高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)案例1.1回歸分析殘差分析的相關(guān)概念辨析及應(yīng)用素材

^^^yyyxi1,2,,n^^^^yyyxi1,2,,n^2iab^^^ab殘分的關(guān)念析應(yīng)在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)粗略判斷它們是否線性相關(guān)否可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)．然后，可以通過(guò)殘差

e,e2n

來(lái)判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)．這方面的分析工作稱(chēng)為殘差分.殘差分析一般有兩種方法:(1)作差圖；（2）利用相關(guān)指數(shù)R

來(lái)刻畫(huà)回歸效果^^^^iiiiii

稱(chēng)為相應(yīng)于點(diǎn)(xy)的差．類(lèi)比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用

^

2

^^Q(b)(ni

作為σ

的估計(jì)量，其中

^^和

由公式

,

b

i

(xy)iix)i

給出，Q(

^^，

)稱(chēng)殘平i^^方.可以用衡量回歸方程的預(yù)報(bào)精度．通常，越，預(yù)報(bào)精度越高．例1設(shè)變量x,y具線性相關(guān)關(guān)系試驗(yàn)采集了5組數(shù)據(jù)下幾個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的采集可能有錯(cuò)誤的()A點(diǎn)AB.點(diǎn)B點(diǎn)C點(diǎn)E思路與技巧由點(diǎn)圖判斷出，點(diǎn)A,B,C,D,F線性分布E點(diǎn)遠(yuǎn)離這個(gè)區(qū)域，說(shuō)明點(diǎn)E數(shù)有問(wèn)題．解答D評(píng)析可以Excel畫(huà)點(diǎn)圖樣的散點(diǎn)圖可以形象的展示兩個(gè)變量的關(guān)系，畫(huà)散點(diǎn)圖的目的是用來(lái)確定回歸模型的形式散點(diǎn)圖呈條狀分布x與y有較好的線性相關(guān)關(guān)系，散點(diǎn)圖除了條狀分布，還有其他形狀的分布．例2．為研究重量x(單位：克對(duì)彈簧長(zhǎng)度y(位：厘)的影響，對(duì)不同重量的根彈簧進(jìn)行測(cè)量，得如下數(shù)據(jù)：(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖．(2)如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)大致分在一條直線的附近，求y與之的回歸直線方程．(3)求出殘差，進(jìn)行殘差分析．思路與技巧可用Excel畫(huà)散圖，由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)x是否線性分布，由此判斷x與之間否有較好的線性相關(guān)關(guān)系，若有，求出線性回歸方程，再畫(huà)出殘差圖，進(jìn)行殘

差分析．解答(1)由Excel表格畫(huà)散點(diǎn)圖如圖(2)設(shè)y=bx+a是線性回歸直線方程，以重量為橫坐標(biāo)，以殘差為縱坐標(biāo)畫(huà)殘差圖如圖由殘差圖看出，這些樣本點(diǎn)的殘差對(duì)應(yīng)點(diǎn)均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精度越高．評(píng)析回模型中，殘差變量不被直接觀測(cè)到，必須通過(guò)模型擬合后計(jì)算得到．畫(huà)殘差散點(diǎn)圖的目的就是直觀觀測(cè)殘差圖，發(fā)現(xiàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤及所用模型是否恰當(dāng)樣點(diǎn)殘差較大確認(rèn)這個(gè)點(diǎn)在采集過(guò)程中是否存在錯(cuò)誤有重采集數(shù)據(jù)，重新利用數(shù)據(jù)擬合若集數(shù)據(jù)有錯(cuò)誤就另找原因若差點(diǎn)比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選用模型較合適狀域?qū)挾仍秸Ｐ蛿M合精度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精度越高．同學(xué)們學(xué)習(xí)殘差時(shí)應(yīng)明確以下幾點(diǎn)：1誤差e受許多條件的影響，也受所選用的線性模型的影響因線性模型往只是一種近似的模（作殘差圖有時(shí)不夠精確也

于認(rèn)定擬合程度的好壞，因而多數(shù)情況下，選用計(jì)算相關(guān)指數(shù)R

來(lái)說(shuō)明擬合效果（）以對(duì)某組數(shù)據(jù)采用幾種不同的回歸方程進(jìn)行分析，也可以比較幾個(gè)R

的值，選擇R

大的模型作為這組數(shù)據(jù)的回歸模.（）歸方程只適用于我們所研究的樣本的總;建立的回歸方程一般都有時(shí)間性樣取值的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范,一般不能超過(guò)這個(gè)范圍，否則沒(méi)有實(shí)用價(jià);不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值。練習(xí):為研究重量x(單位：克）對(duì)彈簧長(zhǎng)度y單位：厘米）的影響，對(duì)不同重量的6根簧進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如下表：（1)畫(huà)出散點(diǎn)圖．(2)如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)大致分在一條直線的附近，求y與x之的回歸直線方程．(3）對(duì)x.y兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)性驗(yàn)．（4)殘差平方和是多少？解：（如下圖所