常微分方程解的延展正規(guī)版資料

常微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)解的延展第一頁，共20頁。解的延拓的引入解的延拓定理(dìnglǐ)及其推論內(nèi)容提要(nèirónɡtíyào)/ConstantAbstract/本節(jié)要求/Requirements/理解(lǐjiě)解的延拓方法。會應(yīng)用解的延拓性定理估計解的存在區(qū)間?！?.3ExtensionTheorem第二頁，共20頁。32.3解的延展(yánzhǎn)問題(wèntí)的提出對于(duìyú)初值問題第三頁，共20頁。4例如(lìrú)初值問題于是(yúshì)提出了研究解的延展(或稱延拓)問題.第四頁，共20頁。一、解的延拓的引入1局部(júbù)利普希茲條件右端函數(shù)f(x,y)在某一有界區(qū)域(qūyù)G中有意義。如果稱f(x,y)在G內(nèi)滿足局部(júbù)利普希茲條件，即對區(qū)域G內(nèi)的每一點，存在以其為中心的完全含于G內(nèi)的矩形域R，在R

上f(x,y)

滿足利普希茲條件。〔注意：點不同，域R大小和常數(shù)L可能不同〕§2.3ExtensionTheorem第五頁，共20頁。內(nèi)容提要(nèirónɡtíyào)/ConstantAbstract/的任一解均可以(kěyǐ)延拓到區(qū)間。的且滿足方程的解必討論(tǎolùn)方程在區(qū)間(qūjiān)本節(jié)要求/Requirements/中連續(xù)，且在G內(nèi)滿足局部利普希茲條件，那么于是(yúshì)提出了研究解的延展(或稱延拓)問題.內(nèi)容提要(nèirónɡtíyào)/ConstantAbstract/1)通過G內(nèi)任何一點本節(jié)要求/Requirements/3ExtensionTheorem值域在如圖的陰影(yīnyǐng)區(qū)內(nèi)，否那么通過點(ln2,-3)的解為3ExtensionTheorem那么(nàme)稱解是解2解的延拓設(shè)是的解，假設(shè)(jiǎshè)也是初值問題的解，，當(dāng)時，那么(nàme)稱解是解在區(qū)間(qūjiān)上的延拓?！?.3ExtensionTheorem第六頁，共20頁。3延拓方法(fāngfǎ)設(shè)方程(fāngchéng)的解已定義(dìngyì)在區(qū)間上，現(xiàn)取然后以作一小矩形，使它連同其邊界使得在區(qū)間,方程有過的解且在處有中心，都含在區(qū)域G的內(nèi)部，再用解的存在唯一性定理，存在由于唯一性，顯然解和解都在定義的區(qū)間上，§2.3ExtensionTheorem第七頁，共20頁。區(qū)間(qūjiān)上，有過的解且在處有由于(yóuyú)唯一性，顯然解和解(héjiě)

都在定義的區(qū)間上，但是在區(qū)間上，解向右方的延拓，

即將延拓要較大的區(qū)間。再令如果，我們又可以取為中心，作一小矩形,§2.3ExtensionTheorem第八頁，共20頁。可以(kěyǐ)取為中心(zhōngxīn)，作一小矩形,使它連同(liántóng)其邊界都含在區(qū)域G

內(nèi)。仿前,又可以將解延拓到更大的區(qū)間上，其中是某一個正常數(shù)。對于x

值減小的一邊可以進行同樣討論,使解向左方延拓。就是在原來的積分曲線左右端個接上一個積分的曲線段。上述解的延拓的方法還可繼續(xù)進行。那么,向兩邊延拓的最終情況如何呢?§2.3ExtensionTheorem第九頁，共20頁。3延拓方法(fāngfǎ)§2.3ExtensionTheorem第十頁，共20頁。二、解的延拓定理(dìnglǐ)及其推論1解的延拓定理(dìnglǐ)如果方程(fāngchéng)(3.1)右端的函數(shù)在有界區(qū)域G中連續(xù)，且在G內(nèi)滿足局部利普希茲條件，那么方程(3.1)通過G內(nèi)任何一點

的解可以延拓。直到點任意接近區(qū)域G的邊界。以向x

增大的一方的延拓來說，如果只能延拓的區(qū)間上，那么當(dāng)時，

趨近于區(qū)域G

的邊界?！?.3ExtensionTheorem第十一頁，共20頁。2推論(tuīlùn)如果(rúguǒ)G是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下,方程(fāngchéng)(3.1)的通過點的解以向x

增大的一方的延拓來說，有下面的兩種情況:

可以延拓，(1)解可以延拓到區(qū)間(2)解只可以延拓到區(qū)間其中m為有限數(shù)，那么當(dāng)時，或者無界，或者

趨于區(qū)域G

的邊界?！?.3ExtensionTheorem第十二頁，共20頁。

例1討論(tǎolùn)方程以及(yǐjí)通過點(ln2,-3)的解的存在區(qū)間。解的通過(tōngguò)點(0,0)的解方程右端函數(shù)在整個xy平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件。方程的通解為通過點(0,0)的解為其存在區(qū)間為通過點(ln2,-3)的解為其存在區(qū)間為§2.3ExtensionTheorem第十三頁，共20頁。-3(ln2,-3)

-1

x

y

1

ln2但向左方(zuǒfānɡ)只能延拓到0,過點(ln2,-3)的解向右可以(kěyǐ)延拓到因為(yīnwèi)當(dāng)時,這相當(dāng)于解的延拓定理推論中(2)的第一種情況。注意：(無界)§2.3ExtensionTheorem第十四頁，共20頁。例如(lìrú)初值問題使它連同(liántóng)其邊界討論(tǎolùn)方程將穿過(chuānɡuò)直線3ExtensionTheorem〔注意：點不同，域R大小和常數(shù)L可能不同〕如果f(x,y)在整個xy平面上定義(dìngyì)、連續(xù)和有界，這相當(dāng)于解的延拓定理推論中(2)的第一種情況。右端函數(shù)f(x,y)在某一有界區(qū)域(qūyù)G中有意義。使它連同(liántóng)其邊界3ExtensionTheorem趨于區(qū)域G的邊界。3ExtensionTheorem2設(shè)線性方程(xiànxìnɡfānɡchénɡ)區(qū)間(qūjiān)為中心(zhōngxīn)，作一小矩形,

例2討論(tǎolùn)方程的解的存在(cúnzài)區(qū)間。滿足條件方程(fāngchéng)右端函數(shù)右半平面x>0上定義且滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件。解通過點(1,0)的解為其存在區(qū)間為，但向左方只能延拓到0,向右可以延拓到因為當(dāng)時,這相當(dāng)于解的延拓定理推論中(2)的第二種情況。(趨于G的邊界y=0)§2.3ExtensionTheorem第十五頁，共20頁。例3用解的延拓定理(dìnglǐ)證明如果f(x,y)在整個xy平面上定義(dìngyì)、連續(xù)和有界，存在關(guān)于y的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么方程的任一解均可以(kěyǐ)延拓到區(qū)間。證明§2.3ExtensionTheorem第十六頁，共20頁。所以(suǒyǐ)值域在如圖的陰影(yīnyǐng)區(qū)內(nèi)，否那么將穿過(chuānɡuò)直線xyox0y0x1那么會有與矛盾。由解的延拓定理推論，方程的任一解均可以延拓到區(qū)間。§2.3ExtensionTheorem第十七頁，共20頁。2設(shè)線性方程(xiànxìnɡfānɡchénɡ)當(dāng)P(x),Q(x)在區(qū)間上連續(xù)(liánxù)，那么由任一初值所確定(quèdìng)的解在整個區(qū)間上都存在。練習(xí)1討論方程的解的存在區(qū)間。上滿足條件在§2.3ExtensionTheorem第十八頁，共20頁。思考題1〕求方程(fāngchéng)滿足條件的解的逐次(zhúcì)逼近以及(yǐjí)h的最大值。2〕設(shè)f(x,y)在整個xy平面上連續(xù)，證明從兩曲線之間任一點出