等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用等差數(shù)列的常用性質(zhì)：（1）m,n,p,r￡N*,若m+n=p+r,則有.⑵｛aj是等差數(shù)列，貝'J｛akn｝（keN%k為常數(shù)）是數(shù)列.⑶S,S-S,S?-S9構(gòu)成數(shù)列.n2nn3n2n在等差數(shù)列中，求Sn的最大（小）值，關(guān)鍵是找出某一項(xiàng)，使這一項(xiàng)及它前面的項(xiàng)皆取正（負(fù)）值或0,而它后面的各項(xiàng)皆取負(fù)（正）值.⑴a>0,d<0時(shí),解不等式組P'n-°可解得S達(dá)到最值時(shí)n的值.1U?+i<0n⑵罕0,d>0時(shí)，解不等式組｛]可解得Sn達(dá)到最小值時(shí)n的值.等比數(shù)列的常用性質(zhì)：（1）m,n,p,r￡N*,若m+n=p+r,則有.⑵｛a｝是等比數(shù)列,則｛a2｝、｛工｝是數(shù)列.nnan⑶若S約，貝I]S,S-s,Sq-s構(gòu)成數(shù)列.nn2nn3n2n求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般有下列幾種方法：（1）.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：S==.n.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:當(dāng)q=l時(shí)，S=.n當(dāng)q紂時(shí)，Sn=..倒序相加法：將一個(gè)數(shù)列倒過來排列與原數(shù)列相加.主要用于倒序相加后對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和有公因子可提的數(shù)列求和..錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.例1.數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S,且a=1,a-S,n=l,2,3......nn1n-fl3n求：(l)a、a、a的值及｛a｝的通項(xiàng)公式;234n(2)a+a+a+...+a的值.2462n解析：⑴由a=1,a=^S,n=l,2,3,...得a=-S=-a=-,aTOC\o"1-5"\h\z1n+l3n2313133=[S=』(a+a)=4,a=』S=1(a+a+a)=—23129433312327由a—a=-(S—S)=-a(n>2),得a=-a(n>2),又a=-,.*.an+1n311n—13nn+13n23n=-?(-)n-2(n>2)331n=l｛a｝通項(xiàng)公式為a=Ji4nn?()〃-2n>2⑵由⑴可知a,、a....a?是首項(xiàng)為」，公比為(4)2,項(xiàng)數(shù)為n的等比數(shù)列.TOC\o"1-5"\h\z242n331IT；"a+a+a+...+a=-x——2462no4」1=3“)2n—1]73變式訓(xùn)練1.設(shè)數(shù)列"｝的前"項(xiàng)的和S=3。-—x2?+i+—,nn3?33n=1,2,3......求首項(xiàng)。與通項(xiàng)。o1n12解析：⑴偵「3。廣3妃2+3,解得：“廣2a=S—S=〃+1〃+1n4—ci3〃，〃+2—2〃+i）=0〃+1+2?+i=4Cz+2”n所以數(shù)列，+2〃nb1、rQ+2〃=0+21所以：〃1是公比為4的等比數(shù)列得：。廣4—2”（其中n為正整數(shù)例2?已知數(shù)fl+-Lfl+-+-\fl+-+-+-^-?[1+-+a=S—S=〃+1〃+1n4—ci3〃，〃+2—2〃+i）=0〃+1+2?+i=4Cz+2”n所以數(shù)列，+2〃nb1、rQ+2〃=0+21所以：〃1是公比為4的等比數(shù)列n解：a=1+上+』+……+」一n242卜11———2〃—I-12(1)=21-一1———2〃—I-12(1)=21-一"2〃).'.a=2—12〃T則原數(shù)列可以表示為:(1、(1、(i、(2—1),2-1，2-，2-L2)L22；L23J2〃t)前n項(xiàng)和S=(2—1)+，2-上］+「2-—+...+(2-nV22J、=2n-fi+-+—+，.，+—"2222〃t)=2n—2"=2n—2i-2〃t)1--I2?J2=+2n—22〃-11111TOC\o"1-5"\h\z變式訓(xùn)練2擻列l(wèi)-,2-,3-,4—n項(xiàng)的和為（）248161+n1"2+〃.n_1_1A1D.十十L2〃22〃21n—+n1-nc.-一+D.+2〃22〃+i2TOC\o"1-5"\h\z答案:B。解析：S=l+2+3+4---+n+~+~???+—=n^n+^+1-—n2222?2In例3.求S=1+口一+」一+...+.n1+21+2+31+2+3+...+〃TOC\o"1-5"\h\z解：?/a=1=2n1+2+3++〃71（71+1）=2（【一Jn〃+1S=2（1一』+』一【+...+[一口一）=直n223nzi+1〃+l變式訓(xùn)練3：數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式是a=1—,若前n項(xiàng)之和為10,n口膈+"則項(xiàng)數(shù)n為（）\o"CurrentDocument"A.11B.99C.120D.121解：C.an=,1；=」扁-也，°4〃+*〃+1???Sn=、，〃+1—1，由、質(zhì)+1—1=10，..?J〃+l=11,/.n=ll總結(jié)：在三個(gè)數(shù)成等差（或等比）時(shí)，可用等差（或等比）中項(xiàng)公式；在三個(gè)以上的數(shù)成等差（或等比）時(shí)，可用性質(zhì)：m、n、p、r￡N*,若m+n=p+r,則a+a=a+a（或a-a=a-a）進(jìn)行解答.mnprmnPr若a、b、c成等差（或等比）數(shù)如則有2b