導(dǎo)學(xué)案：冪函數(shù)的概念

冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)重點難點1．能記住冪函數(shù)的概念，會判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)；2．能畫出冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\r(x)，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\f(1,x2)的圖象，會分析它們各自的性質(zhì)；重點：冪函數(shù)的定義以及冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)；難點：當(dāng)α＞0和α＜0時，冪函數(shù)y＝xα的性質(zhì)及其應(yīng)用．疑點：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的比較.1．冪函數(shù)的概念一般來說，當(dāng)x為自變量而α為非0實數(shù)時，函數(shù)y＝xα叫作(α次的)冪函數(shù)．預(yù)習(xí)交流1冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有何區(qū)別？提示：冪函數(shù)y＝xα的底數(shù)為自變量，指數(shù)是常數(shù)，而指數(shù)函數(shù)正好相反，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)中，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量．預(yù)習(xí)交流2函數(shù)y＝eq\f(1,x)與y＝eq\r(x)是否是冪函數(shù)？提示：是．y＝eq\f(1,x)與y＝eq\r(x)的解析式經(jīng)改寫，均可化為冪函數(shù)y＝xα的形式，y＝eq\f(1,x)＝x－1，y＝eq\r(x)＝.2．冪函數(shù)的圖象六個常見冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)，y＝eq\f(1,x2)在同一直角坐標(biāo)系下的圖象如下圖：預(yù)習(xí)交流3從上面的圖象分析，哪些函數(shù)是奇函數(shù)？哪些函數(shù)是偶函數(shù)？哪些函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增？哪些函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減？提示：y＝x，y＝x3，y＝eq\f(1,x)是奇函數(shù)，y＝x2，y＝eq\f(1,x2)是偶函數(shù)，y＝eq\r(x)是非奇非偶函數(shù)；y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\r(x)在(0，＋∞)上都是遞增的，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\f(1,x2)在(0，＋∞)上是遞減的．3．冪函數(shù)的性質(zhì)(1)當(dāng)α＞0時，冪函數(shù)y＝xα在區(qū)間[0，＋∞)上有如下性質(zhì)：①都經(jīng)過兩個點(0,0)和(1,1)，即0α＝0,1α＝1；②都是遞增函數(shù)；③冪函數(shù)y＝xα與直線y＝x有如下關(guān)系：0＜x＜1x＞1α＞1在y＝x的下方在y＝x的上方0＜α＜1在y＝x的上方在y＝x的下方(2)當(dāng)α＜0時，冪函數(shù)y＝xα在區(qū)間(0，＋∞)上有如下性質(zhì)：①圖象都經(jīng)過(1,1)點，即1α＝1；②都是遞減函數(shù)；③圖象向上與y軸正向無限接近，向右與x軸正向無限接近．預(yù)習(xí)交流4冪函數(shù)的圖象能否出現(xiàn)在第四象限？提示：對冪函數(shù)y＝xα而言，當(dāng)x＞0時，必有y＞0，故冪函數(shù)圖象不過第四象限．一、冪函數(shù)的概念已知函數(shù)y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n思路分析：根據(jù)冪函數(shù)的定義，應(yīng)有m2＋2m－2＝1，2n－3＝0，從而可求m，n解：∵函數(shù)y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n由冪函數(shù)定義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).1．下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是()A．y＝x2xB．y＝2xC．D．y＝3x＋2答案：C2．冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(8,4)，則f(x)＝________.答案：解析：∵f(x)是冪函數(shù)，∴設(shè)f(x)＝xα.又∵f(x)的圖象過點(8,4)，∴8α＝4，α＝eq\f(2,3).∴f(x)＝.1．形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：①系數(shù)為1，②指數(shù)為一常數(shù)，③后面不加任何項．例如y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1均不是冪函數(shù)，再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，例如：y＝x2是冪函數(shù)，y＝2x是指數(shù)函數(shù)．2．由于冪函數(shù)的解析式中只含有一個參數(shù)α，因此只需一個獨立的條件即可確定其解析式，當(dāng)已知冪函數(shù)經(jīng)過某一點時，可采用待定系數(shù)法求出解析式．二、冪函數(shù)的圖象函數(shù)y1＝x5，y2＝eq\f(1,x)，y3＝x4，y4＝x－2，的圖象分別是下列圖象①②③④⑤中之一，則函數(shù)y1，y2，y3，y4，y5的圖象依次是__________．思路分析：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷．答案：⑤①②④③解析：從函數(shù)的奇偶性分析，函數(shù)y1，y2是奇函數(shù)，可能對應(yīng)圖象①，⑤；y3，y4是偶函數(shù)，可能對應(yīng)圖象②，④；y5不具有奇偶性，只能對應(yīng)圖象③.從函數(shù)的單調(diào)性分析，函數(shù)y1在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，對應(yīng)圖象⑤，函數(shù)y2在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，對應(yīng)圖象①，函數(shù)y3在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，對應(yīng)圖象②，函數(shù)y4在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，對應(yīng)圖象④.所以函數(shù)y1，y2，y3，y4，y5的圖象依次是⑤①②④③.如圖，圖中曲線是冪函數(shù)y=xα在第一象限的大致圖象．已知α取－2，，，2四個值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的α的值依次為()．A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2)D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)答案：B冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)可類比五個常見冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)記憶：(1)當(dāng)α＜0時，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸沒有交點，類似于y＝x－