高一立體幾何平行垂直解答題

高一立體幾何平行垂直解答題高一立體幾何平行垂直解答題高一立體幾何平行垂直解答題標準文檔高一立體幾何平行、垂直解答題精選1．已知直三棱柱ABC-A1B1C1，點N在AC上且CN=3AN，點M，P，Q分別是AA1，A1B1，BC的中點.求證：直線PQ∥平面BMN.2．如圖，在正方形ABCD－ABCD中，E，F(xiàn)，M分別是棱BC，BB，CD的中點，可否存在過點E，M且與平111111111面A1FC平行的平面？若存在，請作出并證明；若不存在，請說明原由.3．在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，O分別是A1B,BD的中點.1）求證：OM//平面AA1D1D；2）求證：OMBC1.4．如圖，AB為圓O的直徑，點E,F在圓O上，且AB//EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面垂直，且ADEFAF1,AB2.合用文案標準文檔（1）求證：平面AFC平面CBF；（2）在線段CF上可否存在了點M，使得OM//平面ADF？并說明原由.5．已知：正三棱柱ABCA1B1C1中，AA13，AB2，N為棱AB的中點．1）求證：AC1平面NB1C．2）求證：平面CNB1平面ABB1A1．3）求四棱錐C1ANB1A1的體積．6．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且AEAF(01).ACAD1）求證：不論為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；2）當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD?7．如圖，在菱形ABCD中，ABC60,AC與BD訂交于點O，AE平面ABCD，CF//AE,ABAE2.合用文案標準文檔（I）求證：BD平面ACFE；（II）當直線FO與平面ABCD所成的角的余弦值為10時，求證：EFBE；10（III）在（II）的條件下，求異面直線OF與DE所成的余弦值.8．如圖，四棱錐PABCD中，AD//BC，AD2BC4，AB23，BAD900，M,O分別為CD和AC的中點，PO平面ABCD.（1）求證：平面PBM平面PAC；（2）可否存在線段PM上一點N，使用ON//平面PAB，若存在，求PN的值；若是不存在，說明原由.PM9．如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，BAD60,N是PB的中點，過A,D,N三點的平面交PC于M，E為AD的中點，求證：1）EN//平面PDC；（2）BC平面PEB；3）平面PBC平面ADMN.如圖，四棱錐PABCD中，PD平面PAB，AD//BC，10．BCCD1AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PD的中點.2CE//平面PAB；（Ⅰ）求證：（Ⅱ）求證：PD平面CEF；（Ⅲ）寫出三棱錐DCEF與三棱錐PABD的體積之比.（結(jié)論不要求證明）合用文案標準文檔11．如圖，點P是菱形ABCD所在平面外一點，BAD60，PCD是等邊三角形，AB2，PA22，M是PC的中點.（Ⅰ）求證：PA平面BDM；（Ⅱ）求證：平面PAC平面BDM；（Ⅲ）求直線BC與平面BDM的所成角的大小.12．在四棱錐ABCDE中，底面BCDE為菱形，側(cè)面ABE為等邊三角形，且側(cè)面ABE底面BCDE，O，F(xiàn)分別為BE，DE的中點.（Ⅰ）求證：AOCD.（Ⅱ）求證：平面AOF平面ACE.（Ⅲ）側(cè)棱AC上可否存在點P，使得BP平面AOF？若存在，求出AP的值；若不存在，請說明原由.PC13．在四棱錐PABCD中，側(cè)面PCD底面ABCD，PDCD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，ADC90，ABADPD1，CD2．（1）求證：BE//平面PAD；P（2）求證：BC平面PBD；（3）在線段PC上可否存在一點Q，使得二面角QBDP為45？E若存在,求PQ的值；若不存在，請述明原由．DPCCAB合用文案標準文檔參照答案1．見解析【解析】試題解析：依照題目給出的P，Q分別是A1B1，BC的中點，想到取AB的中點G，連接PG，QG后分別交BM，BN于點E，F(xiàn)，依照題目給出的線段的長及線段之間的關(guān)系證出GEGF=1，進而獲取EF∥PQ，爾后利用線面平行的判斷即可得證；=EPFQ3試題解析：如圖，取AB中點G，連接PG，QG分別交BM，BN于點E，F(xiàn)，則E，F(xiàn)分別為BM，BN的中點.而GE∥1AM，GE=1AM，GF∥1AN，GF=1AN，且CN=3AN，因此GE=1，GF=AN=1，因此GE=GF=1，2222EP3FQNC3EPFQ3因此EF∥PQ，又EF?平面BMN，PQ?平面BMN，因此PQ∥平面BMN.2．詳見解析.【解析】試題解析:由正方體的特色及N為1的中點，可知平面1與直線1訂交，且交點為1的中點BBAFCDDDDG.若過M，E的平面α與平面AFCG平行，注意到EM∥BD∥FG，則平面α必與CC訂交于點N，結(jié)合M，E1111為棱C1D1，B1C1的中點，易知C1N∶C1C＝1.于是平面EMN滿足要求．4試題解析:如圖，設N是棱C1C上的一點，且C1N＝C1C時，平面EMN過點E，M且與平面A1FC平行．證明以下：設H為棱C1C的中點，連接B1H，D1H.C1N＝C1C，C1N＝C1H.又E為B1C1的中點，∴EN∥B1H.又CF∥B1H，EN∥CF.合用文案標準文檔又EN?平面A1FC，CF?平面A1FC，∴EN∥平面A1FC.同理MN∥D1H，D1H∥A1F，MN∥A1F.又MN?平面A1FC，A1F?平面A1FC，∴MN∥平面A1FC.又EN∩MN＝N，∴平面EMN∥平面A1.FC點睛:本題觀察線面平行的判判定理和面面平行的判判定理的綜合應用,屬于中檔題.直線和平面平行的判斷定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行;平面與平面平行的判判定理：一個平面內(nèi)的兩條訂交直線與另一個平面分別平行，則這兩個平面平行．3．（1）見解析（2）見解析【解析】試題解析：（1）連接A1D，AD1，由M，O分別是A1B，BD的中點可證OM∥A1D，即可證明OM∥平面AA1D1D；（2）由D1C1∥AB且D1C1AB可證D1C1BA為平行四邊形，即可證AD1∥BC1，再依照A1DAD1即可證明OMBC1.試題解析：（1）連接A1D，AD1，由于M，O分別是A1B，BD的中點，因此OM∥A1D，且A1D平面AA1D1D，因此OM∥平面AA1D1D（2）由題意D1C1∥AB且D1C1AB，因此D1C1BA為平行四邊形，因此AD1∥BC1，由（Ⅰ）OM∥A1D，且A1DAD1，因此OMBC1合用文案標準文檔4．（1）證明見解析；（2）存在，見解析；【解析】試題解析：（1）要證明平面AFC平面CBF，只要證AF平面CBF，則只要證AFCB,AFBF,再依照題目條件分別證明即可；（2）第一猜想存在CF的中點M滿足OM//平面ADF，作輔助線，經(jīng)過OM//AN，由線面平行的判判定理，證明OM//平面ADF。試題解析：解：（1）由于平面ABCD平面ABEF,CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，因此CB平面ABEF，由于AF平面ABEF，因此AFCB,又AB為圓O的直徑，因此AFBF,由于由于

CBBFB，因此AF平面CBF，AF平面AFC，因此平面AFC平面CBF.（2）如圖，取CF的中點M,DF的中點NA，連接N,MN,OM，則MN//CD,MN1，CD2又AO//CD,AO1AO，CD，因此MN//AO,MN2因此四邊形MNAO為平行四邊形，因此OM//AN，又AN平面DAF,OM平面DAF，因此OM//平面DAF，即存在一點M為CF的中點，使得OM//平面DAF.5．（1）見解析；（2）見解析；（3）33．2【解析】試題解析：（1）要證線面平行，就是要證線線平行，考慮過直線AC1的平面AC1B與平面CB1N的交線ON（其中O是BC1與B1C的交點），而由中位線定理易得AC1//ON，進而得線面平行；（2）由于ABC是正三角形，因此有CNAB，進而只要再證CN與平面ABB1A1內(nèi)另一條直線垂直即可，這可由正棱柱的側(cè)棱與底面垂直獲取，進而得線面垂直，于是有面面垂直；（3）要求四棱錐的體積，由正三棱柱的性質(zhì)知A1B1C1中，邊A1B1的高就是四棱錐的高，再求得四邊形合用文案標準文檔ANB1A1的面積，即可得體積．試題解析：1）證明：連接BC1，交B1C于O點，連接NO，∵在ABC1中，，O分別是AB，BC1中點，NOAC1，∵NO平面NCB1，AC1平面NCB1，AC1平面NCB1，（2）證明：∵在等邊ABC中，是棱AB中點，CNAB，又∵在正三棱柱中，BB1平面ABC，CN平面ABC，BB1CN，ABBB1B點，AB，BB1平面ABB1A1，∴CN平面ABB1A1，∵CN平面CNB1，∴平面CNB1平面ABB1A1．（3）作C1DA1B1于D點，C1D是四棱錐C1ANB1A1高，13，hABtan602139底面積S321，22合用文案VCANBA111

標準文檔Sh33．32【點睛】(1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判判定理.已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)變，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)變成線面垂直，爾后進一步轉(zhuǎn)變成線線垂直.66．（1）見解析（2）λ＝7【解析】(1)證明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.∵AEAF＝λ(0＜λ＜1)，ACAD∴不論λ為何值，恒有EF∥CD.EF⊥平面ABC，EF平面BEF.∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)解：由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，AB＝2tan60°＝6.AC＝AB2＋BC2＝7.由AB2＝AE·AC，得AE＝6.∴λ＝AE＝6.7AC7故當λ＝6時，平面BEF⊥平面ACD77．（I）見解析；（II）見解析；（III）5．4【解析】試題解析：（I）要證BD與平面ACFE垂直，只要證BD與平面ACFE內(nèi)兩條訂交直線垂直即可，這由已知線面垂直可得一個，又由菱形對角線垂直又得一個，由此可證；（II）由已知線面垂直得FC平面ACFE，進而知FOC為直線FO與平面ACFE所成的角，進而可得FC,FO，爾后計算出三線段EF,BE,BF的長，由勾股定理逆定理可得垂直；III）取BE中點M，則有MO//DE，進而可得異面直線所成的角，再解相應三角形可得．試題解析：合用文案標準文檔（I）BD平面ACFEBDAC菱形ABCD；{AEAE平面ABCDBD（II）FC平面ABCD直線FC與平面ABCD所成的角FOCcosFOC10而且RtFOC10中，CO1FO10,FC3，過E作EN//AC交FC于點NRtFNE中EF5,RtFCB中FB13,RtEAB中EB8EF2EB2FB2EFEB；（III）取BE邊的中點M，連接MO,MO//DE且MO1DE2FOM為所求的角或其補角，2而在RtFEM中，F(xiàn)MEF2EM27RtFOM中cosFOMFO2MO2FM252FOMO4異面直線OF與DE所成的余弦值為5.48．（1）證明見解析；（2）1.3【解析】試題解析：（1）以A為原點建立空間直角坐標系Axyz，可得BM(3,3,0)，AC(23,2,0)，BMAC0，BMAC又BMPO得BM平面PAC，進而得結(jié)論；（2）設OPh，可得平面PAB的一個法向量為n(0,h,1)，再依照ONn2hhh0可解得.試題解析：（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系Axyz，B(23,0,0)，C(23,2,0)，，因此CD中點M(3,3)，則BM(30),，AC(23,2,0)，D(0,4,0)則BMAC(3)(23)320，因此BMAC.又PO平面ABCD，因此BMPO，由ACPOO，因此BM平面PAC，又BM平面PBM，因此平面PBM平面PAC.（2）法一：設OPh，則O(3,1,0)，P(3,1,h)，則PM(0,2,h)，合用文案標準文檔設平面PAB的一個法向量為n(x0,y0,z0)，AP(3,1,h)，AB(2,0,0)，nAP03x0y0hz00，令z01，因此nAB，則02x00得n(0,h,1)，設PNPM(0,2,h)(01)，則ONOPPN(0,2,hh)，若ON//平面PAB，則ONn2hhh0，解得1.3法二：（略解）：連接MO延長與AB交于點E，連接PE，若存在ON//平面PAB，則ON//PE，證明OE1即可.EM3考點：1、利用空間向量證明線面垂直、面面垂直；2、利用空間向量研究線面平行.9．（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】試題解析：(1)先證明四邊形EDMN是平行四邊形，得ENDM,DM平面PDC，進而可得結(jié)論；(2)先由面面垂直的性質(zhì)可得PEBC，再證BEAD，由ADBC可得BEBC，可得BC平面PEB；（3）由（2）可得PBMN，由等腰三角形性質(zhì)得PBAN，進而由面面垂直的判判定理得結(jié)論.試題解析：（1）AD//BC,ADADMN,BC平面ADMN,BC//平面ADMN,MN平面ADMN平面PBC,BC平面PBC，BC//MN,又因AD//BC,AD//MN,ED//MN，N是PB的中點，E是AD的中點，底面ABCD是邊長為2的菱形，EDMN1,四邊形EDMN是平行四邊形，合用文案標準文檔EN//DM,DM平面PDC,EN//平面PDC；（2）側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，E為AD的中點，PEAD,PEEB,PEBC,BAD60,AB2,AE1,由余弦定理可得BE3，由正弦定理可得：BEAD由AD//BC可得BEBC,BEPEE,BC平面PEB；由（2）知BC平面PEB，EN平面PEBBCEN,PBBC,PBAD,PBMN,APAB2,N是PB的中點，PBAN,MNANN,?PB平面ADMN.平面PBC平面ADMN.【方法點晴】本題主要觀察線面平行的判判定理、線面垂直的判判定理及面面垂直的判判定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判判定理，使用這個定理的要點是想法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特色，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)也許構(gòu)造平行四邊形、搜尋比率式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.本題（1）是就是利用方法①證明的.VDCEF110．（1）見解析（2）見解析（3）4VPABD【解析】試題解析：（Ⅰ）要證線面平行，就要證線線平行，在四邊形ABCD中，由已知可得AE與BC平行且相等，進而得平行四邊形，因此有CE//AB，因可得線面平行；（Ⅱ）要證PD與平面CEF垂直，就要證PD與此平面內(nèi)兩條訂交直線垂直，而已知PD與平面PAB垂直，因此PD與平面PAB內(nèi)所有直線垂直，現(xiàn)在已有CE//AB，因此有PDCE，再有，E,F是所在線段中點，因此有EF//PA，進而也可得PDEF，這樣可得題設線面垂直；（Ⅲ）都改為以D為極點，則底面積比為1，高的比也是1，因此體積比為1．224試題解析：合用文案標準文檔（Ⅰ）證明：由于BC//AD，BC1AD，E為線段AD的中點，2因此AE//BC且AEBC，因此四邊形ABCE為平行四邊形，因此CE//AB，又有AB平面PAB，CE平面PAB，因此CE//平面PAB．（Ⅱ）證明：由于E，F(xiàn)分別為線段AD，PD中點，因此EF//PA，又由于PD平面PAB，PA,AB平面PAB，因此PDAB，PDPA；因此PDEF，又CE//AB，因此PDCE由于EFCEE，因此PD平面CEF．（III）結(jié)論：VDCEF1VP．ABD411．（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）.6【解析】試題解析：（Ⅰ）要證明PA與平面MDB平行，只要找到一條平行線，由于M是PC中點，AC與BD的交點O是AC中點，則必有PA//MO，進而有線面平行；（Ⅱ）要證面面垂直，就要證線面垂直，從圖形中知BDAC，在MBD，計算后可得BDMO，進而BOPA于是有線面垂直，進而得面面垂直；（Ⅲ）易證PC平面BDM，進而知BM為BC在平面BDM內(nèi)的射影，因此CBM就是直線BC與平面BDM所成的角，在CBM中求解可得．試題解析：（Ⅰ）證明：連接MO.在菱形ABCD中，O為AC中點，且點M為PC中點，因此MO//A，又MO平面BDM，PA平面BDM.因此PA//平面BDM（Ⅱ）證明：在等邊三角形PCD中，DCAB2，M是PC的中點，因此DM3.在菱形ABCD中，BAD60，AB2，合用文案標準文檔因此DO11.BD2又MO2，因此DO2MO2DM2，因此BDMO.在菱形ABCD中，BDAC.又ACMOO，因此BD平面PAC.又BD平面BDM，因此平面PAC平面BDM.（Ⅲ）由于BD平面PAC，PC平面PAC，因此BDPC又由于PDDC，M為PC中點，因此DMPC又DMBDD，因此PC平面BDM，則BM為直線BC在平面BDM內(nèi)的射影，因此平面CBM為直線BC與平面BDM的所成角由于PC2，因此CM1，在RtCBM中，sinCBMCM1，因此CBMBC26因此直線BC與平面BDM的所成角為.6AP112．(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)側(cè)棱AC上存在點P，使得BP平面AOF，且PC．2【解析】試題解析：（1）要證A1OCE，只要證明A1O平面BCDE即可；（2）連接BD,由于四邊形BCDE為菱形，因此CEBD,由于O,F分別為BE,DE的中點，因此OF//BD，且CEOF，由（1）知AO平面BCDE,進而證得CE平面AOF，進而證的平面AOF平面ACE；（3）設CE與BD,OF的交點分別為M,N連接AN,PM，由于四邊形BCDE為菱形，O,F分別為BE,DE的中點，因此NM1，設PAPNM1MC2為AC上湊近A點三均分點，則，因此進而獲取BP//平面AOF．PCMC2PM//AN,試題解析：解：（1）由于ABE為等邊三角形,O為BE的中點,因此AOBE又由于平面ABE平面BCDE,平面ABE平面BCDEBE,AO平面ABE,因此AO平面BCDE,又由于CD平面BCDE,因此AOCD.（2）連接BD,由于四邊形BCDE為菱形，因此CEBD,由于O,F分別為BE,DE的中點,因此OFBD,CEOF，由（1）知AO平面BCDE,CE平面BCDE,AOCE,AOOFO,CE平面AOF,合用文案標準文檔又由于CE平面ACE,因此平面AOF平面ACE.（3）當點P為AC上的三均分點（湊近A點）時,BP平面AOF.證明以下：設CE與BD,OF的交點分別為M,N連接AN,PM.由于四邊形BCDE為菱形,NM1O,F分別為BE,DE的中點,因此,設P為AC上湊近A點三均分點，則APNM1MC2,因此PMAN,由于AN平面AOF,PM平面PCMC2AOF,PM平面AOF.由于BDOF,OF平面AOF,BD平面AOF,BD平面AOF,即BM平面AOF,BMPMM,因此平面BMP平面AOF,BP平面BMP,BP平面AOF.可見側(cè)棱AC上存在點P,使得BP平面AOF,且AP1.PC2考點：直線與平面垂直的判斷與證明；研究性問題的求解.PQ1