2.3等差數(shù)列的前n項和

.3等差數(shù)列的前n項和要點一：等差數(shù)列的前n項和公式一般地，稱a+a+—Fa為數(shù)列｛a｝的前n項和，用S表示，即TOC\o"1-5"\h\z12nnnS=a+a+a+…+a.n123n由S=a+a+a+…+a①n123nS=a+a+a+…a+a②nnn—1n—221將兩式相加得2S=(a+a)+(a+a)+(a+a)+…+(a+a)n1n2n—13n—2n1由等差數(shù)列的性質(zhì)知(a+a)二(a+a)二(a+a)二…二(a+a)；1n2n—13n—2n1故2S=n(a+a)n1n等差數(shù)列｛a｝的前n項和的公式nn(a+a)S=1Ln2將等差數(shù)列的通項公式a=a+(n—1)d，S也可以用首項a與公差d表示，即

n1n1要點二：數(shù)列的前n項和S與通項a的關系nn若數(shù)列｛a｝的前n項和為若數(shù)列｛a｝的前n項和為Snn，則a=n1S—S,n>2nn—1要點三：等差數(shù)列的前n項和與函數(shù)的關系等差數(shù)列的前n項和公式可化為S=n2+(a—)n.n212B=B=a則有S=An2+Bn.n當d=0，a=0，則A=0，B=0，此時S=0；1n當d=0，a豐0，則A=0，B豐0，此時S=Bn，S是關于n的一次函數(shù)(neN*)；1nn當d豐0，則A豐0，此時S=An2+Bn是關于n(neN*)的二次函數(shù)，其圖像是過原n

點的拋物線上橫坐標為正整數(shù)的一群孤立點.要點四：等差數(shù)列前n項和S的性質(zhì)n在等差數(shù)列(a｝中，S為其前n項和，則nn(1)S,S-S,S-S，…也為等差數(shù)列，且公差為n2d.n2nn3n2n(2)奇偶項問題①若項數(shù)為偶數(shù)2n，則有S-SS-S_nd；偶奇S_n(a+a2n12nSa偶-:n11(aSan奇n，a為中間兩項)n+1)二n(a+a)；nn+1②若項數(shù)為奇數(shù)2n②若項數(shù)為奇數(shù)2n-1，則有S=(2n+1)a(a為中間項)2n+1n+1n+1S—S二a奇偶n+1偶偶③i等差數(shù)列｛a｝③i等差數(shù)列｛a｝與｛b｝的前n項和分別為S和T，則2n-1ii若S是等差數(shù)列｛a｝的前n項和，則當p豐q(p，qgN*)時，有nnSS-S―_qp+qp-q【典型例題】類型一：等差數(shù)列的定義例1在等差數(shù)列｛a｝中，n⑴已知叮3⑴已知叮3^⑵已知叮3^a=101，求S；5050d=1，求S.210解：(1)由等差數(shù)列前n項和公式，得S3+101解：(1)由等差數(shù)列前n項和公式，得STOC\o"1-5"\h\z50210x91(2)由等差數(shù)列前n項和公式，得S_10x3+x1022例2在等差數(shù)列例2在等差數(shù)列｛a｝中，已知d_1n2_，S_-，求a及n.2n21

解：由通項公式及前n項和公式可得TOC\o"1-5"\h\z13a+(n-l)x—=—,①122<3-n=-匕,②I22由①，得a=-1n+2，代入②中化簡，得n2-7n-30=0,12解得n=10或n=—3（舍去）所以a=——x10+2=—312【變式】在等差數(shù)列｛a｝中，n36（1）已知a二10，S二5，求a；（2）已知a+a=，求S.6582455解:⑴因為a6二解:⑴因為a6二10'Ia+5d=10S=5，得$15|5a+10d=51解得a=-51d=3所以a=a+2d=16.86TOC\o"1-5"\h\z,36十門5（a+a）536“（2）因為a+a=a+a=，所以S=+5=x3已知數(shù)列｛a｝的前n項和為S.nn（1）若S=3n，數(shù)列｛a｝是不是等差數(shù)列？nn（2）若S=n2+n-1，數(shù)列｛a｝是不是等差數(shù)列？nn解：(1)當n>2時，a=S一S=3n-3(n-1)=3，nnn-1當n=1時，a=S=3，也適合上式，所以a=311n｛a｝是常數(shù)列3，3，3，….n它是公差為0的等差數(shù)列.（2）當n=1時，a=S=1；11當n>2時，a=S一S=n2+n一1-[（n一1）2+（n一1）一1]=2n，nnn-1對n=1時不適用，所以數(shù)列｛a｝不是等差數(shù)列.n【變式】數(shù)列｛a｝的前n項和為S=2n2-n，求這個數(shù)列的通項公式并判斷是不是等差數(shù)nn

列.解：當n=1時，a=S=1；11當n>2時，a=S一S=(2n2一n)一[2(n一1)2-(n一1)]二4n—3nnn-1而a=1滿足a=4n—3，且a—a=41nnn—1所以｛a｝是等差數(shù)列.n類型二：等差數(shù)列前n項和S的最值n(1)利用通項公式an當a>0，d<0時，前n項和S有最大值，可由a>0，且a<0，求得n的值.1nnn+1當a<0，d>0時，前n項和S有最小值，可由a<0，且a>0，求得n的值.1nnn+1(2)由二次函數(shù)S”=2n2+(a1—|-)n配方求得最值時，n的值應滿足neN*.例4已知等差數(shù)列｛a｝滿足a二40—4n，前多少項的和最大，最大值是多少？nn40—4n>040—4(n+1)<0解得9<n40—4n>040—4(n+1)<0解得9<n<10.Ia>0因為a>0，d<0，所以fn1la<0n+1所以n=9或n=10時，S最大，此時a=40—4x9=4.n99(a+a)9x(36+4)則和的最大值為S9=三a==180.TOC\o"1-5"\h\z例5在等差數(shù)列｛a｝中，a<0，S二S，該數(shù)列前多少項的和最小?n1912方法一因為S9-S12，所以9方法一因為S9-S12，所以9a1d_12a+d212所以a_—10d.1設該數(shù)列前n項的和最小，則有I1a_a+(n一1)-d<0a_a+(n一1)-d<0n1a_a+nd>0n+11即f1，解得10<n<111——n<0I10所以n取10或11時，S取最小值.n

方法二因為S9-Si2，所以aio+巴廣ai2-0，所以叫廣0，所以an-0.因為a<0，所以前10項或前11項和最小.19+12方法三：因為S二S，所以S的圖像所在的拋物線的對稱軸為x==10.5,TOC\o"1-5"\h\z912n2又a<0，所以｛a｝的前10項或前11項和最小.1n【變式】在等差數(shù)列｛a｝中，a=3n-21，當n為何值時，前n項和S取得最小值?321<022321321<022321-(n+1)-片>0〔221350713T)2-花，與于最Ia<0方法一：由題意知a<0，d>0，則S存在最小值，由\n1nla>0n+1解得6<n<7，可知前6項都是負數(shù)，第7項為0，因此,當n=6或n=7時，S取得最小值.n3211321n(_9+-n-―)-1321n(_9+-n-―)-393=—n2-n=—(n2444n22n(a+a)S=1Ln2接近的正整數(shù)是6和7，所以當n=6或n=7時，S取得最小值.-n例6等差數(shù)列｛a｝的前n項的和為30，前2n的和為100,則它的前3n項的和.n方法一：因為｛a｝為等差數(shù)列，所以S，S-S，S-S成等差數(shù)列，TOC\o"1-5"\h\znn2nn3n2n所以S+(S-S)=2(S-S)，即30+(S-100)=2x(100-30)，n3n2n2nn3n解得S=210.3nSS-S100-307070方法二：由才=鏟n==，解得S=3n-=210.3n2n-nnn3nn例7在項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n值為方法一：等差數(shù)列共有2n+1項，所以S-S=a①S+S=(2n+1)a②奇偶n+1奇偶n+1Ia=15由①②可得\?+1，所以2n+1=21，故n=10.l(2n+1)a=315n+1Sn+1n+1165方法二：因為7奇=，所以=，解得n=10.Snn150偶

例8等差數(shù)列｛例8等差數(shù)列｛a｝和｛b｝的前n項和分別為S和T,對一切自然數(shù)n都有才二T3n+1na則廠52A—A3a則廠52A—A32a9B.憶9(a+a)+a12~19--C.203111D.17a解：b5二盂=心9(b+b)5519192【變式】項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列｛a｝，所有奇數(shù)項之和為44，所有偶數(shù)項之和為33，求n2x9=—9=—T3x9+1914?故選B.14這個數(shù)列的中間項及項數(shù).解：設等差數(shù)列｛a｝共有(2n+1)項，則奇數(shù)項有(n+1)項，偶數(shù)項有n項，中間項是第n(n+1)項，即an+1S所以廿=S偶S所以廿=S偶(a+a)-(n+1)212n+1(n+1)anan+1n+144433又S=(n+1)-a二44，a=11奇n+1n+1所以這個數(shù)列的中間項為11,共有2n+1二7(項).【鞏固練習】1.數(shù)列｛a”｝是等差數(shù)列，0]+°2+。3=—24,°18+。19+。20=78,則此數(shù)列的前20項和等于()A．160B．180C．200D．220解：2?在等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝中，°]=25,"=15,a100+b100=139,則數(shù)列｛a“+b“｝的前100項的和為()A.0B.4475C.8950D.10000答案：C13.一個凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為120°，公差為5°，那么這個多邊形的邊數(shù)n等于()C．9D．16或9C．9D．16或9答案：C設｛a”｝是等差數(shù)列，前n項和記為S”，已知a]0=3O,°2。=50.求通項an；⑵若S”=242，求n的值.答案：(1)設公差為d，則a20-a10二10d二20,「.d二2.-a10=a1+9d=a1+18=30,?叫二12.「?a”=a1+(n-1)d二12+2(n-1)=2n+10.n(a1＋ann(2n＋22S二2二2n二n2+11n二242,?n2+11n-242二0,?n二11.設等差數(shù)列的前n項和為S.已知a3=12,S>0,Sv0.TOC\o"1-5"\h\zn31213求公差d的取值范圍；指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，并說明理由.、13X12答案：(1)依題意d<0，即2曲d<0.0，①由。3二12，得a1+2d=12.③將③分別代入②①，得弓豐7<>°,解得-7<d<-3.(2)由d<0可知｛an｝是遞減數(shù)列，因此若在1WnW12中，使a“>0且an+1<0，則Sn最大.由于S12二6(a6+a7)>0,S13二13a7<0，可得a6>0，a7<0，故在S1,S2,…,s12中S6的值最大.已知等差數(shù)列｛an｝中，a1=1,a3=—3.求數(shù)列｛an｝的通項公式；若數(shù)列｛a｝的前k項和S,=—35，求k的值.nk答案：⑴設等差數(shù)列｛an｝的公差為d,則an=a1+(n-1)d.由a1—1,a3—-3可得1+2d—-3.解得d—-2.而，an—1+(n-1)X(-2)—3-2n.(2)由(1)可知an—3-2n.所以n[1＋(3—2n]—2-所以S—2—2n-n2.n進而由Sk—-35，可得2k-k2—-35.又kEN*，故k—7為所求.在等差數(shù)列｛an｝中：已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10；已知S7=42,Sn=510,an—=45，求n.答案：(1)解法一：由已知條件得a5＋a10=2a1＋13d=58a4＋a9=2a1＋11d=50，