高中數(shù)學(xué)考點(diǎn)16正弦定理和余弦定理(含2015高考試題)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)16正弦定理和余弦定理一、選擇題1。（2015·廣東高考文科·T5）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為a，b，c。若a=2,c=2√3,cosA=√3，且b<c,則b=(）2A.√3B。2C。2√2D。3【解題指南】直接利用222即可求得b的值。a=b+c—2bccosA【剖析】選B由余弦定理得:a2b2c22bccos，所以22b223，即b20，解得:b2或b4，由于bc，232b236b82所以b2．二、填空題2.(2015·廣東高考理科·T11）設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b,c。若a=√3,sinB=1，2π。C=，則b=6【解題指南】可先求出角B的大小,再利用正弦定理求解?！酒饰觥坑捎趕inB10,，所以B或B5，又C，所以B，且B62666AB2，又a3，由正弦定理得ab即3bCsinA2解得3sinBsinsin36b1.答案：13.(2015·北京高考理科·T12）在△ABC中,a=4,b=5,c=6,則sin2A=.sinC【解題指南】利用二倍角公式張開sin2A,再利用正、余弦定理角化邊。【剖析】sin2A2ab2c2a22222sinAcosA2bca(bca)sinCsinCcbc2=4(526242)1。562答案:11學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4.(2015·天津高考理科·T13)在△ABC中，內(nèi)角A,B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知△ABC的面積為3√15,b-c=2，cosA=—1，則a的值為.4【剖析】由于0〈A<π，所以sinA1cos2A15，4又SABC1bcsinA15315,bcbc26,c4，2bc24，解方程組得b8bc24由余弦定理得a2b2c22bccosA6242264164所以a=8.4答案:85.(2015·福建高考理科·T12)若銳角△ABC的面積為10√3，且AB=5，AC=8，則BC等于.【解題指南】利用三角形面積公式及余弦定理求解.1√3【剖析】S=2×5×8sinA=10√3?sinA=2，由于A為銳角,所以A=60°,所以BC2AB2AC22ABACcos602564258149，所以BC=7.2答案:76。(2015·福建高考文科·T14)若△ABC中,AC=√3,A=45°,C=75°，則BC=.【解題指南】利用正弦定理解答此題.【剖析】由于A=45°,C=75°，所以B=60°，由正弦定理可知ACBC3BCsinBsinABC2sin60sin45答案:√27。(2015·北京高考文科·T11）在△ABC中，a=3,b=6，∠A=2,則∠B=.3【解題指南】利用正弦定理求解,注意角B的范圍.【剖析】由正弦定理得362)，所以B=。2，所以sinB。由于B∈（0，sinB234sin3答案:42學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8．（2015·安徽高考文科·T12）在ABC中，AB6，A75，B45,則AC.【解題指南】依照正弦定理解三角形。ABAC6ACAC2【剖析】由正弦定理可知：sin[1800(750450)]sin450sin600sin450答案：2三、解答題9。(2015·浙江高考文科·T16）在△ABC中，內(nèi)角A,B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c。已知πtan(+A）=2.4(1)求sin2A的值.sin2A+cos2A（2）若π，求△ABC的面積。B=,a=34【解題指南】(1）利用兩角和與差的正切公式，獲取tanA的值,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式獲取結(jié)論;(2）利用正弦定理獲取邊b的值，依照三角形，兩邊一夾角的面積公式計(jì)算獲取三角形的面積。【剖析】(1）由tan(π+A)=2得tanA=1,43所以sin2A2sinAcosA2tanA2。sin2Acos2A2sinAcosAcos2A2tanA15（2）由tanA1可得，sinA10,cosA31031010a3,B4，由正弦定理知，b35又sinCsin(AB)sinAcosB25cosAsinB，5所以SABC1absinC1335259。22510。(2015·浙江高考理科·T16)在△ABC中，內(nèi)角A,B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知π2.A=,b2-a2=1c21)求tanC的值.(2)若△ABC的面積為3,求b的值。3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【解題指南】（1)依照正弦定理可將條件中的邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榻侵g的關(guān)系，再將式子作三角恒等變形即可求解；(2）依照條件第一求得sinB的值，再結(jié)合正弦定理以及三角形面積的計(jì)算公式即可求解?！酒饰觥浚?）由b2a2=1c2及正弦定理得sin2Bsin2A1sin2C，即22sin2B11sin2C，所以cos2Bsin2C2233A,所以BC，2B又由于2C,442所以cos2Bsin2C2sinCcosC即2sinCcosCsin2C，所以tanC2（2）由tanC2，C0,得sinC25,cosC555又由于sinBsinACsin(C)sincosCcos310sinC10444由正弦定理得c22b3由于A,1bcsinA3，所以bc62，所以b3。42A,AB6,AC3211.（2015·安徽高考理科·T16）.在ABC中，4，點(diǎn)D在BC邊上，ADBD，求AD的長(zhǎng)?！窘忸}指南】依照余弦定理解三角形.【剖析】設(shè)AD=x,由余弦定理得：BC2AB2AC262(32)22632cos32AB.AC.cosA=4=90,所以BC=310，在ABD中，設(shè)ADB,則ADC1800，設(shè)AD=x，則BD=x,DC=310-x，由余弦定理得：AB2AD2BD22AD.BD.cos，即362x22x2cos(1)4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精AC2AD2DC22AD.DC.cos(1800),即18x2(310x)22x.(310x).cos（2）由（1)（2）解得x10，即AD10。12。（·四川高考文科·T19).已知A,B,C為ABC的內(nèi)角，tanA,tanB是關(guān)于x的2015方程x23pxp10(pR)的兩實(shí)根.（1）求C的大小;（2)若AB3,AC6，求p的值.【解題指南】（1）將三角函數(shù)與韋達(dá)定理結(jié)合，利用正切函數(shù)和角公式。（2）利用正弦定理和正切函數(shù)和角公式.此題將三角函數(shù)與韋達(dá)定理結(jié)合，觀察正切函數(shù)和差角公式、解三角形基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用。題目較簡(jiǎn)單,難度與題型與全國卷相似,表現(xiàn)對(duì)考生基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用能力，運(yùn)算求解能力，較易拿分。【剖析】（1）tanA,tanB是關(guān)于x的方程x23pxp10的兩個(gè)根可得：tanAtanB3p,tanAtanB1p，所以tan(AB)tanAtanB3p3,則AB120o，由三角形內(nèi)角和為1tanAtanBp180o可知，C60o。（2）在ABC中，由正弦定理可得ABAC求得sinB2tanB1。又,，則sinCsinB2tanC3,由三角形內(nèi)角和為180o及引誘公式可知tanAtan(BC),解得tanA23，將tanA,tanB代入tanAtanB3p，解得p31.13.(2015·四川高考理科·T19）如圖，A,B,C，D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.5學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(1）證明：tanA1cosA2。sinA（2)若∠A+∠C=180°，AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tanAtanBtanCtanD的值。2222【解題指南】(1）利用二倍角公式，分子分母同時(shí)張開。（2)利用(1）的結(jié)果，再結(jié)合余弦定理求解.2sin2AsinAtanA=左邊,【剖析】(1）右邊=2A22sinAA2cos2cos22故原式成立.(2）由(1)知,tanA1cosA，tanB1cosB,tanC1cosC,tanD1cosD2sinＡ2sinB2sinC2sinD又∠A+∠C=180°，所以∠B+∠D=180°，所以sinA=sinC，cosC=-cosA，sinD=sinB，cosD=—cosB,所以，原式=1cosA1cosB1cosC1cosDsinAsinBsinCsinD1cosA1cosA1cosB1cosBsinAsinAsinBsinB22sinAsinB在三角形DAB中,222BD=AB+AD—2AB·ADcos∠DAB=36+25-2×6×5cos∠DAB=61-60cos∠DAB,在三角形222BCD中,BD=BC+CD-2BC·DCcos∠BCD=9+16—2×3×4cos∠BCD所以，61-60cos∠DAB=25+24cos∠DABcos3DAB210210DAB,sin,即sinA7776學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精610同理sinB19所以,原式=22410.sinAsinB3（2015·新課標(biāo)全國卷Ⅰ文科·T18）（12分）已知a，b,c分別是△ABC內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊，sin2B=2sinAsinC。(1）若a=b，求cosB.（2）若B=90°，且a=√2，求△ABC的面積。【解題指南】（1)依照正弦定理將sin2B=2sinAsinC變?yōu)閎2=2ac，再利用余弦定理求出cosB.(2）利用勾股定理及b2=2ac求出c,爾后確定△ABC的面積.2B=2sinAsinC,2【剖析】（1）由于sin由正弦定理得b=2ac，由于a=b,所以a=2c。由余弦定理得a2c2b2c2c1cosB2ac2a.2ac4(2）由于B90，所以a2c2b2，又b22ac，所以a2c22ac,即ac2，所以SABC1221215.(2015·新課標(biāo)全國卷Ⅱ理科·T17）（12分）△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD均分∠BAC，△ABD是△ADC面積的2倍.sinB(1）求?！?（2)若AD=1,DC=2,求BD和AC的長(zhǎng).【解題指南】(1）由正弦定理確定sinB）由余弦定理求BD和AC的長(zhǎng)。.(2sinC【剖析】（1）S△ABD=1AB·ADsin∠BAD，2S△ADC=1AC·ADsin∠CAD,2由于S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC。由正弦定理可得sinB=AC=1.sinCAB2(2)由于S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知，7學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精222AB=AD+BD—2AD·BDcos∠ADB，222AC=AD+DC—2AD·DCcos∠ADC,22222故AB+2AC=3AD+BD+2DC=6。由(1)知AB=2AC,所以AC=1.16.(2015·新課標(biāo)全國卷Ⅱ文科·T17）△ABC中D是BC邊上的點(diǎn)，AD均分∠BAC，BD=2DC。1）求sinB。sinC2)若∠BAC=60°,求B。【解題指南】（1)由正弦定理求解sinB.（2)結(jié)合sinB,求出sinC，從而確定∠B的值。sinCsinC【剖析】（1）由正弦定理得AD=BD,ADsinBsinBACsinC所以sinB=DC=1。sinCBD2

=DC，由于AD均分∠BAC，BD=2DC，sinCAD2)由于∠C=180°—(∠BAC+∠B)，∠BAC=60°，所以sinC=sin（∠BAC+∠B）√31=2cosB+2sinB。由（1）知2sinB=sinC,所以tanB=√3，∠B=30°.317。（2015·江蘇高考·T15)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的長(zhǎng)。（2）求sin2C的值?！窘忸}指南】(1）利用余弦定理可求得BC的長(zhǎng)。(2)先利用正弦定理求出sinC的值,再利用余弦定理求出cosC的值,最后由二倍角的正弦公式即可求得sin2C的值。222222【剖析】（1)在△ABC中,由余弦定理可知，BC=AC+AB—2AC·AB·cosA，即BC=3+2—23×2×cos60°,解得BC=√7。(2）由正弦定理可知，ABBC27，解得sinC=21;由余弦定理可sinCsinA，即sinCsin60o7得,cosC=BC2AC2AB2=(7)232322=27.2BCAC277所以sin2C=2sinCcosC=22127=43.77718.(2015·山東高考理科·T16)(本小題滿分12分）設(shè)f(x)sinxcosxcos2(x)4(1)求f（x)的單調(diào)區(qū)間。8學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(2)在銳角△ABC中,角A,B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.若f(A)0，a=1，求△ABC面積的最2大值?！窘忸}指南】先將函數(shù)f（x)化簡(jiǎn)成一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù),再結(jié)合面積公式和基本不等式求解。1sin2x1cos2(x)【剖析】(1）f(x)sinxcosxcos2(x)24421sin2x11sin2xsin2x1。2222令2k2x22k,kZ，得4kx4k,kZ;2令2k2x32k,kZ，得kx3k,kZ.2442所以f（x）的單調(diào)遞加區(qū)間為4k,k(kZ)，單減區(qū)間為43(kZ)。4k,k4（2)由于f(A)sinA10，且ABC為銳角三角形，所以A.226由a1,cosA3b2c2a2，得3bcb2c212bc1，所以22bcbc123,所以SABC1bcsinA1(23)123.232224即ABC面積的最大值為243。19。（2015·山東高考文科·T17)（本小題滿分12分)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b,c。已知cosB3,sin(AB)6。求sin39A和c的值.【解題指南】先判斷A+B，再將其看作一個(gè)整體,利用兩角和與差的三角公式,結(jié)合正弦定理求解?！酒饰觥吭凇鰽BC中，cosB36,則sinB.339學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精由于sin(AB)66,所以AB為鈍角，cos(AB)53,939所以sinAsin(ABB)sin(AB)cosBcos(AB)sinB63(53)622.即sinA22.939333由于sinCsin(AB)6,sinA22，ac23,93acsinA22由正弦定理，得acc23223，所以c1。sinAsinCcsinC6920。(2015·陜西高考理科·T17)（本小題滿分12分)△ΑΒC的內(nèi)角Α，Β,C所對(duì)的邊分別為a,b，c.向量m=(a，√3b)與n=(cosΑ，sinΒ)平行。(1）求Α。（2)若a=√7，b=2，求△ΑΒC的面積?！窘忸}指南】（1)先利用m∥n得asinB-√3bcosA=0,再利用正弦定理轉(zhuǎn)變求得tanA的值從而得A的值。（2)利用余弦定理得邊c的值，代入三角形的面積公式求解.【剖析