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第2章推理與證明§合情推理與演繹推理2.合情推理課時目標1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進行簡單的推理.2.了解合情推理在數學發(fā)現中的作用.1.歸納推理(1)定義:從__________中推演出__________的結論,這樣的推理稱為歸納推理.(2)思維過程eq\x()→eq\x()→eq\x()2.類比推理(1)定義根據兩個(或兩類)對象之間在某些方面的________或________,推演出它們在其他方面也__________或________,像這樣的推理通常稱為類比推理,簡稱類比法.(2)思維過程eq\x(觀察、比較)→eq\x(聯想、類推)→eq\x(猜測新的結論)3.合情推理的含義合情推理是根據已有的事實和正確的結論,___________________________________等推測出某些結果的推理過程.____________和____________是數學活動中常用的合情推理.一、填空題1.數列2,5,11,20,x,47,…中的x的值為________.2.如圖由火柴桿拼成的一列圖形中,第n個圖形由n個正方形組成:通過觀察可以發(fā)現:第4個圖形中,火柴桿有______根;第n個圖形中,火柴桿有________根.3.已知a1=1,an+1>an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,通過計算a2,a3的值,猜想an=________.4.在等差數列{an}中,若a10=0,證明等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,并類比上述性質相應的在等比數列{bn}中,若b9=1,則有等式________________________________________成立.5.當a,b,c∈(0,+∞)時,由eq\f(a+b,2)≥eq\r(ab),eq\f(a+b+c,3)≥eq\r(3,abc),運用歸納推理,可猜測出的合理結論是____________________.6.觀察下列等式:1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,由此推測第n個等式為______________________________________.7.設n≥2,n∈N,(2x+eq\f(1,2))n-(3x+eq\f(1,3))n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,將|ak|(0≤k≤n)的最小值記為Tn,則T2=0,T3=eq\f(1,23)-eq\f(1,33),T4=0,T5=eq\f(1,25)-eq\f(1,35),…,Tn,…,其中Tn=______________.8.對于平面幾何中的命題:“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”,在立體幾何中,類比上述命題,可以得到命題:“_______________________________________________”;這個類比命題的真假性是__________.二、解答題9.平面內有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓都不相交于同一點,若f(n)表示這n個圓把平面分割的區(qū)域數,試求f(n).10.觀察①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1.②tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1.由以上兩式成立得到一個由特殊到一般的推廣,此推廣是什么?并證明你的推廣.能力提升11.觀察下列等式:①cos2α=2cos2α-1;②cos4α=8cos4α-8cos2α+1;③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.可以推測,m-n+p=________.12.設平面內有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點,若用f(n)表示這n條直線交點的個數.(1)求f(4);(2)當n>4時,用n表示出f(n).1.歸納推理的一般步驟(1)通過觀察個別事物發(fā)現某些相同的性質.(2)從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題.2.類比推理的一般步驟(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性;(2)用一類事物的性質推測另一類事物的性質,得出一個明確的結論.3.合情推理獲得的結論未必可靠,但能幫助我們猜測,發(fā)現結論.答案知識梳理1.(1)個別事實一般性(2)實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論2.(1)相似相同相似相同3.實驗和實踐的結果以及個人的經驗和直覺歸納推理類比推理作業(yè)設計1.32解析∵5-2=3,11-5=6,20-11=9,∴x-20=12,∴x=32.2.133n+13.n2解析計算得a2=4,a3=9.∴猜想an=n2.4.b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)解析在等差數列{an}中,由a10=0,得a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0,∴a1+a2+…+an+…+a19=0,即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1,又∵a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1,∴a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1=a1+a2+…+a19-n.若a9=0,同理可得a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n.相應地,類比此性質在等比數列{bn}中,可得b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).\f(a1+a2+…+an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(ai>0,i=1,2,…n)解析eq\f(a1+a2+…+an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(ai>0,i=1,2,…n)是基本不等式的一般形式,這里等號當且僅當a1=a2=…=an時成立.結論的猜測沒有定式,但合理的猜測是有目標的.6.12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1(1+2+3+…+n)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0(n為偶數),\f(1,2n)-\f(1,3n)(n為奇數)))解析觀察Tn表達式的特點可以看出T2=0,T4=0,……,∴當n為偶數時,Tn=0;又∵T3=eq\f(1,23)-eq\f(1,33),T5=eq\f(1,25)-eq\f(1,35),……,∴當n為奇數時,Tn=eq\f(1,2n)-eq\f(1,3n).8.夾在兩個平行平面間的平行線段相等真命題9.解∵f(n)表示n個圓把平面分割成的區(qū)域數,如果再有一個圓和這n個圓相交,則增加2n個交點,這些交點將增加的這個圓分成2n段弧,且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二,因此,增加一個圓后,平面分成的區(qū)域數增加2n個,即f(n+1)=f(n)+2n,亦即f(n+1)-f(n)=2n,又f(1)=2,由遞推公式得f(2)-f(1)=2×1,f(3)-f(2)=2×2,f(4)-f(3)=2×3,……,f(n)-f(n-1)=2(n-1).將以上n-1個等式累加得f(n)=2+2[1+2+3+…+(n-1)]=n2-n+2.10.解觀察到:10°+20°+60°=90°,5°+75°+10°=90°.猜想此推廣為α+β+γ=eq\f(π,2)且α,β,γ都不為kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),則tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.證明:①γ=0時,等式顯然成立.②當γ≠0時,由α+β+γ=eq\f(π,2),得α+β=eq\f(π,2)-γ,所以tan(α+β)=eq\f(1,tanγ).又因為tan(α+β)=eq\f(tanα+tanβ,1-tanαtanβ),所以tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanα·tanβ)=eq\f(1,tanγ)(1-tanα·tanβ),所以tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=tanαtanβ+tanγ(tanα+tanβ)=tanαtanβ+tanγ·eq\f(1,tanγ)(1-tanαtanβ)=1.綜上所述,等式成立.11.962解析觀察得:式子中所有項的系數和為1,∴m-1280+1120+n+p-1=1,∴m+n+p=162,又p=10×5=50,m=29=512,∴n=-400,∴m-n
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