專題49 二項式定理常見的解題策略-學(xué)會解題之高三數(shù)學(xué)萬能解題模板【2022版】（解析版）

專題49二項式定理常見的解題策略【高考地位】二項式定理有關(guān)問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要知識點，在歷年的高考中幾乎每年都有涉及.因此掌握二項式定理問題的常見題型及其解題策略是十分必要的.其考試題型主要有：求展開式中指定的項、求展開式中某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)、求展開式中的系數(shù)和等，其難度不會太大，但題型可能較靈活．在高考中通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題和解答題的形式考查，其試題難度屬中檔題.類型一求展開式中指定的項或某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)萬能模板內(nèi)容使用場景求展開式中指定的項或某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)．解題模板第一步首先求出二項展開式的通項；第二步根據(jù)已知求出展開式中指定的項或某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)；第三步得出結(jié)論.例1.展開式中第3項的二項式系數(shù)為（）A．6B．-6C．24D．-24【答案】A【解析】試題分析：第3項的二項式系數(shù)為,選A.考點：二項式系數(shù)【方法點睛】求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù).【變式演練1】二項式展開式中，項的系數(shù)為．【答案】【解析】試題分析：，所以由得系數(shù)為考點：二項式定理【方法點睛】求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù).【變式演練2】的展開式中項的系數(shù)為20，則實數(shù) ．【答案】【解析】試題分析：二項式展開式的通項為，令，解得，故展開式中項的系數(shù)為，解得.考點：二項式定理．【變式演練3】【海南省2021屆高三年級第二次模擬考試】的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C．64 D．-128【答案】D【分析】先求得展開式的通項公式，再令x的次數(shù)為3求解.【詳解】展開式的通項公式為，令，則，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：D類型二二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項系數(shù)和萬能模板內(nèi)容使用場景二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項系數(shù)和．解題模板第一步觀察題意特征，合理地使用賦值法；第二步區(qū)別二項式系數(shù)與展開式中項的系數(shù)，靈活利用二項式系數(shù)的性質(zhì)；第三步得出結(jié)論.例2【四川省宜賓市2021屆高三上學(xué)期第一次診斷考試】若展開式中所有項的系數(shù)和為1，則其展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用賦值法可求的值，再利用通項公式可求展開式中的系數(shù)．【詳解】令，則展開式中所有項的系數(shù)和為，故，展開式的通項公式為，令，解得，故的系數(shù)為，故選：D．【變式演練4】在的展開式中，各二項式系數(shù)的和為128，則常數(shù)項是__________．【答案】14.【解析】試題分析：因為的展開式中，各二項式系數(shù)的和為128，所以，即，所以的展開式的通項為，令，則，即常數(shù)項是，故應(yīng)填14.類型三二項式定理的應(yīng)用萬能模板內(nèi)容使用場景使用二項式定理處理整除問題解題模板第一步通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與余數(shù)密切相關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式；第二步再用二項式定理展開，但要注意兩點：一是余數(shù)的范圍，a＝cr＋b，其中余數(shù)b∈[0，r)，r是除數(shù)，切記余數(shù)不能為負(fù)，二是二項式定理的逆用．；第三步得出結(jié)論.例3.設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，則a＝()A．0B．1C．11D．12【答案】D.【解析】點評：在使用二項式定理展開，但要注意兩點：一是余數(shù)的范圍，a＝cr＋b，其中余數(shù)b∈[0，r)，r是除數(shù)，切記余數(shù)不能為負(fù)，二是二項式定理的逆用．【變式演練5】S＝Ceq\o\al(1,27)＋Ceq\o\al(2,27)＋…＋Ceq\o\al(27,27)除以9的余數(shù)為________．【答案】7.【解析】考點：二項式定理．【高考再現(xiàn)】1．（2021·天津高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是__________．【答案】160【分析】求出二項式的展開式通項，令的指數(shù)為6即可求出.【詳解】的展開式的通項為，令，解得，所以的系數(shù)是.故答案為：160.2．（2021·北京高考真題）展開式中常數(shù)項為__________．【答案】【詳解】試題分析：的展開式的通項令得常數(shù)項為.考點：二項式定理.3．（2021·浙江高考真題）已知多項式，則___________，___________.【答案】;.【分析】根據(jù)二項展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結(jié)論.【詳解】，，所以，，所以.故答案為：.4.【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)8】的展開式中的系數(shù)為 （）A．B．C．D．【答案】C【思路導(dǎo)引】求得展開式的通項公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解．【解析】展開式的通項公式為（且），∴與展開式的乘積可表示為：或，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，∴的系數(shù)為，故選C．【專家解讀】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力．5.【2020年高考北京卷3】在的展開式中，的系數(shù)為 （）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意展開式的通項為Tr+1=C5r（x12）5-r-2【專家解讀】本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算等學(xué)科素養(yǎng)．6．【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)14】的展開式中常數(shù)項是（用數(shù)字作答）．【答案】【思路導(dǎo)引】寫出二項式展開通項，即可求得常數(shù)項．【解析】，其二項式展開通項：，當(dāng)，解得，的展開式中常數(shù)項是：．故答案為：．【專家解讀】本題考查二項式定理，利用通項公式求二項展開式中的指定項，解題關(guān)鍵是掌握的展開通項公式，考查了分析能力和計算能力．7．【2020年高考浙江卷12】設(shè)，則；．【答案】80；51【思路導(dǎo)引】利用二項式展開式的通項公式計算即可．【解析】由題意可知表示的系數(shù)，即，，，，∴，故答案為：80；51．【專家解讀】本題的特點是注重基礎(chǔ)，本題考查了一元二次不等式的解法，考查集合的交集運算，考查數(shù)學(xué)運算學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是正確求解一元二次不等式，理解集合交集的含義．本題主要考查利用二項式定理求指定項的系數(shù)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力．8.【2020年高考天津卷11】在的展開式中，的系數(shù)是_________．【答案】10【思路導(dǎo)引】根據(jù)二項展開式的通項公式賦值即可求出．【解析】因為的展開式的通項公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．故答案為：．【專家解讀】本題主要考查二項展開式的通項公式的應(yīng)用．【反饋練習(xí)】1．【2021年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試（八省聯(lián)考）】的展開式中的系數(shù)是（）A．60 B．80 C．84 D．120【答案】D【分析】的展開式中的系數(shù)是，借助組合公式：，逐一計算即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)是因為且，所以，所以，以此類推，.故選：D.2．【江西省吉安市2021屆高三大聯(lián)考】展開式中項的系數(shù)為160，則（）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】先求得展開式中的系數(shù)，可得展開式中的系數(shù)，從而得答案.【詳解】二項式展開式的通項為，令可得二項式展開式中的系數(shù)為，∴展開式中的系數(shù)為，可得，解得，故選：C．3．【河南省鄭州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測】式子的展開式中，的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，寫出和的展開式通項，分別令的指數(shù)為，求出相應(yīng)的參數(shù)，再將參數(shù)的值代入通項可求得結(jié)果.【詳解】，的展開式通項為，的展開式通項為，由，可得，因此，式子的展開式中，的系數(shù)為.故選：B.【點睛】方法點睛：于求多個二項式的和或積的展開式中某項的系數(shù)問題，要注意排列、組合知識的運用，還要注意有關(guān)指數(shù)的運算性質(zhì)．對于三項式問題，一般是通過合并其中的兩項或進(jìn)行因式分解，轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式去求解．4．【湖南省株洲市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測】若（a，b為有理數(shù)），則a=（）A．-25 B．25 C．40 D．41【答案】D【分析】先求得二項式的展開式的通項公式，然后令求解.【詳解】二項式的展開式的通項公式為：，則，故選：D5．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）展開式中的常數(shù)項為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出展開式通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.【詳解】的展開式通項為，又因為，所以，展開式的通項為，由，可得，因此，展開式中的常數(shù)項為.故選：B.6．【江西省五市九校協(xié)作體2021屆高三第一次聯(lián)考】數(shù)列中，，（），則________【答案】454【分析】由，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式可求出，結(jié)合二項式定理可求出的值.【詳解】解：因為，所以以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則又，，所以原式，故答案為：454.7．【上海市奉賢區(qū)2021屆高三上學(xué)期一模】在展開式中，常數(shù)項為__________.（用數(shù)值表示）【答案】【分析】寫出展開式的通項，令指數(shù)位置等于即可求解.【詳解】展開式的通項為，令，可得，所以常數(shù)項為，故答案為：8．【江蘇省南通中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期12月考前熱身】已知，則________；________；________；________.【答案】－2－109410932187【分析】運用賦值法求二項展開式中部分項的系數(shù)之和.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故；；；由展開式可知均為負(fù)值，均為正值，故答案為：－2；－1094；1093；2187.9．【四川省涼山州2020-2021學(xué)年高三第一次診斷性檢測】的展開式中的常數(shù)項是______.(用數(shù)字作答)【答案】【分析】先寫出展開式的通項公式，然后令的指數(shù)為求解出的值，再將的值代入展開式的通項公式中即可求出常數(shù)項的值.【詳解】展開式的通項公式為：，令，所以，所以展開式中常數(shù)項為：，故答案為：.10．【上海市楊浦區(qū)2021屆高三上學(xué)期一模（期末）】已知的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和為，則展開式中的常數(shù)項為__________（結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】【分析】由的二項展開式的所有二項式系數(shù)的和為可求得的值，進(jìn)而可寫出該二項展開式的通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再代入通項即可求得結(jié)果.【詳解】由于的二項展開式的所有二項式系數(shù)的和為，解得.的展開式通項為，令，解得.因此，的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：在求解有關(guān)二項展開式中二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和，可利用以下結(jié)論求解：（1）各二項系數(shù)之和：的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為，且二項展開式中奇數(shù)項和偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等，都為；（2）各項系數(shù)和：在二項展開式中令變量均為，得到二項式的值為二項展開式各項系數(shù)之和.11．【上海市松江區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末（一模）】在的二項展開式中，常數(shù)項等于____.【答案】240【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項．【詳解】解：在的二項展開式中，通項公式為，令，求得，可得展開式的常數(shù)項為，故答案為：240．12．（2021·福建高三月考）已知，若，則______或______．【答案】1【分析】根據(jù)二項展開式的形式，分別令和，代入展開式求得和的值，再把它們相乘，結(jié)合條件，即可求解．【詳解】因為，令，可得，再令，可得，則，解得或.故答案為：1或．13．（2021·廣東高三月考）的展開式中含的項的系數(shù)為________．【答案】-16【分析】轉(zhuǎn)化，根據(jù)二項展開式的通項公式可求得結(jié)果.【詳解】因為,所以的展開式中