線性變換在二維空間和三維空間中的應用

線性變換在二維空間和三維空間中的應用1、二維圖形的幾何變換二維齊次坐標變換的矩陣的形式是：這個矩陣每一個元素都是有特殊含義的。abde是對圖形進行平移變換；［gh］是對圖形作其中L」可以對圖形進行縮放、旋轉、對稱、錯切等變換;投影變換；［i］是對圖形進行平移變換；［gh］是對圖形作1.1平移變換。頊51近y="弓=心,)y01LUL1」〔1」1.2縮放變換1.3旋轉變換在直角坐標平面中，將二維圖形繞原點旋轉0角的變換形式如下:逆時針旋轉6取正值，順時針旋轉6取負值。1.4對稱變換對稱變換其實只是a、b、d、e取0、1等特殊值產生的一些特殊效果。例如:當b=d=0，a=-1，e=1時有x'=-x，y'=y，產生與y軸對稱的圖形。A.當b=d=0，a=-1，e=-1時有x=x，y=-y，產生與x軸對稱的圖形。當b=d=0，a=e=-1時有x'=-x，y'=-y，產生與原點對稱的圖形。當b=d=1，a=e=0時有x'=y，y'=x，產生與直線y=x對稱的圖形。D.當b=d=-1，a=e=0時有x'=-y，y'=-x，產生與直線y=-x對稱的圖形。1.5錯切變換當d=0時，x'=x+by，y'=y，此時，圖形的y坐標不變，x坐標隨初值（x，y）及變換系數(shù)b作線性變化。當b=0時，x'=x，y'=dx+y，此時，圖形的x坐標不變，y坐標隨初值（x，y）及變換系數(shù)d作線性變化。

1.6復合變換Y方向錯切變換1.6復合變換如果圖形要做一次以上的幾何變換，那么可以將各個變換矩陣綜合起來進行一步到位的變換。復合變換有如下的性質：復合平移對同一圖形做兩次平移相當于將兩次的平移兩加起來:1jloo1jloo1j|_o必+41項+知=『（必+板以+知）復合縮放兩次連續(xù)的縮放相當于將縮放操作相乘:復合旋轉兩次連續(xù)的旋轉相當于將兩次的旋轉角度相加:LciS母—sin的0]「CCIS覓-sin^0-"□s（母+覓）-six的+仇）o-劇電）項⑥）=sin母ms電osinqcosfi\0sin（電+兔）ms（電+仇）0=瓦電+冷001L°01001放、旋轉變換都與參考點有關，上面進行的各種變換都是以原點為參考點的。如果相對某個一般的參考點（xf，yf）作縮放、旋轉變換，相當于將該點移到坐標原點處，然后進行縮放、旋轉變換，最后將（xf，yf）點移回原來的位置。切記復合變換時，先作用的變換矩陣在右端，后作用的變換矩陣在左端。D.關于（xf，yf）點的縮放變換S（xf,yf-s^sy）=T（xf,yf）-弓）■T（~xf,-yf）"0勺°。］|~10一勺=01為Q勺001―方00001一弓0勺（1-=0%為（1一勺）001E.繞（xf，yf）點的旋轉變換1.7、二維線性變換的應用實例在多變量函數(shù)積分學中，合理進行變量代換，能起到化繁為簡的作用，常用的變量代換，有球坐標，極坐標代換，或類似此類的代換。而事實上，線性代數(shù)為我們看問題提供了一個非常好的視角。線性變換用于多重積分，曲面，曲線積分中，往往更為靈活，并不是如球坐標等代換較易看出。

例求""eax2+2bxy+c2dxdy,其中a>0,b2-ac<0j8ex2dx分析：這與-8似乎有關系，如何轉化？（bax2例求""eax2+2bxy+c2dxdy,其中a>0,b2-ac<0j8ex2dx分析：這與-8似乎有關系，如何轉化？（bax2+2bxy+cy2=(xy)x因為使得c定正。（a"IA-1=(入k0「e氣/d（和x'Jj"e人2y‘2d原式-81、1-82從以上的討論看出：必須注意觀察已知條件，才能合理進行線性變換，當積分區(qū)域，被積表達式具有某種線性的特征時（也即可表為變量的線性組合）往往可以考慮線性變換，而定正矩陣的應用可視為一種技巧。2、三維圖形的幾何變換由于用齊次坐標表示，三維幾何變換的矩陣是一個4階方陣，其形式如下:其中aa1112aa2122aa3132aa4243a其中aa1112aa2122aa3132aa4243a41a13a23a33」產生縮放、旋轉、錯切等變換;a14a24a34］產生投影變換，a44］產生整體縮放變換。產生平移變換，參照二維的平移變換，我們很容易得到三維平移變換矩陣:2.2縮放變換直接考慮相對于參考點（xf，yf，zf）的縮放變換，其步驟為:將平移到坐標原點處;進行縮放變換；將參考點（xf，yf，zf）移回原來位置則變換矩陣為：2.3繞坐標軸的旋轉變換三維空間的旋轉相對要復雜些，考慮右手坐標系下相對坐標原點繞坐標軸旋轉q角的變換:A.繞x軸旋轉口CISm口CISmcsnuB.繞y軸旋轉COS^-sin^0■mSCOS^-sin^0■mS三維空間的平移、旋轉及縮放示意圖2.4繞任意軸的旋轉變換設旋轉軸AB由任意一點A（xa，ya，za）及其方向數(shù)（a，b，c）定義，空間一點P（x，J，z）繞AB軸ppp旋轉角到p（xp,yp,zp）則可以通過下列步驟來實現(xiàn)p點的旋轉:將A點移到坐標原點。使AB分別繞X軸、Y軸旋轉適當角度與Z軸重合。將AB軸繞Z軸旋轉0角。作上述變換的逆操作，使AB回到原來位置。所以R(0)=T-1(X,y,z)R-1(a)R-1(P)R(0)R(P)R(a)T(x,y,z)

abaaaxyzyxaaa其中各個矩陣的形式參照上面所講的平移，選擇矩陣，而*,P分別是AB在YOZ平面與XOZ平面的投影與Z軸3.三維圖形變換理論3.1.三維圖形的幾何變換幾何變換是指應用于對象幾何描述并改變它的位置、方向或大小的操作.三維圖形的幾何變換也稱三維幾何變換，是幾何變換在三維空間的應用.由于幾何變換可以用緊湊的矩陣形式表達，這不僅使得平移、縮放、旋轉等變換變得更加容易，還使得一系列的幾何變換可以很容易地結合起來構成1個新的變換.三維幾何變換均可以用1個4X4的變換矩陣abcp-—defq9h■ir-ImnsJT描述，其變換矩陣為式中：a，b，C，P，d，e，f，q，g，h，i，，￡，m，，8為矩陣T的元素式(1)可從功能上分為以下部分：ahc-idef(1)3X3子陣頃*，，可以產生比例、旋轉、錯切及對稱等變換.⑵1X3行陣［l，m，n］可以產生沿X，Y，Z軸的平移變換._r3X1列陣可以產生透視變換元素8產生整體的比例變換3.2組合三維幾何變換4.2.1.1初等三維變換式(1)是1個十分有用的變換矩陣，它可以描述三維空問的各種變換，但直接使用卻十分困難.不如先分析平移、

縮放、旋轉等初等三維變換矩陣.對初等三維變換矩陣進行組合，就得到了組合三維變換矩陣，從而實現(xiàn)一般性的三維幾何變換.下面是幾個重要的初等三維變換矩陣：「］0D0-10Cl(T01000cs0P二,JL(ce)-01()-yc0mnLJO001-~c0-i3(T-cs0(r0100-sc()0R心）50c00010(2)_0001000L式中：P為平移矩陣，矩陣中1,m,n分別為沿x,y,z軸的平移量;矩陣分別為繞