新課標(biāo)下核心素養(yǎng)的空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

新課標(biāo)下核心素養(yǎng)的空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

Summary：本文探究了新課標(biāo)下核心素養(yǎng)的空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，比較全面地進(jìn)行總結(jié)，結(jié)合實(shí)例，在教學(xué)中提供參考與借鑒。Keys：核心素養(yǎng)；空間向量；立體幾何數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指眾多的數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)那些關(guān)鍵的，處于重要位置上，使用頻度較高的素養(yǎng)，是適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的，具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品格和關(guān)鍵能力，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)解決學(xué)習(xí)、生活中的實(shí)際問(wèn)題時(shí)所應(yīng)當(dāng)具備的一種綜合性能力和數(shù)學(xué)品格，是學(xué)生在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的，運(yùn)用所學(xué)空間向量知識(shí)與方法解決立體幾何中的問(wèn)題充分反映出這一本質(zhì)屬性與思想，空間向量在立體幾何中有著廣泛的應(yīng)用，能解決空間幾何中的很多問(wèn)題，下面談一下新課標(biāo)下核心素養(yǎng)的空間向量在立體幾何中的具體應(yīng)用.一、用空間向量證明立何幾何中的平行與垂直1.證明線面平行方法一：證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一直線的方向向量共線，然后得出線線平行，再利用線面平行的判定定理證明；方法二：先求出平面的法向量，再求出直線的方向向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；方法三：證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一任意二個(gè)不共線向量共面，即可說(shuō)明直線與這二個(gè)不共線的向量確定的平面平行。2.證明面面平行方法一：利用線面平行的證明，再用面面平行的判定定理進(jìn)行證明；方法二：求出二個(gè)平面的法向量，再證明二個(gè)法向量共線從而得到面面平行；方法三：先求出一個(gè)平面的法向量，再證出此法向量與另一平面垂直。3.證明線面平垂直方法一：求出直線所在的一個(gè)方向向量和平面內(nèi)二條相交直線所在的二個(gè)方向向量，然后證明它們的數(shù)量積為0.方法二：算出平面的法向量和直線所在的方向向量，然后證明直線所在的向量和法向量共線即可。4.證明面面垂直方法一：先用線面垂直方法證出線面垂直，再證到此直線與另一平面平行，從而證得面面垂直。方法二：先求出二個(gè)平面的法向量，再證明二個(gè)法向量垂直即可。分析：用空間向量法證明立體幾何中的問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思想與素養(yǎng)，能激發(fā)學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的潛能，提升學(xué)習(xí)者的探索能力，達(dá)到新課標(biāo)下核心素養(yǎng)的要求，理論源于課本又得到了高于課本，使空間向量得到更具體的應(yīng)用。二、利用空間向量求距離問(wèn)題1.二點(diǎn)之間距離問(wèn)題利用向量的加減法，再利用公式算出距離。2.點(diǎn)到面距離問(wèn)題若AB是平面的任一條斜線段，則在中，，若平面的法向量為,則。3.點(diǎn)到線距離問(wèn)題例：Rt△ABC的兩條直角邊BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，則點(diǎn)P到斜邊AB的距離是_____.解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以=(-4，3，0)，.所以點(diǎn)到的距離.分析：用空間向量解決立體幾何中的距離問(wèn)題，體現(xiàn)出空間向量的功能強(qiáng)，充分體現(xiàn)出向量中投影的含義，這給解決距離問(wèn)題多一種比較實(shí)用的解決方法。三、用向量的方法求空間的角1.二條異面直線所成的角問(wèn)題利用數(shù)量積或坐標(biāo)方法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為二條直線的方向向量所成的角，若求出的二個(gè)向量夾角為鈍角，則異面直線所成的角為二個(gè)向量夾角的補(bǔ)角。設(shè)直線的方向向量為,則。2.直線與平面所成的角問(wèn)題設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，線面角為，則。例：（2020·山東高考真題節(jié)選）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則有，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.二面角問(wèn)題設(shè)為二個(gè)平面的法向量，此二個(gè)法向量的夾角為，則，然后結(jié)合圖形判斷出是二面角還是其補(bǔ)角。例：（2020·全國(guó)高考真題（理）節(jié)選）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，，求二面角的余弦值．解：過(guò)O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫?，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，令，得，所以設(shè)二面角的大小為，則.分析：利用空間向量基本知識(shí)與思想方法去求解空間角問(wèn)題是空間向量的核心內(nèi)容之一，是一種主干的常規(guī)方法，體現(xiàn)出新課標(biāo)下的核心素養(yǎng)，能熟悉掌握好空間向量的一系列核心知識(shí)與方法，能解決很多空間幾何中的問(wèn)題，用起來(lái)往往很方便，立體幾何中的很多疑難問(wèn)題都可以通過(guò)空間向量來(lái)解決。四、結(jié)語(yǔ)：通