的虛位移(剛體虛位移)，作用于剛體(系)的所有外力所做虛功之和為零。對于一剛體(系)，去掉約束而代之以相應的反力，該反力便可看成外力。-FPΔP+FB

ΔB=0假設一種剛體虛位移，則有相當于∑MA=0第29頁，共66頁。2、虛功原理2.4彈性系統(tǒng)的虛位移原理平衡的力狀態(tài)協(xié)調(diào)的虛位移狀態(tài)彈性系統(tǒng)在外力作用下處于平衡狀態(tài)，對任意的虛位移，系統(tǒng)中所有外力在虛位移上所作的虛功總和等于所有內(nèi)力在虛位移上所作的虛功總和。外力虛功內(nèi)力虛功符號標記：Si、Vi分別表示在真實外力作用下，彈性體內(nèi)部第i個元件的內(nèi)力和位移；δSi表示第i個元件的虛內(nèi)力；δVi

表示第i個元件的虛位移。第30頁，共66頁。2、虛功原理協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)平衡的虛力狀態(tài)彈性系統(tǒng)在外力作用下處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)，對任意的虛力狀態(tài),系統(tǒng)中所有虛外力在位移上所作的余虛功總和等于所有虛內(nèi)力在位移上所作的虛余功總和。2.4彈性系統(tǒng)的虛力原理外力余虛功內(nèi)力余虛功第31頁，共66頁。待分析平衡的力狀態(tài)3、彈性系統(tǒng)虛功原理的應用關(guān)于虛位移原理【例1】建立圖示桁架1點的平衡方程。解：（1）設三根桿的內(nèi)力分別為N1、N2、N3，在1點處與外載荷應滿足平衡條件。N1N2N3（2）假設1處的水平位移為δu，垂直位移為δv。根據(jù)桁架的幾何參數(shù)，可以得出各桿與結(jié)點1的位移相協(xié)調(diào)的變形，如表所示。

桿號桿長伸長量1-2桿：1-3桿：1-4桿：協(xié)調(diào)的虛位移狀態(tài)第32頁，共66頁?！纠?】建立圖示桁架1點的平衡方程。解：（3）外力虛功、內(nèi)力虛功分別為N1N2N3（4）根據(jù)虛位移原理，，有由于虛位移δu、δv為任意值，有1點的X向平衡方程1點的Y向平衡方程第33頁，共66頁。出導3、彈性系統(tǒng)虛功原理的應用待分析的平衡系統(tǒng)的力狀態(tài)虛設的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)關(guān)于虛位移原理實際受力狀態(tài)的平衡方程實質(zhì)：用幾何法解靜力平衡問題。第34頁，共66頁。待分析協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)關(guān)于虛力原理【例2】圖示桁架在外力作用下處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)。已知桿子12、13、14的伸長量分別為ΔL12、ΔL13、ΔL14，求1點的水平位移u和垂直位移v。解：（1）內(nèi)位移ΔL12、ΔL13

和ΔL14，與1點的水平位移u和垂直位移v應滿足協(xié)調(diào)條件。（2）假設1點處的水平力為δPx，垂直力為δPy。根據(jù)虛力的定義，可以求與虛外力平衡的一種內(nèi)力狀態(tài)，如圖所示。

滿足平衡條件的虛力狀態(tài)0第35頁，共66頁?！纠?】解：（3）外力余虛功、內(nèi)力余虛功分別為（4）根據(jù)虛位移原理，，有由于虛力δPx、δPy為任意值，有1點的X向幾何方程1點的Y向幾何方程第36頁，共66頁。出導3、彈性系統(tǒng)虛功原理的應用待分析的協(xié)調(diào)系統(tǒng)的位移狀態(tài)虛設的平衡力狀態(tài)關(guān)于虛力原理實際變形狀態(tài)的幾何(協(xié)調(diào))方程實質(zhì)：用靜力平衡法解幾何問題。虛力原理對求解靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力具有重要的應用。第37頁，共66頁。五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達式利用虛功原理(虛力原理)，可以求出變形結(jié)構(gòu)中任意一點由于變形而產(chǎn)生的位移。真實的位移狀態(tài)平衡的虛力狀態(tài)令

，則有虛功原理第38頁，共66頁。五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達式式中：即為所求m點處的結(jié)構(gòu)位移值；

表示外力作用下結(jié)構(gòu)元件i的真實位移；

表示單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力。這就是單位載荷法(Dummy-UnitLoadMethod)，它是Maxwell(1864)和Mohr(1874)提出的，故也稱為Maxwell-MohrMethod。第39頁，共66頁。上式可寫成：五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達式如何求？：外力作用下第i個結(jié)構(gòu)元件的廣義力；：第i個結(jié)構(gòu)元件的剛度系數(shù)桁架：剛架：等第40頁，共66頁。五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達式根據(jù)不同類型元件的廣義力與廣義位移，可得到不同類型結(jié)構(gòu)的位移計算公式。平面或空間桁架平面剛架截面形狀系數(shù)。如：（1）對矩形截面k=6/5；（2）對圓形截面k=10/9。軸力彎矩剪力第41頁，共66頁。五、單位載荷法－求位移的Mohr公式2、用單位載荷法求結(jié)構(gòu)位移的一般步驟求在外載荷作用下的結(jié)構(gòu)真實內(nèi)力；施加與所求位移相對應的單位廣義力，并求在單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力；代入單位載荷法的一般表達式中，求廣義位移；若，表示所求位移的方向與單位力方向相同；，表示所求位移的方向與單位力方向相反。著重指出：單位力的位置、類型和方位必須與所求位移相對應。施加單位廣義力的原則：單位廣義力×位移＝所求位移值第42頁，共66頁。如何施加與所求位移對應的單位廣義力求5點的豎向位移1求1點和6點的水平相對位移11第43頁，共66頁。如何施加與所求位移對應的單位廣義力求1－5桿的轉(zhuǎn)角求1點和6點在1、6連線上的相對位移11第44頁，共66頁。如何施加與所求位移對應的單位廣義力求1－5桿、3－6桿的相對轉(zhuǎn)角第45頁，共66頁。如何施加與所求位移對應的單位廣義力求A點的豎向位移1求A截面的轉(zhuǎn)角1第46頁，共66頁。如何施加與所求位移對應的單位廣義力求A、B兩點的豎向相對位移1求A、B兩截面的相對轉(zhuǎn)角111第47頁，共66頁。例1：求桁架4點的豎向位移Δ4V，設各桿EA均相同。解：1、幾何特性分析該桁架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。3、為求4點的豎向位移，在4點豎向方向上施加單位廣義力，并求單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，即求。4、由單位載荷法求Δ4V2、求桁架在外載荷作用下的內(nèi)力，即求。第48頁，共66頁。例1：求桁架4點的豎向位移Δ4V，設各桿EA均相同。Δ4V>0，與單位力的方向一致。第49頁，共66頁。例2：求剛架A點的豎向位移ΔAV。設E、J、G、A均相同。解：1、幾何特性分析該剛架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。2、求剛架在外載荷作用下的內(nèi)力，即求。第50頁，共66頁。例2：求剛架A點的豎向位移ΔAV。設E、J、G、A均相同。3、為求A點的豎向位移，在A點豎向方向上施加單位廣義力，并求單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，即求。第51頁，共66頁。例2：求剛架A點的豎向位移ΔAV。設E、J、G、A均相同。4、由單位載荷法求ΔAV。彎曲軸向剪切對于細長桿件，相比彎矩來說，軸力和剪力對變形的影響很小,可略去軸力項和剪力項的影響，只計及彎矩項。第52頁，共66頁。例3：求半徑為R的半園環(huán)A點的位移ΔA。設抗彎剛度為EJ。解：1、幾何特性分析該剛架為靜定的。2、求剛架在外載荷作用下的內(nèi)力，即求。外側(cè)受壓第53頁，共66頁。例3：求半徑為R的半園環(huán)A點的位移ΔA。設抗彎剛度為EJ。3、為求A點的位移，在A點豎向和水平方向上分別施加單位廣義力，并求單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，即求。內(nèi)側(cè)受壓外側(cè)受壓第54頁，共66頁。例3：求半徑為R的半園環(huán)A點的位移ΔA。設抗彎剛度為EJ。4、由單位載荷法，分別求Δ

AV、ΔAH

。由此計算得到A點的位移ΔA為第55頁，共66頁。1、概述六、圖乘法及其應用——積分的計算在用單位載荷法計算結(jié)構(gòu)位移時，經(jīng)常遇到類似形式的積分。其中、都是積分變量的函數(shù)，并且或兩者之一是線性變化的。在這種情形下，可以導出一種較為簡便的計算方法，稱為圖形互乘法。第56頁，共66頁。2、圖乘法的公式推導六、圖乘法及其應用——積分的計算設在區(qū)間上定義兩個函數(shù)和，其中是的線性函數(shù)，求積分的值。第57頁，共66頁。延長至o點，建立oy軸，有N1的圖形對y軸的靜矩圖乘法是維利沙金(Vereshagin)于1925年提出的，值得一提的是，他當時為莫斯科鐵路運輸學院的學生。第58頁，共66頁。2、圖乘法的公式推導六、圖乘法及其應用——積分的計算一般地，為曲線圖形的面積；為曲線圖面積的形心對應于直線圖形的高度。注意圖乘法的應用條件：（1）等截面直桿，EA或EI等應為常數(shù)；（2）兩個圖中應有一個是直線；（3）應取自直線圖中。第59頁，共66頁。3、討論幾種情況六、圖乘法及其應用——積分的計算第60頁，共66頁。3、討論幾種情況六、圖乘法及其應用——積分的計算第61頁，共66頁。例4：求剛架A點的豎向位移ΔAV。設EJ均相同。解：1、幾何特性分析該剛架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。2、求剛架在外載荷作用下的內(nèi)