行列式試題及答案

12nn112123nnijibc010(B)bbcabbcbc0acbcac12nn112123nnijibc010(B)bbcabbcbc0acbcacbc22(C)abbcbc(D)abbc2222213141421341412一選擇題(每小題分，共)⑴元排列iii經(jīng)過(guò)相鄰對(duì)換變?yōu)閕…ii則相對(duì)換的次數(shù)為()

x0⑽齊次線性方程組0只零解應(yīng)滿足的條3x件是()(B)(D)1n(B)n

(D)(-1)/22x1⑵在函數(shù)fx中，的系數(shù)是()1-(B)2(C)-4(D)⑶若D，則a)()

二填空(每小題3分，共15分)⑴在五階行列式中，aaa的符號(hào)是________53350000003⑵五階行列式003。0051

(B)(-1)

n

(D)(-

-1)

306⑷設(shè)

1

2

n

n

2

1

不可取下面的值是()

⑶設(shè)D

71147

，則++A。(A)7(B)+k(C)(k2)(D)17⑸下列行列式等于零的是()303

a⑷若ab是數(shù)，則當(dāng)a且=___時(shí)，有a0。21(B)(C)300(D)224011016⑹行列式非零的充分條件()D所有元素非零(B)D至少有n元素非零

x1⑸,x是方+q的列式3x2三計(jì)算行列每小題6分，共30分)

x2x1x3

x3xx1

。⑺

(C)D的任何兩行元素不成比(D)以D為系數(shù)矩陣的非齊次線性方程組有唯一解acb()

⑴

1122011

⑵

abcd

bca00aabac22222

⑶

x1111y11y

⑷

ccbccaabacabacabac2bcbcaccac1

⑸D

xxx

(ab)bc⑻設(shè),b,c兩兩不同ab的充要條件是()ac

四

證明題(每小題分，共20分)=0(B)a+b+c(C)a=1,b1,(D)=b

⑴用歸納法證明:任意一個(gè)由自然數(shù)1,2,…構(gòu)成的元排列a1

b1

定可以經(jīng)過(guò)不超過(guò)n次對(duì)換變成標(biāo)準(zhǔn)排列12n⑼四階行列式

b4

a2b3

b2a3

a

4

)

axby⑵設(shè)平面上三條不同的直線為bxcy，ay0(aa-bb)aa-b)(B)(-)(a-b)(C)-a)(-a)(D)(a-ab)(ab-)

證明:三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件

11232222222b4322b3213142442212312312223232411232222222b4322b3213142442212312312223232425354nrrr

0

30和

x取何值時(shí)，13有非零解？x

按列展開(kāi)(

12r12232115參考答案

0按4行展開(kāi)rr21220一、選擇⑴(D)

⑵

⑶

⑷(A)

⑸(D)

513

⑹(D)二、填空⑴-

⑺

⑻(B)

⑼(B)；⑽(D)

⑵

abd

aa2a22b2b2b2c22cd2d調(diào)換乘積中元素的位置，使行標(biāo)成標(biāo)準(zhǔn)排列aaa1224354153此時(shí)列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t，故該項(xiàng)帶負(fù)號(hào)。⑵013

，

accd

22b2222d2

00218307006

2

2

⑶

x11r111yr0111y111⑶-用1替原行列式中的第四列，按第四列展開(kāi)，有75

110行提取公因子11xy0115A+A+A=⑷=0,b

0431

r

11110xab0aa0a

a=0,=0

1yac⑸由題意知

k，2的

⑷n行列式

c按第一行展開(kāi)，得遞推公式c系數(shù)為(x)，與原方程比較，得k，++=0將行列式的第2,3加至第1行并對(duì)第1行提取公因子，得

DaDnx1

x2

x3

1

于是有DaD(

)

abcx3

x1

xxx)x

x1

x

bcDa()()abccx2

x3

x1

x2

x3

x1

bcDaabcabc三、計(jì)算

xx

x

aa110

⑸D

⑴

2230201

124

20302301

xbbxb

xax)11

ninnnnnn②nnn2222n1n1ninnnnnn②nnn2222n1n1-112-11222222

axab

00

由于三條直線不同，因此a,b能全部相等，故。充分性

xb

已，要證明下列非齊次線性方程組有唯一解。xa

bba1

(x)

bycycx

①

a1)D1

將前兩個(gè)方程相加，有(a))y)由ay，即第三個(gè)方程。c(i,n

a

xax

aax1

)D

因此，滿足前兩個(gè)方程的解一定滿足第三個(gè)方程(方程是多余方程)，去掉第三個(gè)方程，方程組①變?yōu)棰赽x得遞推公式D(x)x)D

①

1

其系數(shù)行列

bc

ac

ac)

D的轉(zhuǎn)置行列式相當(dāng)于將ab互換，于是有(D因?yàn)閍①-b)②-a，得

)[aa)]顯D[否則此得b-(a)=0D

aa

是直線方程矛盾]因此，方程組②亦即方程組①有唯一解，三條直線交于一點(diǎn)。四、證明⑴設(shè)元排列為ii…i。當(dāng)n=2，最多只需1次對(duì)換即可得標(biāo)準(zhǔn)排列，結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)排列成立，下面證明n排列也成立①若元素in。根據(jù)歸納法假設(shè)ii…i可經(jīng)過(guò)不超過(guò)n-1次對(duì)換變成12(n，亦即ii…ii可經(jīng)過(guò)不超過(guò)-1次對(duì)換(<n次)變成12…

五、解答齊次方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于零，即111rD1111