線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納,DOC

線(xiàn)性代數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)第一部分行列式排列的逆序數(shù)行列式按行（列）展開(kāi)法則行列式的性質(zhì)及行列式的計(jì)算行列式的定義行列式的計(jì)算:a1na2nannnjnTOC\o"1-5"\h\zaa1112aa①(定義法)D=2122n????aan1n2—2(-1)T(j1j2jn)a1na2nannnjnj1j2jn（降階法）行列式按行（列）展開(kāi)定理:行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零（化為三角型行列式）上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線(xiàn)上元素的乘積.④若A與B都是方陣（不必同階），則OB=AO*B—A*OB=|A||BAO=*BAO-(—1)mnABAOOB-1003000110-252例計(jì)算-1002-100?-1解?-1解0021-1-11-3-200-25-(—1)^(f17aaa-(—1)^(f17aaa1n2nn1an范德蒙德行列式：

a1na2n-1O111XXX12???nX2X2X21?2.??n.Xn—1Xn—1Xn—112n

Oa1na2n-1.aOn1n(x-x)ij1<j<i<n例計(jì)算行列式bbbb=[a+(n-1)b](a-b)abbbab⑦a-b型公式：bba⑧（升階法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不變的方法.⑨（遞推公式法）0Jn階行列式D找出D與D或D,Dn2之間的一種關(guān)系式，其中nn-1n-1"由1巧弓角jr+約■■■ana.a稱(chēng)為遞推公D「Dn1,Dn2等結(jié)構(gòu)相同，叫=再由遞推公式求出D的方法稱(chēng)為遞推公式法.兩行列式之和，使問(wèn)題簡(jiǎn)化以例計(jì)算.⑩（數(shù)學(xué)歸納法）2.對(duì)于n階行列式|A，恒有:/=2,m+1XE-A=Xn（拆分法）把某一行（或列）的元素寫(xiě)成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫(xiě)成TOC\o"1-5"\h\z1"i處弓-1jr0---0兩行列式之和，使問(wèn)題簡(jiǎn)化以例計(jì)算.⑩（數(shù)學(xué)歸納法）2.對(duì)于n階行列式|A，恒有:/=2,m+1XE-A=Xn證明A=0的方法：、A=-|a|；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組Ax=0，

1+>—《吻弓戶(hù)1工=0萬(wàn)0000x0證明其有非零解；00…利用秩，證明r利用秩，證明r（A）<n；證明0是其特征值.(7.]Tl+N衛(wèi)

.=A-]=(-1)i+jMijijij、、4.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：M=（-1）fAij

第二部分矩陣矩陣的運(yùn)算性質(zhì)矩陣求逆矩陣的秩的性質(zhì)矩陣方程的求解1.矩陣的定義由mXn個(gè)數(shù)排成的m1.矩陣的定義由mXn個(gè)數(shù)排成的m行n列的表A二(a11a21a12a22稱(chēng)為mxn矩陣.記作：A=(a)ij或Amxnmxn&同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等.&矩陣相等:兩個(gè)矩陣同型，且對(duì)應(yīng)元素相等.a?矩陣加（減）法：兩個(gè)同型矩陣，對(duì)應(yīng)元素相加（減）?b.數(shù)與矩陣相乘：數(shù)人與矩陣A的乘積記作人A或A人，規(guī)定為人A=（Xa）..■--■■ijc.矩陣與矩陣相乘：設(shè)A=(a),B=(b)，則。=AB=(c)，ijmxsijsxnijmxn其中注：矩陣乘法不滿(mǎn)足：交換律、消去律,即公式AB=BA不成立.AB=0nA=0或B=0(A\((A\(B\(AB

a?分塊對(duì)角陣相乘：A=11,B=11nAB=1111ka22)kb227kA22B22'AnAn=11kAn722用對(duì)角矩陣A乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于用A的對(duì)角線(xiàn)上的各元素依次乘此矩陣的向量;用對(duì)角矩陣A乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于用A的對(duì)角線(xiàn)上的各元素依次乘此矩陣的向量.兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線(xiàn)上的對(duì)應(yīng)元素相乘.④方陣的冪的性質(zhì)：AmAn=Am+n，(Am)n=(A)mn⑤矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT.

-b，主…換位

aJ副變號(hào)①伴隨矩陣法A-i=告:-b，主…換位

aJ副變號(hào)①伴隨矩陣法A-i=告:lAld)ad一bc"-c(ABb.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：a："u(Aii⑥伴隨矩陣：A*=(A)=12LAA*=A*A=|A|E,a*=A-1,A-1(A分塊對(duì)角陣的伴隨矩陣：A"BAA21A"1'AA22…n2，::??…AA)2nnn,=|a-1?:[=(B^AB*})"AB)A〃為|A|中各個(gè)元素的代數(shù)余子式.(A)*=((-1MA|B?'"B)"(-1)mnBA*/■矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：AA*=A*A=|A|E(無(wú)條件恒成立)2.逆矩陣的求法方陣A可逆|A|莉.A是反對(duì)稱(chēng)矩陣A=-Ar.(ab￥】1(d②初等變換法(AE)-初等行變換t(EA-i)22例求21-2的逆矩陣.-21

③分塊矩陣的逆矩陣ra-i-1B-1、-1a1③分塊矩陣的逆矩陣ra-i-1B-1、-1a1a2B-1、-1VA-1a3⑤配方法或者待定系數(shù)法(逆矩陣的定義AB=BA=EnA-1=B)例設(shè)方陣A滿(mǎn)足矩陣方程A2-A-2E=0，證明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A+2EX.解由A2-A-2E=0得1(A—E)A=E,故A可逆，且A-1=1(A—E).22由A2-A-2E=0也可得(A+2E)(A-3E)=—4E或(A+2E)-4(A-3E)=E,故A+2E可逆，且(A+2E)-1=—4(A-3E).行階梯形矩陣可畫(huà)出一條階梯線(xiàn)，線(xiàn)的下方全為0；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線(xiàn)的豎線(xiàn)后面的第一個(gè)元素非零,當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是0時(shí)，稱(chēng)為行最簡(jiǎn)形矩陣初等變換與初等矩陣對(duì)換變換、倍乘變換、倍加(或消法)變換初等變換初等矩陣初等矩陣的逆初等矩陣的行列式r—r（c—c）iJiJrxk（cxk）r+rxk（c+cxk）iJij?矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系:名對(duì)A施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘A；心對(duì)A施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘A.

注意：初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣.隨陣的畫(huà)關(guān)于A矩陣秩的描述：、r(A)=r,A中有,階子式不為0,r+1階子式(存在的話(huà))全部為0;、r(A)<r,4的r階子式全部為0;、r(A)>r,4中存在/?階子式不為0;?矩陣的秩的性質(zhì)：①A。O=r(A)N1;A=O。r(A)=0;0Wr(A)Wmin(m,n)mxn②尸(A)=r(Ar)=r(ArA)③r(M)=r(A)其中k^Q④若％,B，若r(AB)=0^mxnnxsr(A)+r(B)<n8的列向量全部是弘=。的解⑤r{AB)Wmin{r(A),r(B)}⑥若p、Q可逆，貝0r(A)=④若％,B，若r(AB)=0^mxnnxs⑦若心)=mxnn<r(AB)=⑦若心)=mxnn<r(AB)=r(B)A在矩陣乘法中有左消去律AB=OnB=OAB=AC^B=C若r(B)=nnnxs若r(B)=nnnxs(FC、(F若尸(A)=mA與唯一的r等價(jià)，稱(chēng)「為矩陣4的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型.r(A±8)Wr(A)+r(B),max{尸(A),r(B)}Wr(A,B)Wr(A)+r(B)(AO~\A}。尸尸⑴+,㈤,(ArI。c}。r(A)+r(B)B)?求矩陣的秩：定義法和行階梯形陣方法6矩陣方程的解法(|A|o0)：設(shè)法化成⑴AX=8或(II)X4=(AO~\A}。尸尸⑴+,㈤,(ArI。c}。r(A)+r(B)B)1.向量組的線(xiàn)性表示向量組的線(xiàn)性相關(guān)性向量組的秩向量空間線(xiàn)性方程組的解的判定線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）（1）齊次線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）（2）非齊次線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）1.線(xiàn)性表示：對(duì)于給定向量組P,a,a,,a，若存在一組數(shù)k,k,,k使得12n12n則稱(chēng)P是a,a，二a的線(xiàn)性組合，或稱(chēng)稱(chēng)p可由a,a,,a的線(xiàn)性表示.12n12.線(xiàn)性表示的判別定理：P可由％,%,an的線(xiàn)性表示由n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組構(gòu)成n元線(xiàn)性方程：①、②、ax+ax+①、②、ax+ax+111122ax+ax+211222+ax=b+ax=b2nn2有解am1x土a2x2+a12a22a1na2n+'、禎If:.2③、(aaa)n;1=③、(aaa)n;1=p（全部按列分塊，其中p=fb21kxn1kbn1amnam2IbJkam1ax+ax1122人xmJ）；++ax++ax=P（線(xiàn)性表出）、有解的充要條件：r（A）=r（A,P）<n（n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）2.設(shè)A,B,A的列向量為a,a,.?.,a,B的列向量為p,p,...,p，mxnnxs12n12s

則AB=Co(則AB=Co(a,a,??-,a)(b11b21b12b22b1sb2s"n1bnsJoAp,=c9(i=1,2,,s)op.為Ax=%的解…oc,c,,c可由a,a,…,a線(xiàn)性表示.12s12n即：C的列向量能由A的列向量線(xiàn)性表示，B為系數(shù)矩陣.同理：C的行向量能由B的行向量線(xiàn)性表示，A為系數(shù)矩陣.a11a12a)1n(P1「(c1]a21a22????a11a12a)1n(P1「(c1]a21a22?????a2nP:2=c.n1an2???aamnJ\PJnJ即：aP+aP+111122aP+aP+211222aP+aP+m11??.m22...+amP2=cm3.線(xiàn)性相關(guān)性定義；給定向量組4%碼，…,〃，如果存在不全為零的實(shí)數(shù)炳,…,比熟，使得由摩1+炳吻+…+切7時(shí)=0（零向量）則稱(chēng)向量組/是線(xiàn)性相關(guān)的，否則稱(chēng)它是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.方法:法3推論向量組線(xiàn)性相關(guān)m元齊次線(xiàn)性方程組Ax=0有非零解…0號(hào)設(shè)矩陣A=（ara2…tz5）。向量組線(xiàn)性相關(guān);⑵尸（刀）二m。向量組％，務(wù),線(xiàn)性無(wú)關(guān).定理3向量組％，明,?區(qū)?血＞2）線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件

是該向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線(xiàn)性表示.性相關(guān)性判別法（歸納）單個(gè)零向量線(xiàn)性相關(guān)；單個(gè)非零向量線(xiàn)性無(wú)關(guān).部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān)，部分必?zé)o關(guān).(向量個(gè)數(shù)變動(dòng))原向量組無(wú)關(guān)，接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān).(向量維數(shù)變動(dòng))⑤兩個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)O對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān).⑥向量組a1,a2,…,a中任一向量a.(1WiWn)都是此向量組的線(xiàn)性組合.⑦若a,a,…,a線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而a,a，…,a,P線(xiàn)性相關(guān)，則p可由a,a，…,a線(xiàn)性表示,且表示法唯12n12n12最大無(wú)關(guān)組相關(guān)知識(shí)最大無(wú)關(guān)組若在向雖組刀中找到r個(gè)向量/,角，…-％滿(mǎn)足妃％：.%線(xiàn)性無(wú)關(guān)，A中任一向量都可由而表示，則向星組最大無(wú)關(guān)組相關(guān)知識(shí)最大無(wú)關(guān)組若在向雖組刀中找到r個(gè)向量/,角，…-％滿(mǎn)足妃％：.%線(xiàn)性無(wú)關(guān)，A中任一向量都可由而表示，則向星組?新是向量組且的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組一向量空間的基設(shè)/為向量空間，若有尸個(gè)向量"i，“2,…,“KV,且滿(mǎn)足馬,ar線(xiàn)性無(wú)關(guān)；/中任?向量都可由。"2,線(xiàn)性表示則稱(chēng)向量組儀1,四■■■>們就稱(chēng)為向量空間F的一個(gè)基.基礎(chǔ)解系若齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的一組解向崖質(zhì)，偵2,….天滿(mǎn)足⑴鳥(niǎo)g,…應(yīng)線(xiàn)性無(wú)關(guān);(2)如二。的任一解都可由巖，鼻…，務(wù)線(xiàn)性表示.向量組等價(jià)％,a2解法2：轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問(wèn)題.01、已知(號(hào)0禹)=(《,％,、)110,記作B=AK1°1U因?yàn)閨直［=W。，所以*可逆，勿，又向量組％。2,久線(xiàn)性無(wú)關(guān)，席(4)=3,從而&(勻=3,向量組如久線(xiàn)性無(wú)關(guān).向量組的秩|向量組ai,a2,,氣的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)向量組的秩?記作r(a「a2,,a)矩陣等價(jià)IA經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為B?況?稱(chēng)電和莒0獨(dú)令皆可以相互線(xiàn)性表示.記作：(a「a2,…,a,)虧("P2,…,p〃)行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行(列)向量間的線(xiàn)性關(guān)系向量組P,P,???,P可由向量組a,a,???,a線(xiàn)性表示，且s>n，則P,P,???,P線(xiàn)性相關(guān).12s12n12s向量組P,P,???,P線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且可由a,a,???,a線(xiàn)性表示，則sWn.12s12n

④向量組P,P,…,P可由向量組a,a,...,a線(xiàn)性表示，且r(P,P,…,P)=r(a,a,...,a)，則兩向12s12n12s12n量組等價(jià);任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià).向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一，但極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定.若兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià)，則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.⑧設(shè)A是mxn矩陣，若r(A)—m，A的行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān);線(xiàn)性方程組理論線(xiàn)性方程組的矩陣式Ax=p向量式xa+(a11a21a12a22a1n'X1'X2xa線(xiàn)性方程組的矩陣式Ax=p向量式xa+(a11a21a12a22a1n'X1'X2xa+1

b二2其中a+xa—P1a1j、a

—2jIam1IXnJ(1)解得判別定理組解的性質(zhì)門(mén),門(mén)是Ax=o的解,門(mén)+門(mén)也是它的解1212n是Ax=o的解,對(duì)任意k,@也是它的解n,n,,n是Ax=o的解,對(duì)任意k個(gè)常數(shù)12k人,人,,人,人n+人n+人n也是它的解12???k1122kky\齊次方程組(4)(5)(6)⑺Y是Ax=p的解,門(mén)是其導(dǎo)出組Ax=o的解,y+H是Ax=p的解門(mén)，門(mén)是Ax=P的兩個(gè)解，門(mén)-H是其導(dǎo)出組Ax=o的解1212H2是Ax=p的解，則門(mén)］也是它的解。叫-門(mén)2是其導(dǎo)出組Ax=o的解門(mén)，門(mén)，，門(mén)是Ax=P的解，則12k入?n+人門(mén)++人門(mén)也是Ax=。的解。人+人++人一1,?-1122kk12-人門(mén)+人門(mén)++人門(mén)是Ax=0的解。人+人++人1122..?kk12■■-(3)判斷門(mén),丑，m是Ax=o的基礎(chǔ)解系的條件:12①n1,n2,,n線(xiàn)性無(wú)關(guān);②氣,丑2，m都是Ax—o的解;僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考'121-2、'10-34、230-1I012-3」T-57」0000/方法公先求出基礎(chǔ)解系，再寫(xiě)出通解.%=3^-4^x2=-2x3+3x4『_3荷+4也=0f[x2+2x3-3x4=Q1[s=n-r(A)=每個(gè)解向量中自由未知量的個(gè)數(shù).⑷求非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的通解的步驟例求下述方程組的解q11解A=(A,b)=312[021q11解A=(A,b)=312[021111-3-22623)19100—2——221230113——22001000由于r(A)=r(A)=2<5，知線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解.一…氣原方程組等價(jià)于方程組<1"2_1o9=—x—2x—x—23542=—1x—x—3x+炎23452(x)(1:(0](0]3x0,1,043J0[%0[U)1[/令求得等價(jià)方程組對(duì)應(yīng)的奇次方程組的基礎(chǔ)解系&=1(—12:(0.(2)-12-1-31,&=0,&=023010[0J[0J[1J求特解:令x=x=x=(—9/2求特解:令x=x=x=(—9/2)-23/2

00(-1/2](0](2](—9/2、-1/2—1-323/2所以方程組的通解為x=k111+k20+k0+000300[0J[0J[1J[0J(k,k,k為任意常數(shù))?123(5)其他性質(zhì)一個(gè)齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一."若門(mén)*是Ax=P的一個(gè)解，：，匕,,匕是Ax=o的一個(gè)解n&,&,,&E*線(xiàn)性無(wú)關(guān)1S1S/Ax=o與Bx=o同解(A,B列向量個(gè)數(shù)相同)or=r(A)=r(B)，且有結(jié)果:①它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等;②它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線(xiàn)性相關(guān)性;③它們有相同的內(nèi)在線(xiàn)性關(guān)系./矩陣A與B的行向量組等價(jià)o齊次方程組Ax=o與Bx=o同解oPA=B(左乘可逆矩陣mxnlxn矩陣氣〃與B矗的列向量組等價(jià)oAQ=B(右乘可逆矩陣Q).第四部分方陣的特征值及特征向量1.施密特正交化過(guò)程2.特征值、特征向量的性質(zhì)及計(jì)算3.矩陣的相似對(duì)角化，尤其是對(duì)稱(chēng)陣的相似對(duì)角化1.好標(biāo)準(zhǔn)正交基n個(gè)n維線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量,兩兩正交，每個(gè)向量長(zhǎng)度為1.向量a=(a,a,,a>與p=(b,b,,b》的內(nèi)積(a,p)=￡ab=Jab12n10->+ab++abii1122nni=1宅以與。正交(a,p)=0.記為：ai④向量a=(a)r的長(zhǎng)度假=<(a,a)=￡a2=、ja2+a2++a2i=1⑤a是單位向量|a||=J(a,a)=1.即長(zhǎng)度為1的向量.2.內(nèi)積的性質(zhì)：①正定性(a,a)>0,且(a,a)=0oa=o②對(duì)稱(chēng)性：(a,p)=(p,a)③線(xiàn)性性：(a1+a2,p)=(a「p)+(a2,p)3.心設(shè)A是一個(gè)n階方陣,若存在數(shù)人和n維非零列向量x,使得則稱(chēng)人是方陣A的一個(gè)特征值，x為方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值人的一個(gè)特征向量.閉4的特征矩陣|XE-A=0(或|A-XE\=0).洞a的特征多項(xiàng)式|xe-a二中(X)(或a-xe二中(人)).④9(X)是矩陣A的特征多項(xiàng)式n^(A)=O⑤A=⑤A=xxX況X=trA，itrA稱(chēng)為矩陣A的跡⑥上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線(xiàn)上的〃各元素.⑦若A=0,則X=0為A的特征值，且Ax=o的基礎(chǔ)解系即為屬于X=0的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.⑧r(A)=1oA一定可分解為A=2(b,b,,b)、A2=(ab+ab++ab)A,從而⑧r(A)=1oA一定可分解為A=征值為：X=trA=ab+ab++ab,X=X==X=0.11122nn23n(a,a,,a＞為A各行的公比，(b,b,,b)為A各列的公比.12n12n⑨若A的全部特征值X「氣，，X^,f(A)是多項(xiàng)式，則:①若A滿(mǎn)足f(A)=OnA的任何一個(gè)特征值必滿(mǎn)足f(X,)=0②"的全部特征值為心，，"；|f(A)|=嗎代)f(X〃).⑩A與AT有相同的特征值，但特征向量不一定相同?特征值與特征向量的求法⑴寫(xiě)出矩陣a的特征方程a-xe=0，求出特征值%?TOC\o"1-5"\h\z(2)根據(jù)(A-XE)x=0得到A對(duì)應(yīng)于特征值X的特征向量.ii設(shè)(A-XE)x=0的基礎(chǔ)解系為E,E,E,其中r=r(A-XE).12n—riii則A對(duì)應(yīng)于特征值X的全部特征向量為kE+kE++kE1122n—r,n—r,其中k,k2,,%,為任意不全為零的數(shù).…'-211、例求A=020的特征值和全部特征向量.1^-413）解第一步：寫(xiě)出矩陣A的特征方程，求出特征值?解得特征值為七=-1，氣=，3=2-第二步:對(duì)每個(gè)特征值人代數(shù)齊次線(xiàn)性方程組（A-槌）x=0，求其非零解,即對(duì)應(yīng)于特征值人的全部特征向量.當(dāng)人=-1時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組為（A+E）x=0,系數(shù)矩陣'1、得基礎(chǔ)解系:P=10，故對(duì)應(yīng)于特征值人=-1的全部特征向量為kP（得基礎(chǔ)解系:P=1<1,當(dāng)人=2時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組為（A-2E）x=0，系數(shù)矩陣'0)'1，P=1，P=02-1V34得基礎(chǔ)解系:故對(duì)應(yīng)于特征值人=2的全部特征向量為kP+kP，其中k,k不全為零.2233235.aA與B相似P-1AP=B（P為可逆矩陣）足A與B正交相似P-1AP=B（P為正交矩陣）aA可以相似對(duì)角化A與對(duì)角陣A相似.（稱(chēng)A是A的相似標(biāo)準(zhǔn)形）相似矩陣的性質(zhì):①|(zhì)XE-A="-B\,從而A,B有相同的特征值，但特征向量不一定相同?a是A關(guān)于人的特征向量，P-1a是B關(guān)于人的特征向量.00②trA=trB|A|=|B|從而A,B同時(shí)可逆或不可逆r(A)=r(B)⑤若A與B相似，則A的多項(xiàng)式f（A）與B的多項(xiàng)式f（A）相似.矩陣對(duì)角化的判定方法①n階矩陣A可對(duì)角化(即相似于對(duì)角陣)的充分必要條件是A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.這時(shí)，P為A的特征向量拼成的矩陣，P-1AP為對(duì)角陣,主對(duì)角線(xiàn)上的元素為A的特征值.設(shè)a為對(duì)應(yīng)于人的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量,則有:iiF1P-1AP=J②A可相似對(duì)角化。n-r(XE-A)=￡，其中、為七的重?cái)?shù)。A恰有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.:當(dāng)七=0為A的重的特征值時(shí)，A可相似對(duì)角化。七的重?cái)?shù)=n-r(A)=Ax=?；A(chǔ)解系的個(gè)數(shù).③若n階矩陣A有n個(gè)互異的特征值nA可相似對(duì)角化.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)：特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量；不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必定正交；:對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)；一定有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.若A有重的特征值，該特征值人的重?cái)?shù)=n-r(XE-A)；必可用正交矩陣相似對(duì)角化，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；與對(duì)角矩陣合同，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線(xiàn)性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似=有相同的特征值?9.正交矩陣AAt=E正交矩陣的性質(zhì)：①AT=A-1；AAt=AtA=E；正交陣的行列式等于1或-1；④A是正交陣，則At，A-1也是正交陣;

兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣;A的行(列)向量都是單位正交向量組.10.例求正交矩陣T,把實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣/化為對(duì)角陣的方法：實(shí)對(duì)稱(chēng)陣解特征方程\A-AE\=O,求出對(duì)稱(chēng)陣』的全部不同的特征值4，%，-,人對(duì)每個(gè)特征值4,求出對(duì)應(yīng)的特征向量，即求齊次線(xiàn)性方程組(A—=0的基礎(chǔ)解系。將屬于每個(gè)4的特征向量先正交化，再單位化。這樣共可得到〃個(gè)兩兩正交的單位特征向量以為列向量構(gòu)成正交矩陣7=(如億,-泓)有T~lAT=A/1-2)0A=-22-，2求正交陣Q，使得Q-1AQ為對(duì)角陣.1-人-20解|A-XE\=-22—人-2=-(人+1)(X-2)(X-5)=00-23-X所以A的特征值為X=-1，X=2，X=5，當(dāng)X1=-1時(shí)，解(A+E)x=0，得基礎(chǔ)解系為氣=(2,2,1*當(dāng)X=2時(shí)，2當(dāng)X=5時(shí)，3解(A-2E)x=0，得基礎(chǔ)解系為x2=(2,-1,-2)r解(A-5E)x當(dāng)X=2時(shí)，2當(dāng)X=5時(shí)，31x,212、x,122、TOC\o"1-5"\h\z)ry=2=(——)ry=3=(—)r我/七(q,,)y(頊\o"CurrentDocument"32x23333x3333f2211333令Q=(y,y,y)=21——2——123333122—L3—3—3J則睥=皿豐001B01/11.施密特正交規(guī)范化|a,氣七線(xiàn)性無(wú)關(guān)，單位化5門(mén)2=鬲5技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過(guò)施密特正交化。讓第二個(gè)解向量先與第一個(gè)解向量正交，再把第二個(gè)解向量代入方程，確定其自由變量.第四部分二次型二次型及其矩陣形式二次型向標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化的三種方式正定矩陣的判定1.心二次型f3,x,,x)=*naxx=(x,x,12nijij12i=1j=1???其中A為對(duì)稱(chēng)矩陣，x=(x「％,,x)t聞A與B合同CTAC=B.(A,B為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,C為可逆矩陣)居正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)p|負(fù)慣性指數(shù)