專題01空間點(diǎn)、直線平面之間位置關(guān)系綜合題專練解析版-考點(diǎn)培優(yōu)尖子生專用學(xué)年高二數(shù)學(xué)訓(xùn)練滬教版必修三

（解析版學(xué)校 考號(hào) 1（2021· 市松江二中高二月考）a，baba//；②aba；③a//ba//；④

a.b

b命題的個(gè)數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．4【答案】①若ab，則可能a//或者ab②若ab，則可能aa//或者直線a與平面③若a//b，則可能a//或者a

，則由線面垂直的性質(zhì)定理可得a2（2021·①BMED平行；②CNBE是異面直線；③CNBM60°；④DMBN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是 【答案】BMEDCNBEANACDMBNBE，則ANCBM//AN，故ANC或其補(bǔ)角為CNBM因?yàn)锳NC60，故CNBM所成的角為60因?yàn)镈MNC，又BC平面CMND，所以DMBC，故DM平面 平面BCN，所以DMBN，確3（202· （1）（2）過點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，A1D1都成45°角．則以下判斷正確的是（ A（1）（2） B（1）（2）C（1）（2） D（1）（2）【答案】作出過P與兩直線相交的直線EFABA1D1

PEP直線EPA1D1相交于某點(diǎn)FP點(diǎn)有且只有一條直線EFAB、A1D14（2021· A．四邊 D．交于同一點(diǎn)的三條直【答案】C，設(shè)這四條直線分別為l1、l2、l3、l4，取其中兩條相交直線l1和l2可確定一個(gè)平面，取l3，設(shè)其與l1、l2A、BAl1Bl2A、B，從而l3；同理可證明l4，所以每?jī)蓷l都相C正確；D不正確5（2021·市大同中學(xué)）已知a和b是成80角的兩條直面直線，則過空間一點(diǎn)且a、b都成50角的直線共有 A．2 B．3 C．4 D．無(wú)數(shù)【答案】將直線ab平移，使兩直線經(jīng)過點(diǎn)P，設(shè)直線ab所成角的角平分線為cP直線ab所在平面的直線為d，結(jié)合圖形，然后通過線線之間的關(guān)系進(jìn)行分析求解，即將直線ab平移，使兩直線經(jīng)過點(diǎn)P設(shè)直線ab所成角的角平分線為c過點(diǎn)P垂直于直線ab所在平面的直線為d因?yàn)閍b所成角為80，當(dāng)直線lP且直線在直線ab所在平面內(nèi)且垂直于直線c此時(shí)l與直線ab所成角均為18080502當(dāng)直線l在直線cd所在平面內(nèi)時(shí)，若lP轉(zhuǎn)，此時(shí)l與直線a,b所成角相等，且所成8040變化到90，再?gòu)?0變化到40，所以此時(shí)滿足條件的l有22綜上所述，過空間定點(diǎn)P與ab成500角的直線共有3條6（2021· 市楊浦高級(jí)中學(xué)高二期末）已知直線a、b是兩條不重合的直線，、 A．若aa，則B．若a//b//，//，則aC．若 r，b，a//，則aD．若//a與所成角和b與所成角相等，則【答案】滿足a//b//，//，此時(shí)a與bBa滿足 r，b，a//，此時(shí)與相交，故Ca滿足//a與所成角和b與所成角相等，此時(shí)a與bC7（2021· 市洋涇中學(xué)高二月考）關(guān)于直線l、m及平面、是 A．若l// m，則l B．若l，m//，則lC．若l//，m//，則l D．若l//，ml，則m【答案】根據(jù)已知條件判斷直線l、m的位置關(guān)系，可判斷ABC斷m與D選項(xiàng)的正誤A選項(xiàng)，若l//，則l與平面因?yàn)?m，則l與m平行或異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤Bm//，過直線m的平面與的交線a滿足a//mla，la，故lm，BC選項(xiàng)，若l//m//，則l與m平行、相交或異面，CD選項(xiàng)，若l//ml，則m、m//或m與相交，D選項(xiàng)錯(cuò)誤8（2021·市建平中學(xué)高二月考）ABC的三邊長(zhǎng)分別3?4?5，P為ABC所在平Q

P為ABC則集合Q的子集個(gè)數(shù)為 【答案】ABC分別P在平面ABC上的射影 和外部，計(jì)算直角三角形ABC的內(nèi)ABCABC解：若PABCABC

，可得射影為ABC1(34513，存在兩個(gè)點(diǎn)P（ABC的上下兩側(cè)2PABC上的射影在ABC的外部，可得射影為ABC的旁心（分線的交點(diǎn)33，成立，且有兩個(gè)點(diǎn)P443532綜上可得，這樣的點(diǎn)P4則Q的子集個(gè)數(shù)為2416D9（2021· 市亭林中學(xué)高二期中）設(shè)直線ab與平面所成的角相等，則直線ab位置關(guān)系為 A．平 C．平行或相 D．平行、相交或異【答案】則直線a,b與平面所成的角相等，則直線a,b的位置關(guān)系為平行、相交或異面10（2021· D，且Dl，則下列敘述錯(cuò)誤的是 ADBC直線CD在ABADBCADBC【答案】利用反證法判斷選項(xiàng)A正確；舉例說明選項(xiàng)B3有且只有一條直線與已知直線平行判斷選項(xiàng)CD錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)AADBCADBC共面不共線的三點(diǎn)BCD均在與內(nèi)，與l又不共線的三點(diǎn)A，B，C均在與內(nèi)，\與重合，則lADBC是異面直線，所以選項(xiàng)A對(duì)于選項(xiàng)BABlCDl，且二面角l為銳二面角時(shí)，直線CD在AB平行，所以選項(xiàng)B對(duì)于選項(xiàng)CADBC的平行線lAD與l該平面與BCAD另外有平面與BC平行，由直線與平面平行的性質(zhì)，可得過直線BC外的一點(diǎn)有兩條直線與BC與過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以選項(xiàng)C正確對(duì)于選項(xiàng)DADBCAD有且只有一個(gè)平面與BCADBC垂直的平面，故選項(xiàng)D1（2021·，BC2，CD1，則異面直線AC與BD所成角的大小 【答案】arccos4或5

155分∠C90，D90和∠B90三種情況，結(jié)合異面直線所成角的求法，即求解ABCDAB底面BCDAB1BC2CD當(dāng)?shù)酌嬷苯茿BC中，角∠C90時(shí)，如圖（1）AC//DEACBD所成的角即為直線DE與BDAB1BC2CDBC2BC25

，AE

2，ACDE

51212(5)2(5)2(25(5)2(5)2(255ACBD所成的角為arccos45當(dāng)?shù)酌嬷苯茿BC中，角D 在長(zhǎng)方體中BDCMACBD所成的角即為直線DE與CMBC2AB1BC2CDBC2

3

2，CMBD

3，AC (5)2(3)2(2(5)2(3)2(2351212(1212(5

155當(dāng)?shù)酌嬷苯茿BC中，角∠B90AB1BC2ABBC立arccos4或5

155 12（2021·弧AB的中點(diǎn)，D為母線PB的中點(diǎn)，則異面直線PA和CD所成角的大小 4OP，OCD作DHHCHOD//PAODC（或其補(bǔ)角就是異面直線PA和CDPAPBAB2OP，OCD作DHH因?yàn)镈PBOD//PAODC（或其補(bǔ)角就是異面直線PA和PAPBAB2，則PO

3,DH

3OH1，所以CH

5OC2OC2OHDH2CH3 522 DH2CH3 522 2 22OD2OC2DC2所以O(shè)DC，所以異面直線PA和CD所成角為 413（2021·2PA23MBCPMAC成角的大小 【答案】arccosABN，連接PNMNNMABBCNMBCPMN為異面直線PMAC所成的角，在PMN中，運(yùn)用余弦定理，ABNPNMNQNMABBCNM//BCPMN為異面直線PMACPA2AM(23)2(NM1PA2AM(23)2(2

15PA2AN(23)2PA2AN(23)2NM2PM2PN 1152在PMN中，由余弦定理可得cosPMN 22NM 異面直線PMAC所成角的大小是

15

1514（2021·則異面直線AB與CD的距離 AB與CD的中點(diǎn)EFAFBFEF、CEDE，證明出EFABCD的公垂線，并計(jì)算出EF的長(zhǎng)，由此可得出結(jié)果AB與CD的中點(diǎn)EFAFBFEF、CEDE因?yàn)锳BCD2ACADBCBD4EF分別為AB、CD的中點(diǎn)AC2CF則BFCD，AFCD，且BFAC2CFEAB的中點(diǎn)，故EFAB，同理可證EFCDAF2EFAB、AF2

14故答案為：1415（2021·AB與CD所成的角為3，設(shè)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度 3【答案】13連接BD，取BD的中點(diǎn)O，連接OE、OF，分EOF或EOF2進(jìn) 合余弦定理可求得EF的長(zhǎng)連接BDBD的中點(diǎn)O，連接OE、OFOE分別為BDBC的中點(diǎn)，則OE//CD且OE1CD2同理可知OF//AB且OF1AB2AB與CD所成的角為，則EOF或EOF2 ①若EOF，則△EOF為等邊三角形，故EFOE1；3OE2OF22OEOE2OF22OEOFcos33

3綜上所述EF1或3故答案為：1或316（2021· 【答案】④因梯形的一組對(duì)邊平行，所以由“兩條平行確定一個(gè)平面”17（2021·正方體的頂點(diǎn)，A為原正方體一條棱的中點(diǎn)，在原來(lái)的正方體中，直線CDAB角的余弦值 【答案】ABCDABCD由正方體性質(zhì)知BD與CE平行且相等，即CDBE是平行四邊形，CDBE，直線CDAB所成角為ABE（或其補(bǔ)角同樣棱DF與側(cè)面CEFEFCEF垂直，則可得DF^EF1AB

5，BE 1212122AF2AF2EF

3112(5

3 (2)2△ABEcosABE2252

222

10所以直線CDAB所成角的余弦值為10故答案為：1018（2021· 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)沿正方體的面對(duì)角線運(yùn)動(dòng)，每走完一條面對(duì)角線稱為“走完一段”，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)則如下運(yùn)動(dòng)第i段與第i2所在直線必須是異面直線(其中i是正整數(shù))，質(zhì)點(diǎn)走完的第99段與第1段所在的直線所成的角是 【答案】991段所在的直線所成的角4段之后又回到起點(diǎn)4為周期99=4991AB1和CD1991段所在的直線所成角為9019（2021·A1B1、CC1的中點(diǎn)，用過D、M、N

513 D1C1、DN的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)EEM并延長(zhǎng)交D1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DGAA1于點(diǎn)H，則五邊形DNFMHFC2BCAG1ADAH1AA 31 31 5所以HD5，HM 5，MF13，F(xiàn)N5，DN 5 所以五邊形DNFMH

51325

51325

51325 20（2021· 市建平中學(xué)高二月考）已知異面直線ab所成角為，過空間一點(diǎn)P3且僅有2條直線與a,b所成角都是，則的取值范圍 63【答案】63 將直線ab平移交于點(diǎn)P，并作aPb及其外角的角平分線；根據(jù)過空間一點(diǎn)P有2條直線與ab所成角都是，可知l1方向上有兩條，l2方向上不存在，由此可得范圍將直線a,b平移交于點(diǎn)P，設(shè)平移后的直線為a,過點(diǎn)P作aPb及其外角的角平分線l,l，則aPb1 在l方向，要使過空間一點(diǎn)P的直線，且與ab所成角都是的直線有兩條，則 在l方向，要使過空間一點(diǎn)P的直線，且與ab所成角都是的直線不存在，則 63綜上所述：63 6363 21（2021·C1、BABCDA1C1D120P，QADAC的中點(diǎn) 求異面直線D1P與C1Q（1）（2）arcsin6 ABCDACD20，求出棱DDAD//BC11 BC1Q為異面直線D1P與C1Q所成的角或所成角的補(bǔ)角ABCDACD20，所以22h1122h2011

3 解得h2D1DC1C2AD1A1D，則交點(diǎn)為PAC與BD，則交點(diǎn)為Q又因?yàn)镃1QACC1A1,所以BDC1Q62在RtBCQ中，BC22,BQ2,CQ6，所以cosBCQ 362 因?yàn)锽CQ0,，所以BCQ 即異面直線DP與CQ所成角為 以DDADCDD1xyzD000B220A1202C1022,DC10,2,2,A1B0,2,2,A1C12,2,設(shè)面A1C1B的法向量為nx,yz則

2y2z

x1y1z1，所以n1,1,1nAC 2x2y 1 0202202022221212DC1,n6

36所以63

，即直線C1D與平面A1C1B所成角為 63622（2021·ABAA11AD2EBC的中點(diǎn)求異面直線BB1D1E求點(diǎn)AA1DE的距離（1）

（2）232先判斷出DD1E為異面直線BB1D1E所成角.在直角三角形DD1E2tanDD1E2,，即可得到異面直線BB1與D1E所成角為 2利用等體積法，由VAAEDVAAED求出點(diǎn)AA1DECE212CE2122 在直角三角形DDE中，tanDDEDE 22 DD1E為銳角，所以DD1Earctan22即異面直線BB1與D1E所成角為 2設(shè)點(diǎn)AA1DEd，則

A

1AEDAEDdAA21在△AA21

3AA2112AA21125AE2DE2AD2,AEDE 所以

1AEDE13 6122 2 122ADE而 1 AA11211ADEA

3 所以16d1，解得：d 6 6即點(diǎn)A到平面A1DE的距離 6323（2021·N分別是CC1A1D1的中點(diǎn)，作出過MNB三點(diǎn)的截面，并求出這截面的周長(zhǎng)【答案】253513 連接BMAA1D1DBCC1B1NNF//BMAA1于點(diǎn)FBF同理過點(diǎn)MME//BF交C1D1ENE則五邊形BMENF因?yàn)镃1M//BB1M是CC1

BCM

因?yàn)镹D PCE所以D1END11所以DE1EC可得DE2，EC4

AQDE2 2AF//BBA1F=A1Q31AF1AF3

2 3

所以BF

5，F(xiàn)N222232

，NE 111125123EM

5，BM 443225所以這截面五邊形BMENF5

5135 5 524（2021·AB1BC2CC15M為棱CC1若CM3AM和CD 1若C1M1BMA1B1M（1）52

通過證明BMA1B1BMB1M，再結(jié)合線面垂直的判定定理完成證明A1B1平面BB1C1CB1M平面BB1C1CA1B1B1MRtBCM中BM

5BC2BC2BM1 Rt△ABM中tanBAMB1M51 1

即異面直線AM和CD 1121∴BC1

2，結(jié)合MCBBCM BMA1B1M25（2021·邊長(zhǎng)為2求二面角D1A1CAA1C上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)PP在平面D1AC的投影恰好

PC（2）

（3）6A1CP，使得PD1AC

D1AC由線面垂直的性質(zhì)與判定可得D1AA1D，與題設(shè)，即可得解21在EOAOE1AD121

3，OA1AC1

522 222

6(2(2)22

(5)2

3

61則cosEOAOA11

15

25 3 即直線AC與直線AD所成角的余弦值 D1FFMA1CM點(diǎn)，又D1FFMFA1C平面MFD1A1CD1MD1MF即為二面角D1A1CA215在DMF中，DF1DB1 1，F(xiàn)MAFsinCAC 215 21 1 5556551則cosDMFMF5 1 5則二面角D1A1CA的平面角的余弦值為66

D1ACNCHA1C上存在點(diǎn)P，使得P在平面D1AC

D1AC因 D相交所以D1AA1CDD1AA1DADD1A1內(nèi)作D1QA1DQ點(diǎn)，QHP滿足條件26（2021·ABBC2,ADCD

7，PA

3ABC120,GPC上的點(diǎn)BDPAC若GPC的中點(diǎn)，求DGPAC在（2）BG與PD所成角的余弦值（2）（3） 通過證明PABDBDPC，來(lái)證得BDPAC作出直線DG與平面PAC所成的角，進(jìn)而計(jì)算出線面角的正切值作出異面直線BGPD所成的角，進(jìn)而計(jì)算出線線角的余弦值在四棱錐PABCDPAABCD，所以PABD因?yàn)锳BBC2ADCD

7，設(shè) BDOBDAC的垂直平分線，故OAC的中點(diǎn)，且BDAC又 ACA，所以BD平面PAC若GPC的中點(diǎn)，且OAC的中點(diǎn)，則GO//PA且GO1PA3 因?yàn)镻AABCD，所以GOABCD，所以GOOD故OD平面PAC，故DGO即為DGPAC在△ABCAC2AB2BC22ABBCcosABC44222cos12012所以AC2

3，又OD

2所以tanDGOOD43DGPAC43 取CDH，連接GHBH易得BGH為異面直線BGPD所成角（或其補(bǔ)角PA2因?yàn)镻AABCD，所以PAADPA2

10則GH1PD10 因?yàn)镻AABCD，所以PAABPAACPA2PA2

7,PC

15PA2PA2B222所以cosBCP B222所以BG

7BC2BC2CG22BCCGCD2BOBCcos6001,COBCCD2

3,DO

2 BC2CD2 2所以 BODO3，所以cosBCD 22BC所以BH

19BC2BC2CH22BCCHBG2GH2BH所以cosBGH 2BG 所以異面直線BGPD所成角的余弦值為7027（2021·ABD1，M，N，C 三線共點(diǎn)（2） （1）M，NAA1ABMN//A1D1//BC，A1DA1BCD1A1B//D1CMN//MND1C（2）MN//A1B，且MN12D1MCNKD1M，D1MK又因?yàn)镵CN，CN平面KKABCDAA1D1D所 28（2021·市中國(guó)中學(xué)高二月考已知空間四邊形SABC各邊及對(duì)角線的長(zhǎng)都是求邊SA、BC的距離求異面直線SBAC（1）2（2） 將四面體放入正方體中，根據(jù)四面體的邊長(zhǎng)求出正方體的棱長(zhǎng)，可證OO1為SABC連接MNSB//MNACMNACSB（1）依題意將四面體SABC放入如圖所示正方體因?yàn)榭臻g四邊形SABC各邊及對(duì)角線的長(zhǎng)都是所以正方體的棱長(zhǎng)為2，在矩形MCBE