給定速度的旋度場和散度場的流動

§1.5給定速度的旋度場及散度場的流動的基本方程及其性質(zhì)已知流場的速度散度礦兀亦”而速度粉皮v"=3(乃)的條件下,求解可壓編有旋流動的速度場。一.基本方程根據(jù)散度、旋度條件，可以給出(1108)式中隊釜為已知函數(shù)。代入矢量微分關(guān)系式Vx(vxr)=v|v-r^-v2r可得v2r=v^-VxQ根據(jù)散度、旋度條件，可以給出(1108)式中隊釜為已知函數(shù)。代入矢量微分關(guān)系式Vx(vxr)=v|v-r^-v2r可得v2r=v^-VxQ上式右側(cè)為已知禹數(shù)，這是一個關(guān)于丘的泊松方程。方程(1111)與式(1108)、(1109)完全等價，是求解速度衫的基本方程。

基本方程的求解途徑由數(shù)理方程理論可知，泊松方程的求解可以分解成尋求泊松方程的特解和求滿足邊界條件的拉普拉斯方程兩部分?，F(xiàn)以羊連通域中物體運動的邊界條件為例，討論基本方程的求解。為了便于分析，首先認為地將速度分解為三部分，令將此式代入基本方程（1108）、（1-109）及邊界條件（1-112）得它們可解成三組方程▽?「=（）VxF=o它們可解成三組方程▽?「=（）VxF=o礦十0億司廣區(qū)-間廣信）］云求解這三組方程等價于求解原始方程。，代入速度散度方第一組方程＜1-117)不附帶邊界條件，因此，只要找到滿足方，代入速度散度方由無魏條件可知，速度廠有勢，即程。可得'(1-120)因此對牝而言，相當于求滿足治桑方程的任一將解.第二組方程(1-118)也不附帶邊界條件，只要找到任意特解即可。由矢量分析可知，冬度的散度等于零。因此，T速度的散度等于零措由，1."VxB,1."VxB,式中衫禰為廠的矢量勢。將上式代入族度條件，得VxVx^=Q由關(guān)量襟分可知，上式又寫成假定存在?瓦)-b瓦=6假定存在?瓦)-b瓦=6(1-123)V?瓦=0(1-124)則能度條件可簡化為四(1125)因此，對本而言，相當于求滿足泊雜方程的任一特解，得到瓦后，由式(1-121)亦解速度習。關(guān)于▽.瓦=0這個條件.易證明31-6節(jié))其物理意義是邊界上渴量的法向分量處處為零。即。3=0。第三姐方程(1-119),無異于一般的不可摩無藪流動。由無羲條件可知，速度己有勢_[=▽%,<1126)相應(yīng)邊界條件可寫成-(1-127)相應(yīng)邊界條件可寫成式中(n，(n由第一組及第二姐方程的特解給由o因此，未解已知散度場、旋度場的流動。最后歸結(jié)為求解兩個與散度和旋度有關(guān)的泊松方程(1120),(1125)和一個拉普拉斯方程。盡管特解并不唯一，因此可的解也不唯一，但是總的速度場衫的解，只要邊界條件正確，其器是唯一的.?（1-125）的三組特解,成=g"弓=。V.^=0Vx元可相應(yīng)解得拉普拉斯方程（1-127）的解(1-129)（1-125）的三組特解,成=g"弓=。V.^=0Vx元可相應(yīng)解得拉普拉斯方程（1-127）的解(1-129)因此解得兩組滿足方程（3116）及邊界條件（3117）的解。令7-^=0Vx^=0K=K-Kv-F=oVxF=0VV叼=0vxF=oa—5=g5代咨％V饑=o▽該=0寸0=。布U11（昵-昵2）“則有同時Jr假定％,底（』=1，2）是方程式（1-120）、即“=Vx瓦對應(yīng)廠、弓兩組特解，且滿足邊京條屋式（1128）o即K一dm)(1-132)=（斜」（割=-［阿-（以+（商wTQ}"一=-［國板）,亦=您嚕［dm)(1-132)或由于調(diào)和函數(shù)符合線性疊加原理，因此(1133)。=0+供?+仁(1133)根據(jù)極值原理，牛曼問題的拉普拉斯方程的解，即調(diào)和函數(shù)在域內(nèi)不是常數(shù)，則在邊界上其微分不等于零。故指出（淅/伽）,=0在\?孑=（）域（p-consto因此▽伊=▽伊=V<4+V饑=K一*=0(1135)由此可見，雖然泊松方程的特解不同，但最后總的解是唯一確定的，只要邊界條件正確，上述解法確定了唯一性。由此得出結(jié)論：在已知散度場