線性變換在二維空間和三維空間中的應(yīng)用

線性變換在二維空間和三維空間中的應(yīng)用1、二維圖形的幾何變換二維齊次坐標(biāo)變換的矩陣的形式是：這個(gè)矩陣每一個(gè)元素都是有特殊含義的。abde是對(duì)圖形進(jìn)行平移變換；［gh］是對(duì)圖形作其中L」可以對(duì)圖形進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換;投影變換；［i］是對(duì)圖形進(jìn)行平移變換；［gh］是對(duì)圖形作1.1平移變換。頊51近y="弓=心,)y01LUL1」〔1」1.2縮放變換1.3旋轉(zhuǎn)變換在直角坐標(biāo)平面中，將二維圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)0角的變換形式如下:逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6取正值，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6取負(fù)值。1.4對(duì)稱變換對(duì)稱變換其實(shí)只是a、b、d、e取0、1等特殊值產(chǎn)生的一些特殊效果。例如:當(dāng)b=d=0，a=-1，e=1時(shí)有x'=-x，y'=y，產(chǎn)生與y軸對(duì)稱的圖形。A.當(dāng)b=d=0，a=-1，e=-1時(shí)有x=x，y=-y，產(chǎn)生與x軸對(duì)稱的圖形。當(dāng)b=d=0，a=e=-1時(shí)有x'=-x，y'=-y，產(chǎn)生與原點(diǎn)對(duì)稱的圖形。當(dāng)b=d=1，a=e=0時(shí)有x'=y，y'=x，產(chǎn)生與直線y=x對(duì)稱的圖形。D.當(dāng)b=d=-1，a=e=0時(shí)有x'=-y，y'=-x，產(chǎn)生與直線y=-x對(duì)稱的圖形。1.5錯(cuò)切變換當(dāng)d=0時(shí)，x'=x+by，y'=y，此時(shí)，圖形的y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)隨初值（x，y）及變換系數(shù)b作線性變化。當(dāng)b=0時(shí)，x'=x，y'=dx+y，此時(shí)，圖形的x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)隨初值（x，y）及變換系數(shù)d作線性變化。

1.6復(fù)合變換Y方向錯(cuò)切變換1.6復(fù)合變換如果圖形要做一次以上的幾何變換，那么可以將各個(gè)變換矩陣綜合起來(lái)進(jìn)行一步到位的變換。復(fù)合變換有如下的性質(zhì)：復(fù)合平移對(duì)同一圖形做兩次平移相當(dāng)于將兩次的平移兩加起來(lái):1jloo1jloo1j|_o必+41項(xiàng)+知=『（必+板以+知）復(fù)合縮放兩次連續(xù)的縮放相當(dāng)于將縮放操作相乘:復(fù)合旋轉(zhuǎn)兩次連續(xù)的旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于將兩次的旋轉(zhuǎn)角度相加:LciS母—sin的0]「CCIS覓-sin^0-"□s（母+覓）-six的+仇）o-劇電）項(xiàng)⑥）=sin母ms電osinqcosfi\0sin（電+兔）ms（電+仇）0=瓦電+冷001L°01001放、旋轉(zhuǎn)變換都與參考點(diǎn)有關(guān)，上面進(jìn)行的各種變換都是以原點(diǎn)為參考點(diǎn)的。如果相對(duì)某個(gè)一般的參考點(diǎn)（xf，yf）作縮放、旋轉(zhuǎn)變換，相當(dāng)于將該點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)處，然后進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)變換，最后將（xf，yf）點(diǎn)移回原來(lái)的位置。切記復(fù)合變換時(shí)，先作用的變換矩陣在右端，后作用的變換矩陣在左端。D.關(guān)于（xf，yf）點(diǎn)的縮放變換S（xf,yf-s^sy）=T（xf,yf）-弓）■T（~xf,-yf）"0勺°。］|~10一勺=01為Q勺001―方00001一弓0勺（1-=0%為（1一勺）001E.繞（xf，yf）點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換1.7、二維線性變換的應(yīng)用實(shí)例在多變量函數(shù)積分學(xué)中，合理進(jìn)行變量代換，能起到化繁為簡(jiǎn)的作用，常用的變量代換，有球坐標(biāo)，極坐標(biāo)代換，或類似此類的代換。而事實(shí)上，線性代數(shù)為我們看問(wèn)題提供了一個(gè)非常好的視角。線性變換用于多重積分，曲面，曲線積分中，往往更為靈活，并不是如球坐標(biāo)等代換較易看出。

例求""eax2+2bxy+c2dxdy,其中a>0,b2-ac<0j8ex2dx分析：這與-8似乎有關(guān)系，如何轉(zhuǎn)化？（bax2例求""eax2+2bxy+c2dxdy,其中a>0,b2-ac<0j8ex2dx分析：這與-8似乎有關(guān)系，如何轉(zhuǎn)化？（bax2+2bxy+cy2=(xy)x因?yàn)槭沟胏定正。（a"IA-1=(入k0「e氣/d（和x'Jj"e人2y‘2d原式-81、1-82從以上的討論看出：必須注意觀察已知條件，才能合理進(jìn)行線性變換，當(dāng)積分區(qū)域，被積表達(dá)式具有某種線性的特征時(shí)（也即可表為變量的線性組合）往往可以考慮線性變換，而定正矩陣的應(yīng)用可視為一種技巧。2、三維圖形的幾何變換由于用齊次坐標(biāo)表示，三維幾何變換的矩陣是一個(gè)4階方陣，其形式如下:其中aa1112aa2122aa3132aa4243a其中aa1112aa2122aa3132aa4243a41a13a23a33」產(chǎn)生縮放、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切等變換;a14a24a34］產(chǎn)生投影變換，a44］產(chǎn)生整體縮放變換。產(chǎn)生平移變換，參照二維的平移變換，我們很容易得到三維平移變換矩陣:2.2縮放變換直接考慮相對(duì)于參考點(diǎn)（xf，yf，zf）的縮放變換，其步驟為:將平移到坐標(biāo)原點(diǎn)處;進(jìn)行縮放變換；將參考點(diǎn)（xf，yf，zf）移回原來(lái)位置則變換矩陣為：2.3繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換三維空間的旋轉(zhuǎn)相對(duì)要復(fù)雜些，考慮右手坐標(biāo)系下相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)q角的變換:A.繞x軸旋轉(zhuǎn)口CISm口CISmcsnuB.繞y軸旋轉(zhuǎn)COS^-sin^0■mSCOS^-sin^0■mS三維空間的平移、旋轉(zhuǎn)及縮放示意圖2.4繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換設(shè)旋轉(zhuǎn)軸AB由任意一點(diǎn)A（xa，ya，za）及其方向數(shù)（a，b，c）定義，空間一點(diǎn)P（x，J，z）繞AB軸ppp旋轉(zhuǎn)角到p（xp,yp,zp）則可以通過(guò)下列步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)p點(diǎn)的旋轉(zhuǎn):將A點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)。使AB分別繞X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度與Z軸重合。將AB軸繞Z軸旋轉(zhuǎn)0角。作上述變換的逆操作，使AB回到原來(lái)位置。所以R(0)=T-1(X,y,z)R-1(a)R-1(P)R(0)R(P)R(a)T(x,y,z)

abaaaxyzyxaaa其中各個(gè)矩陣的形式參照上面所講的平移，選擇矩陣，而*,P分別是AB在YOZ平面與XOZ平面的投影與Z軸3.三維圖形變換理論3.1.三維圖形的幾何變換幾何變換是指應(yīng)用于對(duì)象幾何描述并改變它的位置、方向或大小的操作.三維圖形的幾何變換也稱三維幾何變換，是幾何變換在三維空間的應(yīng)用.由于幾何變換可以用緊湊的矩陣形式表達(dá)，這不僅使得平移、縮放、旋轉(zhuǎn)等變換變得更加容易，還使得一系列的幾何變換可以很容易地結(jié)合起來(lái)構(gòu)成1個(gè)新的變換.三維幾何變換均可以用1個(gè)4X4的變換矩陣abcp-—defq9h■ir-ImnsJT描述，其變換矩陣為式中：a，b，C，P，d，e，f，q，g，h，i，，￡，m，，8為矩陣T的元素式(1)可從功能上分為以下部分：ahc-idef(1)3X3子陣頃*，，可以產(chǎn)生比例、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切及對(duì)稱等變換.⑵1X3行陣［l，m，n］可以產(chǎn)生沿X，Y，Z軸的平移變換._r3X1列陣可以產(chǎn)生透視變換元素8產(chǎn)生整體的比例變換3.2組合三維幾何變換4.2.1.1初等三維變換式(1)是1個(gè)十分有用的變換矩陣，它可以描述三維空問(wèn)的各種變換，但直接使用卻十分困難.不如先分析平移、

縮放、旋轉(zhuǎn)等初等三維變換矩陣.對(duì)初等三維變換矩陣進(jìn)行組合，就得到了組合三維變換矩陣，從而實(shí)現(xiàn)一般性的三維幾何變換.下面是幾個(gè)重要的初等三維變換矩陣：「］0D0-10Cl(T01000cs0P二,JL(ce)-01()-yc0mnLJO001-~c0-i3(T-cs0(r0100-sc()0R心）50c00010(2)_0001000L式中：P為平移矩陣，矩陣中1,m,n分別為沿x,y,z軸的平移量;矩陣分別為繞