2021年-考研數(shù)學(xué)二真題與解析

*歐陽(yáng)光明*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.07*歐陽(yáng)光明*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.072014年考研數(shù)學(xué)二真題與解析歐陽(yáng)光明（2021.03.07）一、選擇題1—8小題．每小題4分，共32分．1x0ln(12x)cosx)x高階的無(wú)窮小，則的可能取值范圍是（）1 1（A）(2,) （B）（C）(2

（D）(0,2)1(1cosx)~

1 2x 21【詳解】ln2x)~2x

，是階無(wú)窮小， 2 是 階121無(wú)窮小，由題意可知所以的可能取值范圍是(1,2)，應(yīng)該選（B）．2．下列曲線有漸近線的是（A）yxsinx （B）yx2sinx（C）

yx

1x （D）1yx2sinx

yx

limy1 lim(yx)limsin10【詳解】對(duì)于yx應(yīng)該選（C）

x，可知xx 且x

x x ，所3．設(shè)函數(shù)fx)具有二階導(dǎo)數(shù)，gx)f(0)(1xfx，則在上（）（A）當(dāng)f'(x)0時(shí)，f(x)g(x) （B）當(dāng)f'(x)0時(shí)，f(x)g(x)（C）fx)0fxgx)（D）fx)0f(x)g(x)【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法．【1】如果對(duì)曲線在區(qū)間[abgx)f(0)(1xfx就是聯(lián)接(0,f(0)),(1,f兩點(diǎn)的直線方程．fx)0時(shí)，曲線是凹的，也就是f(x)g(x)，應(yīng)該選（D）【詳解2】如果對(duì)曲線在區(qū)間[a,b]上凹凸的定義不熟悉的話，可令Fx)fxgx)fxf(0)(1xfx，則F(0)F0，且Fx)fx)fx)0時(shí)，曲線是凹的，從而Fx)F(0)F0，即Fx)fxgx)0fx)gx，應(yīng)該選（D）xt27,曲線yt24t1上對(duì)應(yīng)于t1的點(diǎn)處的曲率半徑是（）1010（Ａ）501010

（Ｂ）100(Ｃ）10

（Ｄ）51010y"(11010y"(1y'2)3【詳解】曲線在點(diǎn)(x,f(x))處的曲率公式1

，曲率半徑RK．dx2t,dy

2t4

dy

2t

1

d2y

2 1t2本題中dt dt

dx

2t t，dx2 2t t3，K對(duì)應(yīng)于t1的點(diǎn)處y'3,y"1，所以1

1y"(y"(1y'2)31010，曲率半10R 1010徑 K ．應(yīng)該選（C）

2x0f(x)arctanx，若f(x)xf'()，則limx2x0（Ａ）1

2 1（Ｂ）3（Ｃ）2

1（Ｄ）3【詳解】注意（1 ）

f'(x)

11x2 ，（2 ）1x時(shí),arctanxx3x3ox3．

f'() 1

f(x)arctanx由于f(x)xf'() ．所以可知xarctanx

12

x x ，2

(arctanx)2，2lim

lim

xarxtanx

x(x

13x3)o(x3) 1x0x2

x0

x(arctanx)2 x0 x3 3．設(shè)ux,y在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連2u0 2u

2u0續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足xy 及x2

y2

，則（ ）．ux,yD的邊界上；ux,yD的內(nèi)部；ux,yDD的邊界上；ux,yDD界上．【詳解】ux,y)D上連續(xù)，所以u(píng)x,yD內(nèi)必然有最大值和最小值．并且如果在內(nèi)部存在駐點(diǎn) (x0,y0)，也就是u u 2u 2u 2u 2uxy0

，在這個(gè)點(diǎn)處

Ax2

,C

y2

,Bxyyx

，由條件，顯ACB

0，顯然u(x,y)不是極值點(diǎn)，當(dāng)然也不是最值點(diǎn)，所以u(píng)(x,y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上．所以應(yīng)該選（A）．0 a b 0a 0 0 b

0 c d 0c 0 0 d等于（Aa2d2b2c2

(adbc)2

（B）(adbc)2

（C）a2d

b2c

（D）【詳解】應(yīng)該選（B）．1 2 3 1 設(shè),, 是三維向量，則對(duì)任意的常數(shù)k,l，向量k1 2 3 1 2 1 2 l線性無(wú)關(guān)是向量2 1 2 （A）必要而非充分條件 （B）充分而非必要條件（C）充分必要條件（D）非充分非必要條件1 2 【詳解】若向量,,1 2 1 0,

,0 1

,,)K( (

1 2 3

1 2 3（1 k 3，

2l 3）

k l

，對(duì)任意的常數(shù)1 3 2 k,l，矩陣K的秩都等于2，所以向量k， l1 3 2 關(guān)．31 0 030,

1,

0 1

而當(dāng) 0 0 0

時(shí)，對(duì)任意的常數(shù)k,l，向量1

k 3，2 3 1 2 l線性無(wú)關(guān)，但,,線性相關(guān)；故選擇（A2 3 1 2 二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）19．【

1dxx22x5 ．詳 解 】1 1 1

dx 1 x1 1 dx

arctan ( )x22x5

(x1)24 2 2 24 2 8 ．10fx為周期為4fxxxf(7)．【詳解】當(dāng)x時(shí)，f(x) 2(xx22xC，由f(0)0可知C0 ，即f(x)x

2x ；f(x) 為周期為4 奇函數(shù)，故f(7)f(1)f1．設(shè)zzx,y

e2yzxy2z

7 dz4確定的函數(shù)，則

22．1,122． 【 詳 解 】 設(shè)

7F(x,y,z)e2yzxy2z4 ，F(xiàn) Fx

2ze2

2y,Fz

2ye2

11 ，當(dāng)xy2

時(shí)，z0 ，z F 1 xFF

z

1 dz|

1 1x F

2y F 2，所以

11,22,

2dx

2dy．z z (r,),Lr程為．

L在點(diǎn)

2 2 xr()coscosy y )sin sin【詳解】先把曲線方程化為參數(shù)方程

，于是在2

x0,y2 ，

dy| dx2

sincossin

2| 2

，則L 在點(diǎn)(r,)

, 2 2 2 2 y (x0) y x . 處的切線方程為 2 ，即 213．一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于x軸的區(qū)間 上，(x)x22x1，則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)x．1x(x)dxx 0

1(x0

2x2

x)dx

1112 1151(xdx 1(x22xdx 20【詳解】質(zhì)心坐標(biāo) 0 0 3 ．14．設(shè)二次型

f(x,

,x)x2x2

2axx

4x

的負(fù)慣性指數(shù)是1，1 2 3 1 2 1 3 2 3則a的取值范圍是．【詳解】由配方法可知由于負(fù)慣性指數(shù)為14a20a的取值范圍是2,2．三、解答題15．（本題滿分10分）lim

1x(t2(et1

t)dt1求極限

x

x2 )x ．【分析】．先用等價(jià)無(wú)窮小代換簡(jiǎn)化分母，然后利用洛必達(dá)法則求未定型極限．【詳解】16．（本題滿分10分）已知函數(shù)

yyx)x

y2y'1y'，且y(2)0，求y(x)的極大值和極小值．【詳解】(1y2)dy1x2解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得到 dx ，這是一個(gè)可分離變1 1 23y3yx3x3Cy(2)0得C3，1 1 2即3y3yx3x33．dy1x20

d2y

2y2)22x2)2令dx 1y2

x1dx2

y2)3 ；x1y1y"10y1；x1y0y"20y0．17．（10分） 設(shè)平面區(qū)域D(x,y)|1x2y24,x0.y xxsin( x2y2)

．計(jì)算xyD

dxdy【詳解】由對(duì)稱性可得18．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)f(u) 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，zf(excosy) 滿足2z 2z(4zexcosy)e2xx2 y2 f(0)0,f'(0)0f(u的表達(dá)式．【詳解】設(shè)uexcosy，則zf(u)f(excosy，zf'(u)excosy,x

2zx2

f"(u)e2xcos2yf'(u)excosy;zf'(u)exsiny,y

2y2

f"(u)e2xsin2yf'(u)excosy；2z

2z

(4zexcosy)e2x由條件x2 y2 ，可知這是一個(gè)二階常用系數(shù)線性非齊次方程．對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：1 1 f(u)Ce2uCe2u其中1 1 1對(duì)應(yīng)非齊次方程特解可求得為

y* u4 ．故非齊次方程通解為

f(u)Ce2uC1

e2u1u4 ．C 1,C 1將初始條件f(0)0,f'(0)0代入，可得1 16

2 16．f(u

f(u)

116e

1e2u16

1u4 ．19．（本題滿分10分）fxgx在區(qū)間fx)單調(diào)增加，

0g(x)1，證明：0

xg(t)dtxa,xa,b（1）（2）

aabg(t)aa

；．f(xdxbf(x)g(xdx．a(chǎn)【詳解】證明：因?yàn)?g(x)1，所以x0dxxg(t)dtxb0xg(t)dtxa,xb

a a a ．即 a ．F(x)xf(u)g(uduaxg(t)dtf(udua，a令 aa，aF'(x)f(x)g(x)g(x)faxg(tdt則可知F(a0，且0xg(tdtxa,因?yàn)?a

a ，且f(x)單調(diào)增加，faxg(tdtf(axa)f(x)所以 a ．從而F'(x)f(x)g(x)g(x)faxg(tdtf(x)g(x)g(x)f(x)0 a ，xa,b也是Fx在單調(diào)增加，則F(b)F(a)0，即得到abg(t)aa20．（本題滿分11分）f(x) x ,x

f(xdxbf(x)g(xdx．a(chǎn)．設(shè)函數(shù)

1x ，定義函數(shù)列， f(x)f(x) f(x)f(f(x)) ,f(x)f(f (x)),， 1 2 1 n n1n設(shè)Sn是曲線yf(x)，直線xy0所圍圖形的面積．求極限nlimnSn n．【詳解】f(x)

x ,

(x)

f(x)1

x 1x x11 1x 21

1

(x)

1 x

12x

(x)

x ,1x ，f(x) x .

13x ，利用數(shù)學(xué)歸納法可得n

1nxS 1

(xdx1

x dx

111

1)dx

1(1ln(1n))n 0 nlimnS lim1

01nx n0ln(1n)1

1nx n n ，n n n

n ．21．（本題滿分11分）f2(y1)已知函數(shù)

f(x,y)滿足y ，

f(y,y)(y

(2ylny，求曲fx,y)0y1旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．【詳解】由于函數(shù)f(x,y)滿足

f2(y1)y ，所以

f(x,y)y

2yC(x)

，其中Cx為待定的連續(xù)函數(shù)．又因?yàn)?/p>

fyyy1)2(2ylny，從而可知Cy1(2ylny，fxyy22yCxy22y1(2xlnx．1fxy0，可得y1)2(2xlnxy1x1

1,x2

2．fx,y)0y1旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為22．（本題滿分11分）1 2 3 4 A0 1 1 11 2 0 3設(shè) ，E為三階單位矩陣．AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系；（2）

求滿足ABE的所有矩陣．【詳解】（1）對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換如下：1123412341234100101110111011101021 2

0 3

0 4 3

0 0

1 3

0 0 1 3 ，

AX0

1 211 31AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系

．

x y z xB 2

1 1y z 2 2B矩陣是一個(gè)43矩陣，設(shè)對(duì)矩陣(AE)由方程組可得矩陣B對(duì)應(yīng)的三列分別為

x 3x4

y z3 3y4 z4x 2 1

y 6 1

z 1 1 1

1

1 x21

2

y23

2

z2

1c

2x 1 13 y 4