數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件

2.1.1邏輯函數(shù)的基本概念

邏輯是指事物因果之間所遵循的規(guī)律。為了避免用冗繁的文字來描述邏輯問題，邏輯代數(shù)將事物發(fā)生的原因（條件）和結(jié)果分別用邏輯變量和邏輯函數(shù)來描述。2.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算2.1.1邏輯函數(shù)的基本概念2.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算1邏輯變量與普通代數(shù)的變量相似，可以用A、B、C和x、y、z等字母來表示。所不同的是，普通代數(shù)中變量的取值可以是任意的，而邏輯代數(shù)的變量和常量取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，因而稱為二值邏輯。必須指出，這里的邏輯0和邏輯1并不表示數(shù)量的大小，而是代表事物矛盾雙方的兩種狀態(tài)，即兩種對立的邏輯狀態(tài)。例如，它們可以代表事件的真、偽，對、錯(cuò)，型號的有、無，開關(guān)的通、斷，電平的高、低等。邏輯變量與普通代數(shù)的變量相似，可以用A、B、C和x、y、2邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相似，它是隨著自變量的變化而變化的因變量。因此，如果用自變量和因變量分別表示某一事件發(fā)生的條件和結(jié)果，那么該事件的因果關(guān)系就可以用邏輯函數(shù)來描述。數(shù)字電路響應(yīng)輸入的方式稱為電路的邏輯，任何一個(gè)數(shù)字電路的輸出與輸入變量之間都存在一定的邏輯關(guān)系，并可以用邏輯函數(shù)來描述。例如，對于某電路，若輸入邏輯變量A、B、C、…的取值確定后，其輸出邏輯變量F的值也被唯一確定了，則可以稱F是A、B、C、…的邏輯函數(shù)，并記為F=f（A,B,C,…）。邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相似，它是隨著自變量的變化而變32.1.2三種基本邏輯運(yùn)算邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種，它們可以由相應(yīng)的邏輯門來實(shí)現(xiàn)。1.與運(yùn)算（邏輯乘）S1S2燈電源只有當(dāng)決定某一事件的條件全部具備時(shí)，這一事件才會(huì)發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為與邏輯關(guān)系。與邏輯舉例

電路狀態(tài)表2.1.2三種基本邏輯運(yùn)算S1S2燈電源只有當(dāng)決定某一事件4

邏輯真值表ABL001010110001與邏輯符號ABLS1S2燈電源ABL&與邏輯表達(dá)式：L=A·Ｂ=AB

真值表特點(diǎn):

任0則0,全1則1邏輯真值表ABL001010110001與邏輯5２、或運(yùn)算S1燈電源S2

或邏輯舉例

電路狀態(tài)表只要在決定某一事件的各種條件中，有一個(gè)或幾個(gè)條件具備時(shí)，這一事件就會(huì)發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為或邏輯關(guān)系。２、或運(yùn)算S1燈電源S2或邏輯舉例6

邏輯真值表ABL001010110111ABL或邏輯符號ABL≥1或邏輯表達(dá)式：L=A

+Ｂ特點(diǎn):任1則1,全0則0邏輯真值表ABL001010110111AB7非邏輯舉例狀態(tài)表A燈不通電亮通電滅3.非運(yùn)算事件發(fā)生的條件具備時(shí)，事件不會(huì)發(fā)生；事件發(fā)生的條件不具備時(shí)，事件發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為非邏輯關(guān)系。

或邏輯舉例AVNC

燈非邏輯舉例狀態(tài)表A燈不通電亮通電滅3.非運(yùn)算8AL011

非邏輯真值表0AL或邏輯符號AL1非邏輯表達(dá)式：

特點(diǎn):1則0,0則1AL011非邏輯真值表0AL或邏輯符號AL1非邏輯表92.2邏輯代數(shù)的基本定律和運(yùn)算規(guī)則2.2.1基本定律邏輯代數(shù)的基本定律如表2.2.1所示。2.2邏輯代數(shù)的基本定律和運(yùn)算規(guī)則10數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件11

1.變量和常量的關(guān)系

0-1律、自等律、重疊律和互補(bǔ)律都是屬于變量和常量的關(guān)系式。由于邏輯常量只有0、1兩種取值，因此邏輯變量與常量的運(yùn)算結(jié)果可直接根據(jù)三種基本邏輯運(yùn)算的定義推出。這些定律也稱為公理，可以用來證明其他公式。1.變量和常量的關(guān)系12

2.與普通代數(shù)相似的定律交換律、結(jié)合律、分配律的運(yùn)算法則與普通代數(shù)相似，但是分配律中A+BC=(A+B)(A+C)在普通代數(shù)中是不成立的。該定律稱為加對乘的分配律，可以采用公式法證明。證：(A+B)(A+C)=A·A+A·B+A·C+B·C=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC因此有

A+BC=(A+B)(A+C)2.與普通代數(shù)相似的定律13表2.2.2反演律證明

3.邏輯代數(shù)中的特殊定律反演律和還原律是邏輯代數(shù)中的特殊定律。反演律又稱為德·摩根（DeMorgan）定理，在邏輯代數(shù)中具有特殊重要的作用,它提供了一種變換邏輯表達(dá)式的方法，即可以將與運(yùn)算之非變成或運(yùn)算，將或運(yùn)算之非變成與運(yùn)算。反演律的正確性可以通過表2.2.2所示的真值表證明。表2.2.2反演律證明3.邏輯代數(shù)中的特殊定律142.2.2三個(gè)重要規(guī)則

1.代入規(guī)則任何一個(gè)邏輯等式，如果將等式兩邊所出現(xiàn)的某一變量都代之以同一邏輯函數(shù)，則等式仍然成立，這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。由于邏輯函數(shù)與邏輯變量一樣，只有0、1兩種取值，所以代入規(guī)則的正確性不難理解。運(yùn)用代入規(guī)則可以擴(kuò)大基本定律的運(yùn)用范圍。例如，已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中的B，則可以得到適用于多變量的反演律，即2.2.2三個(gè)重要規(guī)則152.反演規(guī)則對于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，如果將其表達(dá)式中所有的算符“·”換成“+”，“+”換成“·”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則所得到的結(jié)果就是。稱為原函數(shù)F的反函數(shù)，或稱為補(bǔ)函數(shù)。反演規(guī)則是反演律的推廣，運(yùn)用它可以簡便地求出一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。例如：若則

運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：①不能破壞原式的運(yùn)算順序——先算括號里的，然后按“先與后或”的原則運(yùn)算。②不屬于單變量上的非號應(yīng)保留不變。

2.反演規(guī)則若則運(yùn)用反演16保持原來的運(yùn)算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表達(dá)式中，AB之間先運(yùn)算，再和其它變量進(jìn)行運(yùn)算，那么非函數(shù)的表達(dá)式中，仍然是AB之間先運(yùn)算。保持原來的運(yùn)算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表達(dá)式中，AB之間先運(yùn)17對于反變量以外的非號應(yīng)保留不變對于反變量以外的非號應(yīng)保留不變183.對偶規(guī)則對于任何一個(gè)邏輯函數(shù)，如果將其表達(dá)式F中所有的算符“·”換成“+”,“+”換成“·”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則得出的邏輯函數(shù)式就是F的對偶式，記為F′(或F*)。例如：以上各例中F′是F的對偶式。不難證明F也是F′對偶式。即F與F′互為對偶式。3.對偶規(guī)則以上各例中F′是F的對偶式。不19

任何邏輯函數(shù)式都存在著對偶式。若原等式成立，則對偶式也一定成立。即，如果F=G,則F′=G′。這種邏輯推理叫做對偶原理，或?qū)ε家?guī)則。必須注意，由原式求對偶式時(shí)，運(yùn)算的優(yōu)先順序不能改變，且式中的非號也保持不變。觀察前面邏輯代數(shù)基本定律和公式，不難看出它們都是成對出現(xiàn)的，而且都是互為對偶的對偶式。任何邏輯函數(shù)式都存在著對偶式。若原等式成立20對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等212.2.3若干常用公式1.合并律

在邏輯代數(shù)中，如果兩個(gè)乘積項(xiàng)分別包含了互補(bǔ)的兩個(gè)因子(如B和B)，而其它因子都相同，那么這兩個(gè)乘積項(xiàng)稱為相鄰項(xiàng)。合并律說明，兩個(gè)相鄰項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，消去互補(bǔ)量。證：2.2.3若干常用公式1.合并律在邏輯22數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件232.吸收律A+AB=A

證： A+AB=A(1+B)=A·1=A

吸收律①說明，兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果一個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子（如AB項(xiàng)中的A）恰好等于另一乘積項(xiàng)（如A）的全部，則該乘積項(xiàng)（AB）是多余的，可以消去。

證：①

22.吸收律證：①224

該公式說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)乘積項(xiàng)(如A)取反后是另一個(gè)乘積項(xiàng)(如的因子，則此因子是多余的。

證：推論：

該公式及推論說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果兩個(gè)乘積項(xiàng)中的部分因子互補(bǔ)(如AB項(xiàng)和AC項(xiàng)中的A和A)，而這兩個(gè)乘積項(xiàng)中的其余因子(如B和C)都是第三個(gè)乘積項(xiàng)中的因子，則這個(gè)第三項(xiàng)是多余的。③該公式說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)乘積252.3復(fù)合邏輯和常用邏輯門

2.3.1復(fù)合邏輯運(yùn)算和復(fù)合門1.與非、或非、與或非邏輯運(yùn)算與非邏輯運(yùn)算是與運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，即或非邏輯運(yùn)算是或運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，即

與或非邏輯運(yùn)算是與、或、非三種運(yùn)算的組合，即2.3復(fù)合邏輯和常用邏輯門2.3.1復(fù)合邏輯運(yùn)算和復(fù)合26圖2.3.1與非門、或非門和與或非門的邏輯符號

圖2.3.1與非門、或非門和與或非門的邏輯符號27表2.3.1異或邏輯真值表2.異或和同或邏輯運(yùn)算異或邏輯的含義是：當(dāng)兩個(gè)輸入變量相異時(shí)，輸出為1；相同時(shí)輸出為0。是異或運(yùn)算的符號。異或運(yùn)算也稱模2加運(yùn)算。異或邏輯的真值表如表2-5所示，其邏輯表達(dá)式為表2.3.1異或邏輯真值表2.異或和同或28表2.3.2同或邏輯真值表表2.3.2同或邏輯真值表29圖2.3.2異或門和同或門的邏輯符號圖2.3.2異或門和同或門的邏輯符號30由定義和真值表可見，異或邏輯與同或邏輯互為反函數(shù)，即

不僅如此，它們還互為對偶式。如果，G=A⊙B，不難證明F′=G,G′=F。因此可以將“”作為“⊙”的對偶符號，反之亦然。由以上分析可以看出，兩變量的異或函數(shù)和同或函數(shù)既互補(bǔ)又對偶，這是一對特殊函數(shù)。由定義和真值表可見，異或邏輯與同或邏輯互為反函數(shù)，即31表2.3.3異或、同或運(yùn)算的常用公式

3．異或、同或運(yùn)算的常用公式

異或和同或運(yùn)算的常用公式如表2.3.3所示。表中的公式可以利用真值表或前面的公式證明。表2.3.3異或、同或運(yùn)算的常用公式3．異或、同或運(yùn)32數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件33圖2.3.3用異或門控制同相、反相輸出圖2.3.3用異或門控制同相、反相輸出342.3.2常用邏輯門及邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式

1．邏輯運(yùn)算符的完備性在邏輯代數(shù)中，與、或、非是三種最基本的邏輯運(yùn)算，用與、或、非三種運(yùn)算符和邏輯變量可以構(gòu)成任何邏輯函數(shù)，因此稱與、或、非邏輯運(yùn)算符是一組完備集。但是與、或、非三種運(yùn)算符并不是最好的完備集，因?yàn)橛盟鼘?shí)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)要使用三種不同規(guī)格的邏輯門。實(shí)際上由德·摩根定理可見，有了“與”和“非”便可得到“或”，有了“或”和“非”便可得到“與”，因此用“與非”、“或非”、“與或非”運(yùn)算中的任何一種都能單獨(dú)實(shí)現(xiàn)“與、或、非”運(yùn)算，這三種復(fù)合運(yùn)算每種都是完備集，而且實(shí)現(xiàn)函數(shù)只需一種規(guī)格的邏輯門，這就給設(shè)計(jì)帶來了許多方便。2.3.2常用邏輯門及邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式35

2．邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式幾種常用邏輯門的實(shí)際器件及引腳圖如圖2.3.4所示。從圖中可以看出，每個(gè)集成芯片都包含了若干個(gè)相同的邏輯門，如7400為四2輸入與非門，7402為四2輸入或非門，7404為6反相器等。當(dāng)用邏輯門實(shí)現(xiàn)某一邏輯函數(shù)時(shí)，如果選擇實(shí)際器件的功能、型號不同，則邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式也不相同，因此必須將邏輯函數(shù)式變換成相應(yīng)的形式。2．邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式36圖2.3.4幾種常用邏輯門的實(shí)際器件及引腳圖圖2.3.4幾種常用邏輯門的實(shí)際器件及引腳圖37任何一個(gè)邏輯函數(shù)可以有多種邏輯函數(shù)表達(dá)式，最常用的形式有五種：與或式、或與式、與非-與非式、或非-或非式、與或非式。與或式和或與式是函數(shù)表達(dá)式的兩種基本形式。單個(gè)邏輯變量（或反變量）進(jìn)行與運(yùn)算構(gòu)成的項(xiàng)稱為“與項(xiàng)”或“乘積項(xiàng)”，由“與項(xiàng)”相“或”構(gòu)成的表達(dá)式稱為“與或”表達(dá)式或“積之和”表達(dá)式。單個(gè)邏輯變量（或反變量）進(jìn)行或運(yùn)算構(gòu)成的項(xiàng)稱為“或項(xiàng)”或“和項(xiàng)”，由“或項(xiàng)”相“與”構(gòu)成的表達(dá)式稱為“或與”表達(dá)式或“和之積”表達(dá)式。任何一個(gè)邏輯函數(shù)可以有多種邏輯函數(shù)表達(dá)式，最常用的形式有38與或式和或與式的互換可以通過兩次求反或兩次求對偶得到。將與或式兩次求反，借助反演律可得到與非-與非式；將或與式兩次求反，借助反演律可得到或非-或非式，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為與或非式。例如，某邏輯函數(shù)通過上述變換可得到以下五種形式：與或式和或與式的互換可以通過兩次求反或兩次求對偶得到。39與或式或與式與非與非式或非或非式與或非式與或式或與式與非與非式或非或非式與或非式40以上邏輯函數(shù)表達(dá)式可用圖2.3.5所示的五種邏輯電路實(shí)現(xiàn)，其中圖(c)全部用與非門實(shí)現(xiàn),只需用一片7400就夠了;圖(d)全部用或非門實(shí)現(xiàn),只需用一片7402就夠了;圖(e)只需用一片7451中的一個(gè)與或非門實(shí)現(xiàn)。顯然，采用復(fù)合門實(shí)現(xiàn)電路更加經(jīng)濟(jì)。以上邏輯函數(shù)表達(dá)式可用圖2.3.5所示的五種邏輯電路實(shí)現(xiàn)41圖2.3.5邏輯函數(shù)的五種電路形式圖2.3.5邏輯函數(shù)的五種電路形式422.3.3常用邏輯門的等效符號及有效電平

1．德·摩根（DeMorgan）定理與邏輯門的等效符號德·摩根定理提供了一種變換邏輯運(yùn)算符號的方法，利用該定理可以將任何與(AND)形式的邏輯門和或（OR）形式的邏輯門互換。例如一個(gè)2輸入與非門的邏輯符號如圖2.3.6（a）所示，根據(jù)德·摩根定理 可畫出圖（b）所示的等效電路，它意味著每個(gè)輸入端接有反相器的或門等效于一個(gè)與非門。將圖（b）中的非門用小圓圈表示，則可畫出與非門的等效符號，如圖(c)所示，其輸入端的小圓圈表示非運(yùn)算。2.3.3常用邏輯門的等效符號及有效電平43圖2.3.6與非門及其等效符號圖2.3.6與非門及其等效符號44同理，在其他邏輯門標(biāo)準(zhǔn)符號的基礎(chǔ)上，只要利用德·摩根定理改變其運(yùn)算符號（或變與，與變或，反相器除外），并用小圓圈表示非運(yùn)算，就可得到相應(yīng)的等效符號。圖2.3.7列出了各種邏輯門的標(biāo)準(zhǔn)符號和等效符號。邏輯門的等效符號可以用來對邏輯電路進(jìn)行變換或化簡。必須指出，上述邏輯門的標(biāo)準(zhǔn)符號和等效符號都是在正邏輯體制下，用不同的符號形式描述同一邏輯功能的函數(shù)。這里的等效符號并不是負(fù)邏輯表示方法。同理，在其他邏輯門標(biāo)準(zhǔn)符號的基礎(chǔ)上，只要利用德·摩根定理45圖2.3.7各種邏輯門的標(biāo)準(zhǔn)符號和等效符號圖2.3.7各種邏輯門的標(biāo)準(zhǔn)符號和等效符號46對于正邏輯體制，高電平用邏輯1表示，低電平用邏輯0表示；負(fù)邏輯體制正好相反，高電平用邏輯0表示，低電平用邏輯1表示。同一電路的輸入、輸出關(guān)系既可以用正邏輯描述，也可以用負(fù)邏輯描述。選擇邏輯體制不同，則同一電路的邏輯功能也不同。通常兩種邏輯體制的互換如下：正與非＜=＞負(fù)或非，正或非＜=＞負(fù)與非，正與＜=＞負(fù)或，正或＜=＞負(fù)與由于實(shí)際應(yīng)用中很少采用負(fù)邏輯，所以本書均采用正邏輯體制。對于正邏輯體制，高電平用邏輯1表示，低電平用邏輯0表示；47

2．有效電平的概念有效電平規(guī)定：當(dāng)邏輯符號的輸入或輸出引腳上沒有小圓圈時(shí)，表示該引腳是高電平有效；當(dāng)邏輯符號的輸入或輸出引腳上有小圓圈時(shí)，表示該引腳是低電平有效。例如，與非門的標(biāo)準(zhǔn)符號如圖2.3.8（a）所示，其輸入端沒有小圓圈而輸出端有小圓圈，因此它是輸入高電平有效，輸出低電平有效。該符號的邏輯功能可描述為：僅當(dāng)全部輸入為高電平時(shí)，輸出才為低電平。與非門的等效符號如圖2.3.8（b）所示，它是輸入低電平有效，輸出高電平有效。其邏輯功能可描述為：當(dāng)任何一個(gè)輸入為低電平時(shí)，輸出為高電平?？梢娺@兩種符號的描述方式不同，但邏輯功能是相同的。2．有效電平的概念48圖2.3.8與非門及等效符號的邏輯功能描述

圖2.3.8與非門及等效符號的邏輯功能描述49

有效電平的概念對于分析電路的工作狀態(tài)十分重要，特別是后面章節(jié)所講述的中、大規(guī)模集成芯片，其輸入、輸出引腳都有可能是高電平有效或低電平有效，即信號為高電平或低電平時(shí)芯片（或電路）才能完成規(guī)定的功能。因此輸入信號的電平必須與芯片（或電路）所要求的有效電平相匹配才能正常工作。有效電平的概念對于分析電路的工作狀態(tài)十分重要，特別是后面502.4邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式2.4邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式51數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件52數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件53最小項(xiàng)具有以下性質(zhì)：①n變量的全部最小項(xiàng)的邏輯和恒為1，即②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的邏輯乘恒為0，即③n變量的每一個(gè)最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。例如，三變量的某一最小項(xiàng)有三個(gè)相鄰項(xiàng)：。這種相鄰關(guān)系對于邏輯函數(shù)化簡十分重要。最小項(xiàng)具有以下性質(zhì)：②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的邏輯乘恒542.最小項(xiàng)表達(dá)式——標(biāo)準(zhǔn)與或式如果在一個(gè)與或表達(dá)式中，所有與項(xiàng)均為最小項(xiàng)，則稱這種表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，或稱為標(biāo)準(zhǔn)與或式、標(biāo)準(zhǔn)積之和式。例如：是一個(gè)三變量的最小項(xiàng)表達(dá)式，它也可以簡寫為2.最小項(xiàng)表達(dá)式——標(biāo)準(zhǔn)與或式是一個(gè)三變量55

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式：只要將真值表中使函數(shù)值為1的各個(gè)最小項(xiàng)相或，便可得出該函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。由于任何一個(gè)函數(shù)的真值表是惟一的，因此其最小項(xiàng)表達(dá)式也是惟一的。表2.4.2真值表任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式：562.4.2最大項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)或與式

1.最大項(xiàng)

n個(gè)變量的最大項(xiàng)是n個(gè)變量的“或項(xiàng)”，其中每一個(gè)變量都可以以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。

n個(gè)變量可以構(gòu)成2n個(gè)最大項(xiàng)。與最小項(xiàng)恰好相反，對于任何一個(gè)最大項(xiàng)，只有一組變量取值使它為0，而變量的其余取值均使它為1。最大項(xiàng)用符號Mi表示。表2.4.3列出了三變量邏輯函數(shù)的所有最小項(xiàng)和最大項(xiàng)。從表中可以看出，當(dāng)輸入變量為某一組取值時(shí)，最大項(xiàng)中對應(yīng)取值為0的用原變量表示，對應(yīng)取值為1的用反變量表示，正好與最小項(xiàng)相反。2.4.2最大項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)或與式57

不難發(fā)現(xiàn)，變量數(shù)相同，編號相同的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)之間存在互補(bǔ)關(guān)系，即不難發(fā)現(xiàn)，變量數(shù)相同，編號相同的最小項(xiàng)和最大58最大項(xiàng)具有以下性質(zhì)：①n變量的全部最大項(xiàng)的邏輯乘恒為0，即②n變量的任意兩個(gè)不同的最大項(xiàng)的邏輯和必等于1，即③n變量的每個(gè)最大項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。例如，三變量的某一最大項(xiàng)有三個(gè)相鄰項(xiàng)：最大項(xiàng)具有以下性質(zhì)：②n變量的任意兩個(gè)不同的最大項(xiàng)的59數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件60

【例2.4.2】

已知F的真值表如表2.4.4所示。試寫出函數(shù)F的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)表達(dá)式。解：在F的真值表中首先求出F的反函數(shù)F。F和F的最小項(xiàng)表達(dá)式為【例2.4.2】已知F的真值表如表2.4.4所示。試寫出61表2.4.4例2.4.2真值表表2.4.4例2.4.2真值表622.5邏輯函數(shù)的化簡法2.5.1代數(shù)化簡法

1.并項(xiàng)法利用公式AB+AB=A將兩項(xiàng)合并成一項(xiàng)，并消去互補(bǔ)因子。如：2.5邏輯函數(shù)的化簡法2.5.1代數(shù)化簡法利用公式A632.吸收法利用吸收律

A+AB=A、和吸收(消去)多余的乘積項(xiàng)或多余的因子。如：例1：反變量吸收提出AB=1提出A2.吸收法例1：反變量吸收提出AB=1提出643.配項(xiàng)法利用重疊律A+A=1、互補(bǔ)律A+A=A和吸收律AB+AC+BC=AB+AC先配項(xiàng)或添加多余項(xiàng)，然后再逐步化簡。配項(xiàng)法例2:例3:利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項(xiàng)配上其所能合并的項(xiàng)。3.配項(xiàng)法利用重疊律A+A=1、互補(bǔ)律A+65例4Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC將化簡為最簡邏輯代數(shù)式。=AB(C+C)+ABC+AB(C+C)=AB+ABC+AB=(A+A)B+ABC=B+BAC;A+AB=A+B=B+AC；C+C=1Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC例4Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC將化簡為最簡邏66例5例567？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?請注意與普通代數(shù)的區(qū)別！不能??？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?請注意與普通代數(shù)的682.5.2卡諾圖化簡法卡諾圖（KarnaughMap）由美國工程師卡諾（Karnaugh）首先提出，故稱卡諾圖，簡稱K圖。它是一種按相鄰規(guī)則排列而成的最小項(xiàng)方格圖，利用相鄰項(xiàng)不斷合并的原則可以使邏輯函數(shù)得到化簡。由于這種圖形化簡法簡單而直觀，因而得到了廣泛應(yīng)用。2.5.2卡諾圖化簡法69

1.卡諾圖的構(gòu)成在邏輯函數(shù)的真值表中，輸入變量的每一種組合都和一個(gè)最小項(xiàng)相對應(yīng)，這種真值表也稱最小項(xiàng)真值表?？ㄖZ圖就是根據(jù)最小項(xiàng)真值表按一定規(guī)則排列的方格圖。例如，三變量最小項(xiàng)真值表如表2.5.1所示，畫三變量K圖時(shí)首先畫出八個(gè)小方格，并將輸入變量A、B、C按行和按列分為兩組表示在方格圖的頂端，變量的取值分別按格雷碼排列。行、列變量交叉處的小方格就是輸入變量取值所對應(yīng)的最小項(xiàng)，這樣便構(gòu)成了圖2.5.1（a）所示的三變量K圖。由圖可見，由于行、列變量的取值都按格雷碼排列，因此每兩個(gè)相鄰方格中的最小項(xiàng)都是相鄰項(xiàng)。為了便于書寫和記憶，K圖各方格內(nèi)的最小項(xiàng)也可以用最小項(xiàng)符號mi或編號i表示，分別如圖2.5.1（b）、（c）所示。1.卡諾圖的構(gòu)成70表2.5.1三變量最小項(xiàng)表2.5.1三變量最小項(xiàng)71圖2.5.1三變量K圖圖2.5.1三變量K圖72圖2.5.2四變量、五變量K圖圖2.5.2四變量、五變量K圖73從以上分析可以看出，K圖具有如下特點(diǎn)：

(1)n變量的卡諾圖有2n個(gè)方格，對應(yīng)表示2n個(gè)最小項(xiàng)。每當(dāng)變量數(shù)增加一個(gè)，卡諾圖的方格數(shù)就會(huì)擴(kuò)大一倍。

(2)卡諾圖中任何相鄰位置的兩個(gè)最小項(xiàng)都是相鄰項(xiàng)。變量取值的順序按格雷碼排列，以確保各相鄰行（列）之間只有一個(gè)變量取值不同，從而保證了卡諾圖具有這一重要特點(diǎn)。相鄰位置包括三種情況：一是相接，即緊挨著；二是相對，即任意一行或一列的兩頭；三是相重，即對折起來位置重合。從以上分析可以看出，K圖具有如下特點(diǎn)：741.給出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式只要將構(gòu)成邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)在卡諾圖上相應(yīng)的方格中填1，其余的方格填0(或不填)，則可以得到該函數(shù)的卡諾圖。也就是說，任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填1的那些最小項(xiàng)之和。例如，用卡諾圖表示函數(shù)時(shí)，只需在三變量卡諾圖中將m0、m3、m4、m6處填1，其余填0(或不填)，如圖2.5.3所示。2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1.給出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式2.邏輯函75圖2.5.3

F1的卡諾圖圖2.5.3F1的卡諾圖762).給出邏輯函數(shù)的一般與或式將一般與或式中每個(gè)與項(xiàng)在卡諾圖上所覆蓋的最小項(xiàng)處都填1，其余的填0(或不填)，就可以得到該函數(shù)的卡諾圖。例如，用卡諾圖表示函數(shù)時(shí)，先確定使每個(gè)與項(xiàng)為1的輸入變量取值，然后在該輸入變量取值所對應(yīng)的方格內(nèi)填1。2).給出邏輯函數(shù)的一般與或式77數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件78

圖2.5.4F2

的卡諾圖圖2.5.4F2的卡諾圖793)給出邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式只要將構(gòu)成邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)在卡諾圖相應(yīng)的方格中填0，其余的方格填1即可。也就是說，任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填0的那些最大項(xiàng)之積。例如，函數(shù)的卡諾圖如圖2.5.5所示。必須注意，在卡諾圖中最大項(xiàng)的編號與最小項(xiàng)編號是一致的，但對應(yīng)輸入變量的取值是相反的。3)給出邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式80圖2.5.5

F3的卡諾圖圖2.5.5F3的卡諾圖814)給出邏輯函數(shù)的一般或與式將一般或與式中每個(gè)或項(xiàng)在卡諾圖上所覆蓋的最大項(xiàng)處都填0，其余的填1即可。例如，將函數(shù)填入卡諾圖時(shí)，先確定使每個(gè)或項(xiàng)為0時(shí)輸入變量的取值，然后在該取值所對應(yīng)的方格內(nèi)填0。當(dāng)ABC=1×0時(shí)，該或項(xiàng)為0，對應(yīng)兩個(gè)方格(M4、M6)處填0。當(dāng)ABC=×10時(shí)，該或項(xiàng)為0，對應(yīng)兩個(gè)方格(M2、M6)處填0。4)給出邏輯函數(shù)的一般或與式當(dāng)ABC=1×82圖2.5.6

F4的卡諾圖圖2.5.6F4的卡諾圖833.最小項(xiàng)合并規(guī)律

在卡諾圖中，凡是幾何位置相鄰的最小項(xiàng)均可以合并。兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)互補(bǔ)變量。在卡諾圖上該合并圈稱為單元圈，它所對應(yīng)的與項(xiàng)由圈內(nèi)沒有變化的那些變量組成，可以直接從卡諾圖中讀出。例如，圖2-19(a)中m1、m3合并為，圖2.5.7(b)中m0、m4合并為。任何兩個(gè)相鄰的單元K圈也是相鄰項(xiàng)，仍然可以合并，消去互補(bǔ)變量。因此，如果K圈越大，消去的變量數(shù)就越多。3.最小項(xiàng)合并規(guī)律在卡諾圖中，凡是幾何位置84

圖2.5.7(c)、(d)表示四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去了兩個(gè)變量，合并后積項(xiàng)由K圈對應(yīng)的沒有變化的那些變量組成。圖2.5.7(c)中m0、m1、m4、m5合并為，圖2-19(d)中m0、m2、m8、m10合并為，m5、m7、m13、m15合并為BD，m12、m13、m15、m14合并為AB。圖2.5.7(e)表示八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去了三個(gè)變量，即圖2.5.7(c)、(d)表示四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合85圖2.5.7最小項(xiàng)合并規(guī)律圖2.5.7最小項(xiàng)合并規(guī)律86

綜上所述，最小項(xiàng)合并有以下特點(diǎn)：①任何一個(gè)合并圈(即卡諾圈)所含的方格數(shù)為2i個(gè)。②必須按照相鄰規(guī)則畫卡諾圈，幾何位置相鄰包括三種情況：一是相接，即緊挨著的方格相鄰；二是相對，即一行(或一列)的兩頭、兩邊、四角相鄰；三是相重，即以對稱軸為中心對折起來重合的位置相鄰。③2m個(gè)方格合并，消去m個(gè)變量。合并圈越大，消去的變量數(shù)越多。需要指出，上述最小項(xiàng)的合并規(guī)則，對最大項(xiàng)的合并同樣是適用的。只是因?yàn)樽畲箜?xiàng)是與函數(shù)的0值相對應(yīng)，在卡諾圖中則與0格對應(yīng)，因此，最大項(xiàng)的合并在卡諾圖中是相鄰的0格圈在一起。綜上所述，最小項(xiàng)合并有以下特點(diǎn)：874.用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

1)將函數(shù)化簡為最簡與或式在卡諾圖上以最少的卡諾圈數(shù)和盡可能大的卡諾圈覆蓋所有填1的方格，即滿足最小覆蓋，就可以求得邏輯函數(shù)的最簡與或式。化簡的一般步驟如下：

(1)填卡諾圖，即用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。

(2)畫卡諾圈合并最小項(xiàng)。選擇卡諾圈的原則是：先從只有一種圈法的1格圈起，卡諾圈的數(shù)目應(yīng)最少（與項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)最少），卡諾圈應(yīng)最大（對應(yīng)與項(xiàng)中變量數(shù)最少）。4.用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)88(3)寫出最簡函數(shù)式。將每個(gè)卡諾圈寫成相應(yīng)的與項(xiàng)，并將它們相或，便得到最簡與或式。圈卡諾圈時(shí)應(yīng)注意，根據(jù)重疊律（A+A=A）,任何一個(gè)1格可以多次被圈用，但如果在某個(gè)K圈中所有的1格均已被別的K圈圈過，則該圈是多余圈。為了避免出現(xiàn)多余圈，應(yīng)保證每個(gè)K圈至少有一個(gè)1格只被圈一次。(3)寫出最簡函數(shù)式。將每個(gè)卡諾圈寫成相應(yīng)的與89【例2.5.1】求 化簡為最簡與或式。

解：

(1)畫出F的K圖,如圖2.5.8。【例2.5.1】求 化90圖2.5.8例2.5.1的卡諾圖圖2.5.8例2.5.1的卡諾圖91②畫K圈。按照最小項(xiàng)合并規(guī)律，將可以合并的最小項(xiàng)分別圈起來。根據(jù)化簡原則，應(yīng)選擇最少的K圈和盡可能大的K圈覆蓋所有的1格。首先選擇只有一種圈法的BC，剩下四個(gè)1格(m1、m3、m10、m11)用兩個(gè)K圈覆蓋。可見一共只要用三個(gè)K圈即可覆蓋全部1格。③寫出最簡式。②畫K圈。按照最小項(xiàng)合并規(guī)律，將可以合并的最92

解：①畫出F的K圖。給出的F為一般與或式，將每個(gè)與項(xiàng)所覆蓋的最小項(xiàng)都填1，K圖如圖2.5.9所示?！纠?.5.2】用卡諾圖將以下函數(shù)式化簡為最簡與或式:解：①畫出F的K圖。給出的F為一般與或式，93圖2.5.9例2.5.2的卡諾圖圖2.5.9例2.5.2的卡諾圖94②畫K圈化簡函數(shù)。③寫出最簡與或式。本例有兩種圈法，都可以得到最簡式。按圖2.5.9(a)圈法：按圖2.5.9(b)圈法：該例說明，邏輯函數(shù)的最簡式不是惟一的。②畫K圈化簡函數(shù)。按圖2.5.9(b)圈法：該例說95【例2.5.3】用卡諾圖將以下函數(shù)式化簡為最簡與或式:

解：①畫F的K圖。這是一個(gè)五變量邏輯函數(shù)，按五變量K圖中的編號填圖，得出F的K圖如圖2.5.10所示。【例2.5.3】用卡諾圖將以下函數(shù)式化簡為最簡與96圖2.5.10例2.5.3的卡諾圖圖2.5.10例2.5.3的卡諾圖97(2)畫K圈化簡函數(shù)。先找只有一種圈法的最小項(xiàng)：(2)畫K圈化簡函數(shù)。先找只有一種圈法的最小項(xiàng)：98③寫出最簡式。③寫出最簡式。99【例2.5.4】用卡諾圖將以下函數(shù)式化簡為最簡或與式:F=∑m(1,3,4,5,6,7,9,11,13)解:（1）畫出F的K圖，如圖2.5.11所示?！纠?.5.4】用卡諾圖將以下函數(shù)式化簡為最簡或與式:F100圖2.5.11例2.5.4的卡諾圖圖2.5.11例2.5.4的卡諾圖101

（2）畫K圈，合并0格。其規(guī)律與圈1相同，即K圈的數(shù)目應(yīng)最少，K圈應(yīng)最大。本例用三個(gè)K圈覆蓋所有0格。（3）寫出最簡或與式：（2）畫K圈，合并0格。其規(guī)律與圈1相同，即K102圖2.5.12例2.5.5的卡諾圖圖2.5.12例2.5.5的卡諾圖103【例2.5.5】用卡諾圖將以下函數(shù)式化簡為最簡或與式:

卡諾圖化簡法的優(yōu)點(diǎn)是簡單、直觀，用卡諾圖進(jìn)行邏輯函數(shù)式的變化也比代數(shù)法方便。但當(dāng)變量數(shù)超過6個(gè)時(shí)，化簡和變換就不再簡單直觀了，這時(shí)可采用Q-M法（或稱列表法）借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理?！纠?.5.5】用卡諾圖將以下函數(shù)式化簡為最簡或與式:1042.5.3具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡

1.具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)邏輯問題分為完全描述和非完全描述兩種。如果對于輸入變量的每一組取值，邏輯函數(shù)都有確定的值，則稱這類函數(shù)為完全描述的邏輯函數(shù)。如果對于輸入變量的某些取值組合，邏輯函數(shù)值不確定，即函數(shù)值可以為0，也可以為1，那么稱這類函數(shù)為非完全描述的邏輯函數(shù)。對應(yīng)輸出函數(shù)值不確定的輸入最小項(xiàng)（或最大項(xiàng)）稱為無關(guān)項(xiàng)。具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)就是非完全描述的邏輯函數(shù)。2.5.3具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡105無關(guān)項(xiàng)通常發(fā)生在以下兩種情況：

(1）由于某些條件限制或約束，不允許輸入變量的某些組合出現(xiàn)，因而它們所對應(yīng)的函數(shù)值可以任意假設(shè)，可以為0，也可以為1。這些不允許出現(xiàn)的組合所對應(yīng)的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng)（或禁止項(xiàng)）。

(2）在某些輸入變量的取值下，其函數(shù)值為1或?yàn)?都可以，并不影響電路的功能。這些使函數(shù)不確定的變量取值所對應(yīng)的最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng)（或隨意項(xiàng)）。無關(guān)項(xiàng)通常發(fā)生在以下兩種情況：106約束項(xiàng)和任意項(xiàng)都稱為無關(guān)項(xiàng)，包含無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)一般用以下方式表示：（1）在真值表或K圖中，無關(guān)項(xiàng)所對應(yīng)的函數(shù)值用×或、d表示。

(2）在邏輯表達(dá)式中，無關(guān)項(xiàng)用d表示，約束條件用約束項(xiàng)恒為0表示。

【例2.5.6】設(shè)計(jì)一個(gè)開關(guān)控制燈亮的邏輯電路,分別用變量A、B、C表示3個(gè)開關(guān)，用F表示燈亮與否。設(shè)開關(guān)閉合為1,斷開為0，燈亮為1,燈滅為0，如果不允許有兩個(gè)和兩個(gè)以上開關(guān)同時(shí)閉合，試寫出燈亮的邏輯函數(shù)表達(dá)式。約束項(xiàng)和任意項(xiàng)都稱為無關(guān)項(xiàng)，包含無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)一般用以107表2.5.2例2.5.6真值表表2.5.2例2.5.6真值表108解：根據(jù)題意，可列出邏輯函數(shù)F的真值表如表2.5.2所示。由于不允許有兩個(gè)和兩個(gè)以上開關(guān)同時(shí)閉合，所以A、B、C三個(gè)變量的取值不能出現(xiàn)011、101、110、111中的任何一種。這四組取值所對應(yīng)的最小項(xiàng)為約束項(xiàng)，對應(yīng)的函數(shù)值用×表示。其約束條件可以表示為AC=0,BC=0,AB=0,ABC=0，即AB+AC+BC+ABC=0,也可以寫成∑d(3,5,6,7)=0。因此F的邏輯函數(shù)表達(dá)式可寫成解：根據(jù)題意，可列出邏輯函數(shù)F的真值表如表2.5.2所109也可簡寫成或也可簡寫成或110

2.具有無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡化簡包含無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)時(shí)，應(yīng)充分、合理地利用無關(guān)項(xiàng)，使邏輯函數(shù)得到更加簡單的結(jié)果?；啎r(shí)，將卡諾圖中的×（或?）究竟是作為1還是作為0來處理應(yīng)以卡諾圈數(shù)最少、卡諾圈最大為原則。因此，并不是所有的無關(guān)項(xiàng)都要覆蓋。2.具有無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡111圖2.5.13例2.5.7的卡諾圖圖2.5.13例2.5.7的卡諾圖112

【例2.5.7】化簡例2.5.6的輸出邏輯函數(shù)。解：根據(jù)表2.5.2所示的真值表畫出F的卡諾圖，如圖2.5.13所示。從圖中可以看出，若將無關(guān)項(xiàng)m3、m5、m6、m7都作為1，則可求得:F=A+B+C顯然,這一結(jié)果要比不利用無關(guān)項(xiàng)的結(jié)果簡單得多。該結(jié)果說明，只要3個(gè)開關(guān)中有一個(gè)閉合，燈就亮?！纠?.5.7】化簡例2.5.6的輸出邏輯函數(shù)。F=113

【例2.5.8】試將以下邏輯函數(shù)化簡為最簡與或非式，并用與或非門實(shí)現(xiàn)電路。【例2.5.8】試將以下邏輯函數(shù)化簡為最簡與或非式，并114圖2.5.14例2.5.8的卡諾圖及邏輯電路圖2.5.14例2.5.8的卡諾圖及邏輯電路115例如：判斷一位十進(jìn)制數(shù)是否為偶數(shù)。不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)說明×111100111×111010110×110100101×110010100×101100011×10101001001001000011100010000YABCDYABCD例如：判斷一位十進(jìn)制數(shù)是否為偶數(shù)。不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不會(huì)出現(xiàn)不116輸入變量A，B，C，D取值為0000～1001時(shí)，邏輯函數(shù)Y有確定的值，根據(jù)題意，偶數(shù)時(shí)為1，奇數(shù)時(shí)為0

A，B，C，D取值為1010～1111的情況不會(huì)出現(xiàn)或不允許出現(xiàn)，對應(yīng)的最小項(xiàng)屬于隨意項(xiàng)。用符號“φ”、“×”或“d”表示。隨意項(xiàng)之和構(gòu)成的邏輯表達(dá)式叫做隨意條件或約束條件，用一個(gè)值恒為0的條件等式表示。

含有隨意條件的邏輯函數(shù)可以表示成如下形式：輸入變量A，B，C，D取值為0000～1001時(shí)，邏輯函117不利用隨意項(xiàng)利用隨意項(xiàng)不利用隨意項(xiàng)利用隨意項(xiàng)118例：若A、B、C、D、E是一組互相不能同時(shí)為“1”的邏輯變量，試化簡下列函數(shù)：例：若A、B、C、D、E是一組互相不能同時(shí)為“1”的邏輯變量119{End}{End}120精品課件！精品課件！121精品課件！精品課件！122例、具有任意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡。

0001111000×0×001×1×1011×1×010×1×0ABCDF，其中C⊙D=0考慮約束條件：不考慮約束條件：例、具有任意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡。001232.1.1邏輯函數(shù)的基本概念

邏輯是指事物因果之間所遵循的規(guī)律。為了避免用冗繁的文字來描述邏輯問題，邏輯代數(shù)將事物發(fā)生的原因（條件）和結(jié)果分別用邏輯變量和邏輯函數(shù)來描述。2.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算2.1.1邏輯函數(shù)的基本概念2.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算124邏輯變量與普通代數(shù)的變量相似，可以用A、B、C和x、y、z等字母來表示。所不同的是，普通代數(shù)中變量的取值可以是任意的，而邏輯代數(shù)的變量和常量取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，因而稱為二值邏輯。必須指出，這里的邏輯0和邏輯1并不表示數(shù)量的大小，而是代表事物矛盾雙方的兩種狀態(tài)，即兩種對立的邏輯狀態(tài)。例如，它們可以代表事件的真、偽，對、錯(cuò)，型號的有、無，開關(guān)的通、斷，電平的高、低等。邏輯變量與普通代數(shù)的變量相似，可以用A、B、C和x、y、125邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相似，它是隨著自變量的變化而變化的因變量。因此，如果用自變量和因變量分別表示某一事件發(fā)生的條件和結(jié)果，那么該事件的因果關(guān)系就可以用邏輯函數(shù)來描述。數(shù)字電路響應(yīng)輸入的方式稱為電路的邏輯，任何一個(gè)數(shù)字電路的輸出與輸入變量之間都存在一定的邏輯關(guān)系，并可以用邏輯函數(shù)來描述。例如，對于某電路，若輸入邏輯變量A、B、C、…的取值確定后，其輸出邏輯變量F的值也被唯一確定了，則可以稱F是A、B、C、…的邏輯函數(shù)，并記為F=f（A,B,C,…）。邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相似，它是隨著自變量的變化而變1262.1.2三種基本邏輯運(yùn)算邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種，它們可以由相應(yīng)的邏輯門來實(shí)現(xiàn)。1.與運(yùn)算（邏輯乘）S1S2燈電源只有當(dāng)決定某一事件的條件全部具備時(shí)，這一事件才會(huì)發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為與邏輯關(guān)系。與邏輯舉例

電路狀態(tài)表2.1.2三種基本邏輯運(yùn)算S1S2燈電源只有當(dāng)決定某一事件127

邏輯真值表ABL001010110001與邏輯符號ABLS1S2燈電源ABL&與邏輯表達(dá)式：L=A·Ｂ=AB

真值表特點(diǎn):

任0則0,全1則1邏輯真值表ABL001010110001與邏輯128２、或運(yùn)算S1燈電源S2

或邏輯舉例

電路狀態(tài)表只要在決定某一事件的各種條件中，有一個(gè)或幾個(gè)條件具備時(shí)，這一事件就會(huì)發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為或邏輯關(guān)系。２、或運(yùn)算S1燈電源S2或邏輯舉例129

邏輯真值表ABL001010110111ABL或邏輯符號ABL≥1或邏輯表達(dá)式：L=A

+Ｂ特點(diǎn):任1則1,全0則0邏輯真值表ABL001010110111AB130非邏輯舉例狀態(tài)表A燈不通電亮通電滅3.非運(yùn)算事件發(fā)生的條件具備時(shí)，事件不會(huì)發(fā)生；事件發(fā)生的條件不具備時(shí)，事件發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為非邏輯關(guān)系。

或邏輯舉例AVNC

燈非邏輯舉例狀態(tài)表A燈不通電亮通電滅3.非運(yùn)算131AL011

非邏輯真值表0AL或邏輯符號AL1非邏輯表達(dá)式：

特點(diǎn):1則0,0則1AL011非邏輯真值表0AL或邏輯符號AL1非邏輯表1322.2邏輯代數(shù)的基本定律和運(yùn)算規(guī)則2.2.1基本定律邏輯代數(shù)的基本定律如表2.2.1所示。2.2邏輯代數(shù)的基本定律和運(yùn)算規(guī)則133數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件134

1.變量和常量的關(guān)系

0-1律、自等律、重疊律和互補(bǔ)律都是屬于變量和常量的關(guān)系式。由于邏輯常量只有0、1兩種取值，因此邏輯變量與常量的運(yùn)算結(jié)果可直接根據(jù)三種基本邏輯運(yùn)算的定義推出。這些定律也稱為公理，可以用來證明其他公式。1.變量和常量的關(guān)系135

2.與普通代數(shù)相似的定律交換律、結(jié)合律、分配律的運(yùn)算法則與普通代數(shù)相似，但是分配律中A+BC=(A+B)(A+C)在普通代數(shù)中是不成立的。該定律稱為加對乘的分配律，可以采用公式法證明。證：(A+B)(A+C)=A·A+A·B+A·C+B·C=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC因此有

A+BC=(A+B)(A+C)2.與普通代數(shù)相似的定律136表2.2.2反演律證明

3.邏輯代數(shù)中的特殊定律反演律和還原律是邏輯代數(shù)中的特殊定律。反演律又稱為德·摩根（DeMorgan）定理，在邏輯代數(shù)中具有特殊重要的作用,它提供了一種變換邏輯表達(dá)式的方法，即可以將與運(yùn)算之非變成或運(yùn)算，將或運(yùn)算之非變成與運(yùn)算。反演律的正確性可以通過表2.2.2所示的真值表證明。表2.2.2反演律證明3.邏輯代數(shù)中的特殊定律1372.2.2三個(gè)重要規(guī)則

1.代入規(guī)則任何一個(gè)邏輯等式，如果將等式兩邊所出現(xiàn)的某一變量都代之以同一邏輯函數(shù)，則等式仍然成立，這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。由于邏輯函數(shù)與邏輯變量一樣，只有0、1兩種取值，所以代入規(guī)則的正確性不難理解。運(yùn)用代入規(guī)則可以擴(kuò)大基本定律的運(yùn)用范圍。例如，已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中的B，則可以得到適用于多變量的反演律，即2.2.2三個(gè)重要規(guī)則1382.反演規(guī)則對于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，如果將其表達(dá)式中所有的算符“·”換成“+”，“+”換成“·”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則所得到的結(jié)果就是。稱為原函數(shù)F的反函數(shù)，或稱為補(bǔ)函數(shù)。反演規(guī)則是反演律的推廣，運(yùn)用它可以簡便地求出一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。例如：若則

運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：①不能破壞原式的運(yùn)算順序——先算括號里的，然后按“先與后或”的原則運(yùn)算。②不屬于單變量上的非號應(yīng)保留不變。

2.反演規(guī)則若則運(yùn)用反演139保持原來的運(yùn)算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表達(dá)式中，AB之間先運(yùn)算，再和其它變量進(jìn)行運(yùn)算，那么非函數(shù)的表達(dá)式中，仍然是AB之間先運(yùn)算。保持原來的運(yùn)算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表達(dá)式中，AB之間先運(yùn)140對于反變量以外的非號應(yīng)保留不變對于反變量以外的非號應(yīng)保留不變1413.對偶規(guī)則對于任何一個(gè)邏輯函數(shù)，如果將其表達(dá)式F中所有的算符“·”換成“+”,“+”換成“·”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則得出的邏輯函數(shù)式就是F的對偶式，記為F′(或F*)。例如：以上各例中F′是F的對偶式。不難證明F也是F′對偶式。即F與F′互為對偶式。3.對偶規(guī)則以上各例中F′是F的對偶式。不142

任何邏輯函數(shù)式都存在著對偶式。若原等式成立，則對偶式也一定成立。即，如果F=G,則F′=G′。這種邏輯推理叫做對偶原理，或?qū)ε家?guī)則。必須注意，由原式求對偶式時(shí)，運(yùn)算的優(yōu)先順序不能改變，且式中的非號也保持不變。觀察前面邏輯代數(shù)基本定律和公式，不難看出它們都是成對出現(xiàn)的，而且都是互為對偶的對偶式。任何邏輯函數(shù)式都存在著對偶式。若原等式成立143對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等1442.2.3若干常用公式1.合并律

在邏輯代數(shù)中，如果兩個(gè)乘積項(xiàng)分別包含了互補(bǔ)的兩個(gè)因子(如B和B)，而其它因子都相同，那么這兩個(gè)乘積項(xiàng)稱為相鄰項(xiàng)。合并律說明，兩個(gè)相鄰項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，消去互補(bǔ)量。證：2.2.3若干常用公式1.合并律在邏輯145數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件1462.吸收律A+AB=A

證： A+AB=A(1+B)=A·1=A

吸收律①說明，兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果一個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子（如AB項(xiàng)中的A）恰好等于另一乘積項(xiàng)（如A）的全部，則該乘積項(xiàng)（AB）是多余的，可以消去。

證：①

22.吸收律證：①2147

該公式說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)乘積項(xiàng)(如A)取反后是另一個(gè)乘積項(xiàng)(如的因子，則此因子是多余的。

證：推論：

該公式及推論說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果兩個(gè)乘積項(xiàng)中的部分因子互補(bǔ)(如AB項(xiàng)和AC項(xiàng)中的A和A)，而這兩個(gè)乘積項(xiàng)中的其余因子(如B和C)都是第三個(gè)乘積項(xiàng)中的因子，則這個(gè)第三項(xiàng)是多余的。③該公式說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)乘積1482.3復(fù)合邏輯和常用邏輯門

2.3.1復(fù)合邏輯運(yùn)算和復(fù)合門1.與非、或非、與或非邏輯運(yùn)算與非邏輯運(yùn)算是與運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，即或非邏輯運(yùn)算是或運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，即

與或非邏輯運(yùn)算是與、或、非三種運(yùn)算的組合，即2.3復(fù)合邏輯和常用邏輯門2.3.1復(fù)合邏輯運(yùn)算和復(fù)合149圖2.3.1與非門、或非門和與或非門的邏輯符號

圖2.3.1與非門、或非門和與或非門的邏輯符號150表2.3.1異或邏輯真值表2.異或和同或邏輯運(yùn)算異或邏輯的含義是：當(dāng)兩個(gè)輸入變量相異時(shí)，輸出為1；相同時(shí)輸出為0。是異或運(yùn)算的符號。異或運(yùn)算也稱模2加運(yùn)算。異或邏輯的真值表如表2-5所示，其邏輯表達(dá)式為表2.3.1異或邏輯真值表2.異或和同或151表2.3.2同或邏輯真值表表2.3.2同或邏輯真值表152圖2.3.2異或門和同或門的邏輯符號圖2.3.2異或門和同或門的邏輯符號153由定義和真值表可見，異或邏輯與同或邏輯互為反函數(shù)，即

不僅如此，它們還互為對偶式。如果，G=A⊙B，不難證明F′=G,G′=F。因此可以將“”作為“⊙”的對偶符號，反之亦然。由以上分析可以看出，兩變量的異或函數(shù)和同或函數(shù)既互補(bǔ)又對偶，這是一對特殊函數(shù)。由定義和真值表可見，異或邏輯與同或邏輯互為反函數(shù)，即154表2.3.3異或、同或運(yùn)算的常用公式

3．異或、同或運(yùn)算的常用公式

異或和同或運(yùn)算的常用公式如表2.3.3所示。表中的公式可以利用真值表或前面的公式證明。表2.3.3異或、同或運(yùn)算的常用公式3．異或、同或運(yùn)155數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件156圖2.3.3用異或門控制同相、反相輸出圖2.3.3用異或門控制同相、反相輸出1572.3.2常用邏輯門及邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式

1．邏輯運(yùn)算符的完備性在邏輯代數(shù)中，與、或、非是三種最基本的邏輯運(yùn)算，用與、或、非三種運(yùn)算符和邏輯變量可以構(gòu)成任何邏輯函數(shù)，因此稱與、或、非邏輯運(yùn)算符是一組完備集。但是與、或、非三種運(yùn)算符并不是最好的完備集，因?yàn)橛盟鼘?shí)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)要使用三種不同規(guī)格的邏輯門。實(shí)際上由德·摩根定理可見，有了“與”和“非”便可得到“或”，有了“或”和“非”便可得到“與”，因此用“與非”、“或非”、“與或非”運(yùn)算中的任何一種都能單獨(dú)實(shí)現(xiàn)“與、或、非”運(yùn)算，這三種復(fù)合運(yùn)算每種都是完備集，而且實(shí)現(xiàn)函數(shù)只需一種規(guī)格的邏輯門，這就給設(shè)計(jì)帶來了許多方便。2.3.2常用邏輯門及邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式158

2．邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式幾種常用邏輯門的實(shí)際器件及引腳圖如圖2.3.4所示。從圖中可以看出，每個(gè)集成芯片都包含了若干個(gè)相同的邏輯門，如7400為四2輸入與非門，7402為四2輸入或非門，7404為6反相器等。當(dāng)用邏輯門實(shí)現(xiàn)某一邏輯函數(shù)時(shí)，如果選擇實(shí)際器件的功能、型號不同，則邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式也不相同，因此必須將邏輯函數(shù)式變換成相應(yīng)的形式。2．邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式159圖2.3.4幾種常用邏輯門的實(shí)際器件及引腳圖圖2.3.4幾種常用邏輯門的實(shí)際器件及引腳圖160任何一個(gè)邏輯函數(shù)可以有多種邏輯函數(shù)表達(dá)式，最常用的形式有五種：與或式、或與式、與非-與非式、或非-或非式、與或非式。與或式和或與式是函數(shù)表達(dá)式的兩種基本形式。單個(gè)邏輯變量（或反變量）進(jìn)行與運(yùn)算構(gòu)成的項(xiàng)稱為“與項(xiàng)”或“乘積項(xiàng)”，由“與項(xiàng)”相“或”構(gòu)成的表達(dá)式稱為“與或”表達(dá)式或“積之和”表達(dá)式。單個(gè)邏輯變量（或反變量）進(jìn)行或運(yùn)算構(gòu)成的項(xiàng)稱為“或項(xiàng)”或“和項(xiàng)”，由“或項(xiàng)”相“與”構(gòu)成的表達(dá)式稱為“或與”表達(dá)式或“和之積”表達(dá)式。任何一個(gè)邏輯函數(shù)可以有多種邏輯函數(shù)表達(dá)式，最常用的形式有161與或式和或與式的互換可以通過兩次求反或兩次求對偶得到。將與或式兩次求反，借助反演律可得到與非-與非式；將或與式兩次求反，借助反演律可得到或非-或非式，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為與或非式。例如，某邏輯函數(shù)通過上述變換可得到以下五種形式：與或式和或與式的互換可以通過兩次求反或兩次求對偶得到。162與或式或與式與非與非式或非或非式與或非式與或式或與式與非與非式或非或非式與或非式163以上邏輯函數(shù)表達(dá)式可用圖2.3.5所示的五種邏輯電路實(shí)現(xiàn)，其中圖(c)全部用與非門實(shí)現(xiàn),只需用一片7400就夠了;圖(d)全部用或非門實(shí)現(xiàn),只需用一片7402就夠了;圖(e)只需用一片7451中的一個(gè)與或非門實(shí)現(xiàn)。顯然，采用復(fù)合門實(shí)現(xiàn)電路更加經(jīng)濟(jì)。以上邏輯函數(shù)表達(dá)式可用圖2.3.5所示的五種邏輯電路實(shí)現(xiàn)164圖2.3.5邏輯函數(shù)的五種電路形式圖2.3.5邏輯函數(shù)的五種電路形式1652.3.3常用邏輯門的等效符號及有效電平

1．德·摩根（DeMorgan）定理與邏輯門的等效符號德·摩根定理提供了一種變換邏輯運(yùn)算符號的方法，利用該定理可以將任何與(AND)形式的邏輯門和或（OR）形式的邏輯門互換。例如一個(gè)2輸入與非門的邏輯符號如圖2.3.6（a）所示，根據(jù)德·摩根定理 可畫出圖（b）所示的等效電路，它意味著每個(gè)輸入端接有反相器的或門等效于一個(gè)與非門。將圖（b）中的非門用小圓圈表示，則可畫出與非門的等效符號，如圖(c)所示，其輸入端的小圓圈表示非運(yùn)算。2.3.3常用邏輯門的等效符號及有效電平166圖2.3.6與非門及其等效符號圖2.3.6與非門及其等效符號167同理，在其他邏輯門標(biāo)準(zhǔn)符號的基礎(chǔ)上，只要利用德·摩根定理改變其運(yùn)算符號（或變與，與變或，反相器除外），并用小圓圈表示非運(yùn)算，就可得到相應(yīng)的等效符號。圖2.3.7列出了各種邏輯門的標(biāo)準(zhǔn)符號和等效符號。邏輯門的等效符號可以用來對邏輯電路進(jìn)行變換或化簡。必須指出，上述邏輯門的標(biāo)準(zhǔn)符號和等效符號都是在正邏輯體制下，用不同的符號形式描述同一邏輯功能的函數(shù)。這里的等效符號并不是負(fù)邏輯表示方法。同理，在其他邏輯門標(biāo)準(zhǔn)符號的基礎(chǔ)上，只要利用德·摩根定理168圖2.3.7各種邏輯門的標(biāo)準(zhǔn)符號和等效符號圖2.3.7各種邏輯門的標(biāo)準(zhǔn)符號和等效符號169對于正邏輯體制，高電平用邏輯1表示，低電平用邏輯0表示；負(fù)邏輯體制正好相反，高電平用邏輯0表示，低電平用邏輯1表示。同一電路的輸入、輸出關(guān)系既可以用正邏輯描述，也可以用負(fù)邏輯描述。選擇邏輯體制不同，則同一電路的邏輯功能也不同。通常兩種邏輯體制的互換如下：正與非＜=＞負(fù)或非，正或非＜=＞負(fù)與非，正與＜=＞負(fù)或，正或＜=＞負(fù)與由于實(shí)際應(yīng)用中很少采用負(fù)邏輯，所以本書均采用正邏輯體制。對于正邏輯體制，高電平用邏輯1表示，低電平用邏輯0表示；170

2．有效電平的概念有效電平規(guī)定：當(dāng)邏輯符號的輸入或輸出引腳上沒有小圓圈時(shí)，表示該引腳是高電平有效；當(dāng)邏輯符號的輸入或輸出引腳上有小圓圈時(shí)，表示該引腳是低電平有效。例如，與非門的標(biāo)準(zhǔn)符號如圖2.3.8（a）所示，其輸入端沒有小圓圈而輸出端有小圓圈，因此它是輸入高電平有效，輸出低電平有效。該符號的邏輯功能可描述為：僅當(dāng)全部輸入為高電平時(shí)，輸出才為低電平。與非門的等效符號如圖2.3.8（b）所示，它是輸入低電平有效，輸出高電平有效。其邏輯功能可描述為：當(dāng)任何一個(gè)輸入為低電平時(shí)，輸出為高電平?？梢娺@兩種符號的描述方式不同，但邏輯功能是相同的。2．有效電平的概念171圖2.3.8與非門及等效符號的邏輯功能描述

圖2.3.8與非門及等效符號的邏輯功能描述172

有效電平的概念對于分析電路的工作狀態(tài)十分重要，特別是后面章節(jié)所講述的中、大規(guī)模集成芯片，其輸入、輸出引腳都有可能是高電平有效或低電平有效，即信號為高電平或低電平時(shí)芯片（或電路）才能完成規(guī)定的功能。因此輸入信號的電平必須與芯片（或電路）所要求的有效電平相匹配才能正常工作。有效電平的概念對于分析電路的工作狀態(tài)十分重要，特別是后面1732.4邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式2.4邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式174數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件175數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第2章課件176最小項(xiàng)具有以下性質(zhì)：①n變量的全部最小項(xiàng)的邏輯和恒為1，即②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的邏輯乘恒為0，即③n變量的每一個(gè)最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。例如，三變量的某一最小項(xiàng)有三個(gè)相鄰項(xiàng)：。這種相鄰關(guān)系對于邏輯函數(shù)化簡十分重要。最小項(xiàng)具有以下性質(zhì)：②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的邏輯乘恒1772.最小項(xiàng)表達(dá)式——標(biāo)準(zhǔn)與或式如果在一個(gè)與或表達(dá)式中，所有與項(xiàng)均為最小項(xiàng)，則稱這種表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，或稱為標(biāo)準(zhǔn)與或式、標(biāo)準(zhǔn)積之和式。例如：是一個(gè)三變量的最小項(xiàng)表達(dá)式，它也可以簡寫為2.最小項(xiàng)表達(dá)式——標(biāo)準(zhǔn)與或式是一個(gè)三變量178

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式：只要將真值表中使函數(shù)值為1的各個(gè)最小項(xiàng)相或，便可得出該函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。由于任何一個(gè)函數(shù)的真值表是惟一的，因此其最小項(xiàng)表達(dá)式也是惟一的。表2.4.2真值表任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式：1792.4.2最大項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)或與式

1.最大項(xiàng)

n個(gè)變量的最大項(xiàng)是n個(gè)變量的“或項(xiàng)”，其中每一個(gè)變量都可以以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。

n個(gè)變量可以構(gòu)成2n個(gè)最大項(xiàng)。與最小項(xiàng)恰好相反，對于任何一個(gè)最大項(xiàng)，只有一組變量取值使它為0，而變量的