湖北省武漢市華師一附2023屆高三上學期期中數(shù)學試卷+答案

華中師大一附中2022-2023學年度上學期高三年級期中檢測數(shù)學試題本試題共4頁，四大題．全卷滿分150分，考試用時120分鐘．請將答案填涂在答題上．命題人：胡兵華方牡丹審題人：張丹王文瑩一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，再根據(jù)復數(shù)的四則運算計算即可.【詳解】解：因為，所以.故選：D.2.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解出集合A，B的具體區(qū)間，再按照交集的定義求解即可.【詳解】對于集合A，；對于集合B，；由于，，；故選：D.3.在中，“”是“為銳角三角形”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】若為銳角三角形,則,則,進而可得,利用誘導公式可得,即,即可得到結果.【詳解】若為銳角三角形,則,即,又,,則,所以,則,所以；若,則,即均為銳角,所以,即,所以,則,即,所以為銳角三角形；故“”是“為銳角三角形”的充要條件,故選:C【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判定,考查誘導公式在三角形中的應用.4.已函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為，且，，則關于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知不等式構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷所構造的新函數(shù)的單調性，然后利用單調性進行求解即可.【詳解】由，設是實數(shù)集上的減函數(shù)，且，所以由，故選：B5.已知，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】由，再利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，，，所以，當且僅當即等號成立.故選：C.6.函數(shù)，方程有6個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】方程有6個不同的實根，等價于的圖象與直線有6個不同的交點，作出函數(shù)的圖象可得答案．詳解】由方程得或，則方程有6個不同的實根，等價于的圖象與直線有6個不同的交點，當時，，則，令，得：，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故時，取極小值，當時，，當時，單調遞增；當時，單調遞減，且，根據(jù)以上信息，作出的大致圖象如圖，由圖可知，的圖象與直線有2個不同的交點，由題意，只需的圖象與直線有4個不同的交點，則，綜上得：的取值范圍是．故選：A．7.定義在上的函數(shù)滿足，時，若的解集為，其中，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知：函數(shù)關于對稱，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，然后根據(jù)函數(shù)的圖象和不等式的解集確定實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)關于對稱，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，又因為不等式的解集為，其中，根據(jù)圖象可知：當直線過點時為臨界狀態(tài)，此時，故要使不等式的解集為，其中，則，故選：.8.隨著越來越多的家庭選擇自駕到公園游玩，公園停車位嚴重不足.如圖所示，公園里有一塊扇形空地，其半徑為，，為弧的中點，要在其內接矩形（點、分別在半徑、上，點、在弧上，且）上修建停車場，則停車場面積最大值為（單位：）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接OP，設，利用正弦定理表示出PQ和PN的長，再用的表達式表示出矩形的面積，利用三角函數(shù)求解最值問題【詳解】連接OP，OC交PN于點E，設，四邊形為矩形，并且，，又為弧的中點，，，，在直角三角形POE中，，，在中，，由正弦定理得，.矩形的面積，由題意可得，，當時，矩形面積最大為.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設為復數(shù)，，，則下列說法正確的是（）A.若，則的實部和虛部分別為和B.設為的共軛復數(shù)，則CD.若，，則在復平面內對應的點位于第一象限或第四象限【答案】AB【解析】【分析】結合復數(shù)的定義和復數(shù)的相關性質即可得出答案【詳解】由復數(shù)的概念可知，復數(shù)的實部為，虛部為，所以A正確，和可知，所以B正確，對于C，是一個實數(shù)，而不一定為實數(shù)，所以C錯誤，當取偶數(shù)時，為實數(shù)，在復平面對應點在實軸上，所以D錯誤故選：AB10.已知數(shù)列的前項和滿足，則下列說法正確的是（）A.是為等差數(shù)列的充要條件B.可能為等比數(shù)列C.若，，則為遞增數(shù)列D.若，則中，，最大【答案】ABD【解析】【分析】計算，當時，，驗證知A正確，當時是等比數(shù)列，B正確，舉反例知C錯誤，計算得到D正確，得到答案.【詳解】，；當時，，當時，，滿足通項公式，數(shù)列為等差數(shù)列；當為等差數(shù)列時，，，故A正確；當時，，是等比數(shù)列，B正確；，取，則，C錯誤；當時，從第二項開始，數(shù)列遞減，且，故，故，最大，D正確.故選：ABD11.如圖，中，，，與交于點，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)向量的三角形法則逐項計算判斷即可．【詳解】解：為了判斷下面的有關結論，先引入三點共線向量形式的充要條件，設三點共線，O為線外一點，則，即與前系數(shù)和為1，證：三點共線，，，．，故A錯；三點共線，，三點共線，，，解得，，∴F為BE的中點，，故B對；，，，故C對；取AB中點G，BC中點H，如下圖，則三點共線，，故D對．故選：BCD．12.函數(shù)和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標依次為，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用導數(shù)的性質，根據(jù)最大值的定義，結合數(shù)形結合思想、指數(shù)與對數(shù)恒等式進行求解即可.【詳解】，當時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即；當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，由，當時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，函數(shù)有最大值，即；當時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，于是有，因此選項AB正確，兩個函數(shù)圖象如下圖所示：由數(shù)形結合思想可知：當直線經過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，不妨設，且，由，又，又當時，單調遞增，所以，又，又，又當時，單調遞減，所以，，，于是有，所以選項D正確，故選：ABD【點睛】關鍵點睛：利用數(shù)形結合思想，結合等式是解題關鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分13.已知向量與不共線，且與共線，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理列方程求解即可.【詳解】因為與共線，所以存在唯一實數(shù)，使，即，因為向量與不共線，所以，解得，故答案為：14.函數(shù)在上單調遞增，則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】由得到，結合正弦函數(shù)圖象得到不等式組，求出，，利用，求出，從而得到，得到答案.【詳解】，則，因為，所以要想在上單調遞增，需要滿足且，，解得：，，所以，解得：，因為，所以，因為，所以，的最大值是.故答案為：.15.函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為，且是偶函數(shù)，記，也是偶函數(shù)，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，根據(jù)導函數(shù)的奇偶性得到，確定函數(shù)的周期為4，得到，計算得到答案.【詳解】是偶函數(shù)，，兩邊求導得到，即，即，取，，，也是偶函數(shù)，故，即，故，即，.故，是函數(shù)的一個周期，.故答案為：16.設，，是的三個內角，的外心為，內心為．且與共線．若，則___________．【答案】2【解析】【分析】由O，I分別是三角形的外心和內心，利用與共線得到線段的長度關系，用，表示出相應線段，得到等式.【詳解】設內切圓半徑為r，過O，I分別作BC的垂線，垂足分別為M，D，則，，因為與共線，所以，又因為，，所以，因為，所以，即，所以.故答案為：2四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中軸．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將的圖像向右平移個單位，再向上平移2個單位得到的圖像，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象可求函數(shù)的對稱方程及，故可求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象平移可求的解析式，故可求的值.【小問1詳解】由圖象可得函數(shù)圖象的一條對稱軸為，故，故，故，而，故即而，故，故.【小問2詳解】將的圖像向右平移個單位，再向上平移2個單位得到的圖像，故，故.18.已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)構造法得出數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列即可；（2）根據(jù)錯位相減求前前項和即可.【小問1詳解】由題知，，因為，所以，所以因為，所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以①，②，由①②錯位相減得：所以.19.在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知．（1）求的取值范圍；（2）若是邊上的一點，且，，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，再根據(jù)三角變換公式化簡，利用余弦函數(shù)的性質可求其取值范圍；（2）根據(jù)題設可得，平方后利用基本不等式可求，故可求面積的最大值.【小問1詳解】因為，故，整理得到：即，故，而為三角形內角，故，所以，故，而為銳角三角形內角，故.,因為三角形為銳角三角形，故，故，故，故，故.【小問2詳解】由題設可得，故，整理得到：，故即，整理得到：，當且僅當時等號成立，故.故三角形面積的最大值為.20.已知函數(shù)，．（1）若的定義域為，值域為，求的值；（2）若，且對任意的，當，時，總滿足，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由定義域為，可得恒成立；由值域為可得，能取到內任意實數(shù)，即可得的值；（2）對求導，根據(jù)導數(shù)的正負判斷出在上單調遞減，將問題轉化為任意的，，令，，求導，利用求解即可．【小問1詳解】解：因為的定義域為，所以且，恒成立，則，又，所以又因為值域為，所以能取到內任意實數(shù)，所以故；【小問2詳解】解：因為，所以，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以在上單調遞減，，問題可轉化為：任意的，恒成立，令，，，所以在上單調遞減，所以，所以，則，解得，故的取值范圍為：．21.已知函數(shù)．（1）若，求在區(qū)間上的最小值；（2）若有兩個不同的極值點，（且），且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)研究在區(qū)間上的單調性，進而求得在區(qū)間上的最小值（2）利用極值點建立的關系式，化簡不等式，利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)來求得的取值范圍.【小問1詳解】，當時，，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以在區(qū)間上的最小值為.【小問2詳解】，，由于有兩個不同的極值點，且，所以方程有兩個不同的正根，所以，解得且.因為，所以且.依題意，恒成立，即，，，，，，，，當時，；當時，.令，.①當時，，在上遞增，，所以當時，，不符合題意.②當時，令，，當，即時，，在上遞減，，所以當時，，則；當時，，則；所以對任意恒成立.當，即時，二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為，且，令，則當時，，即，所以在上遞增，，所以在上有，不符合題意.綜上所述，取值范圍是.【點睛】利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，可以考慮利用化歸與轉化的數(shù)學思想方法化簡恒成立的不等式，將其轉化為可以利用導數(shù)進行研究的形式.也可以考慮分離常數(shù)法，分離常數(shù)后利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)來進行研究.22.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）證明：當時，；（2）①證明：在區(qū)間內有4個零點；②記①中的4個零點為，，，，且，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，引入再求導，可得在是減函數(shù)，結合可得進而得是減函數(shù)，又根據(jù)單調性可得結論；（2）①求出在有四個零點，把函數(shù)在區(qū)間劃分為五個單調區(qū)間，進一步找到在有四個零點，又把函數(shù)在區(qū)間劃分為五個單調區(qū)間，結合單調性以及零點存在性定理，可得在區(qū)間內有4個零點；②根據(jù)函數(shù)表達式可求得，，把要證的不等式轉化為證明成立，通過找點鎖定均在區(qū)間內，而在是減函數(shù)，轉化為證明即可，利用，可證，使得命題得證.小問1詳解】，設，則，因為，所以，所以單調遞減，又，所以，即，所以單調遞減，又，所以；【小問2詳解】①由（1）知，令得，，，，且，單調遞減，，單調遞增，，單調遞減，，單調遞增，，單調遞減，又，，，，，，所以存在，，，使，且，，遞減，，，遞增，，，遞減，，，遞增，，，遞減，又，