高等代數(shù)線上作業(yè)

1、在矩陣運(yùn)算中，任何兩個矩陣都可以進(jìn)行加法運(yùn)算。Br,A.qrB.x2、設(shè)多項式f(x)lg(x),c是一個非零常數(shù)，則cf(x)lg(x)。Ar,A.qrB.x3、在線性空間中，兩個不可逆的線性變換的和仍然是不可逆線性變換。Br,A.qrB.x4設(shè)A是 矩陣.A的秩等于3.則A的列向量一定線性相關(guān)，*：:: A5、設(shè)A,B,C為n階矩陣，若』W。，且AB=AC，貝UB=C。BC,A.qrTOC\o"1-5"\h\zB.x6、一個齊次線性方程組的兩個解向量的和仍是該方程組的一個解向量。A\o"CurrentDocument"r ,A.qrB.x7、設(shè)A是n階矩陣，如果A可經(jīng)過初等行變換變成單位矩陣，那么A是可逆的。AANB-x8、設(shè)A是n階矩陣，若非齊次線性方程組AX=B無解，則IAI=0。Ar,A.qrB.x9、設(shè)A是5階矩陣，A的秩等于3,則A的4階子式全為零。Ar,A.qrB.x10、在歐氏空間中，兩個單位向量的和向量一定不是單位向量。Br,A.qrB.x11、設(shè)V是n維線性空間，W是V的m維子空間，是V的基，則%%…是W的基。Br,A.qrB.x12、設(shè)A是3階矩陣，如果A可逆，那么A的所有2階子式都不等于零。BC,A.qrB.x13、設(shè)A是可逆矩陣，交換A的第一行和第二行得矩陣B，則B也是可逆矩陣。Ar,A.qrB.x14、如果矩陣A經(jīng)過初等變換變成矩陣B，那么A，B一定相似。BO,- A.NB.x15、設(shè)A,B為n階矩陣，r(A)表示A的秩，則r(AB)=r(A)r(B)。Br,A.qr- B.x16、根據(jù)Eisenstein判別法，多項式/⑴=/-63+3在實數(shù)域R上是不可約的。BC,A.qr- B.x17、設(shè)了⑴,田⑴匕只月，若嶇)與g(x)互素，則嶇)與g(x)在P中無公共根。AC,A.qr- B.x18、根據(jù)整除的定義可知，零多項式只能整除零多項式。AO,A.qr- B.x19、一個非齊次線性方程組的兩個解向量的和仍是該方程組的解向量。Br,A.qr- B.x20、設(shè)%,%是線性空間V的兩個子空間，若跖W匕%H-則跖+叫w/。Br,A.qr- B.x21、設(shè)W是線性空間V的子空間，三郎，則%+%三甌。Ar,A.qr- B.x22、設(shè)A是n階矩陣，|A|=0，E是n階單位矩陣，則|A+E|=1。BA.qrB.x23、在一個n階矩陣中，若它的行向量線性相關(guān)，則它的列向量也線性相關(guān)。Ar,A.qrTOC\o"1-5"\h\zB.x24、兩個矩陣等價的充要條件是它們的秩相等。AAa.N0B.x25、若多項式g(x)lf(x)，則g(x)為嶇)與g(x)的一個最大公因式。AA a.Nr B.x26、若n階矩陣A與B合同，則A，B的特征多項式相同。BA a.N「B.x27、如果一個向量組線性相關(guān)，那么它的任一部分組也線性相關(guān)。BA a.N「B.x28、若2為n階矩陣A的特征值，3為n階矩陣B的特征值，則5為矩陣A+B的特征值。BA a.N-B.x29、設(shè)A是矩陣，若A的秩為m，則非齊次線性方程組AX=B一定有解。AA a.NB.x30、若向量組叫%「7里線性相關(guān)，則%可由％%?，1.i線性表示口Br,- A.qr- B.x31、設(shè)A,B是3階矩陣，A是可逆的，若B與A等價，則B也可逆。AC,A.qr- B.x32、設(shè)%,%’生為一個向量組，由于=0,所以看,%,%線性無關(guān)。Br,A.qr- B.x33、如果一個n階行列式的值等于零，那么這個行列式中一定有某兩行的元對應(yīng)成比例。BO,- A.qrTOC\o"1-5"\h\z- B.x34、設(shè)A是矩陣，若A的秩等于3,則齊次線性方程組AX=0只有零解。Br ,A.qr- B.x35、設(shè)A是線性空間V的線性變換，若有非零向量旗呢值)=0,則A不可逆。A\o"CurrentDocument"r ,A.qr- B.x36、在P[x]中，如果p(x)lf(x)g(x)，那么p(x)lf(x)，或者p(x)lg(x)。B\o"CurrentDocument"r ,a.NB.x37、設(shè),⑴匕月工］,如果f(3)=0,那么x-3lf(x)。Ar,A.qr- B.x38、在線性空間中，可逆線性變換一定把非零向量變?yōu)榉橇阆蛄?。Ar,A.qrB.x39、數(shù)域P上兩個不可約多項式的積一定是可約多項式。AO,aNrB.x-40、兩個n階矩陣等價的充要條件是它們的秩相等。AC,A.qTOC\o"1-5"\h\zr- B.x41、如果兩個n階矩陣的秩相同，那么它們一定合同。Br,A.qr- B.x42、兩個向量組等價的充要條件是它們的秩相等。Br,A.qr- B.x43、在線性空間中，如果一個線性變換把子空間變成子空間，則它一定是可逆線性變換。Br,A.qr- B.x44、設(shè)%%,生為一個向量組，若和+ 5%=0,則％生,色線性相關(guān)。aA.qB.x45、一個3維線性空間只有4個不同的子空間，它們的維數(shù)分別為0,1,2,3。Br,A.qr? B.x46、在線性空間V中，若向量%,再線性無關(guān)，內(nèi)線性無關(guān)，則%,％,縱旦也線性無關(guān)Br,? A.qr? B.x47、若A，B為n階對角形矩陣，則AB=BA。Ar,A.qr? B.x48、設(shè)A，B為n階方陣，若AB=0，則A=0，或B=0。Br,A.qr? B.x49、設(shè)W是有限維線性空間V的子空間，則W的基可擴(kuò)充成V的基。Ar,A.qr? B.x50、在歐氏空間中，兩個子空間如果正交，那么它們的交一定是零空間。Ar,A.qr? B.x51、在歐氏空間中，向量(4,0,3)的長度等于一5一。52、設(shè)A是n階反對稱矩陣，則』+?= 0_。53、設(shè)三元實二次型/%看外)是正定的，若/G4占則53、設(shè)三元實二次型/%看外)是正定的，若/G4占則即為■二(0,0，0)54、在1，2，3，4構(gòu)成的所有四級排列中，有12個偶排列。55,設(shè)A是NX'■r/f義7j矩陣?B為 矩陣，若AB有意義，則巾=本題參考答案:4V=蕓元V=蕓元一1|2/一工+二55、^^，貝Uc= -156、設(shè)V是數(shù)域P上線性空間，W是V的子空間，V的維數(shù)為n，W的維數(shù)為m，則mm<n與n的關(guān)系是. 。57、設(shè)g(x)不等于零，若g(x)lf(x)，則g(x)除f(x)的余式為 0 。59.1.計算下面的1.計算下面的4階行列式的|值:D=1-32.設(shè)/(x)=2.設(shè)/(x)=工"十工二一3x111111111111111-30—]-1—50—1—1—50—1-1—5250114000-100-12一21U107U0-12U00-1=1a11-4x-Lg(x)=x3+r3-x-1,求二解：做輾轉(zhuǎn)相除法有fG)=3(工比+(―21—3工—1),TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1.泰工)=(-2x2-3x-l)(-—x+—)+(--X--)2 4 4 41 3 38 4—2.x"—3工一1二(――x——)(—x+—)+0所以-一?一為f(x)^g⑻的一個最大公因式，從而(汽力式工))=工+1二4 4 "工設(shè)金一工設(shè)金一10?RaB=A-^2B,求矩陣-123)，-233、解由A8=.4+2B得(A-2E)5=A,由于A-2E=1-10<-121,|月一2E|=2hO,所以N-2H可逆。于是方=(N-2E)-】Zo仁23(A-2EA)=1-1「123030111-123、<1-100T-233J1-121110、033-123,,1-1->01eiq-i->011000110、(\3253fo1033； 100110-12111-101 30-212-215-20、 <1-13-01o)3ojo'<1003-0100」10010-113、3OJ“033、所以8=(幺—2B)-】Z=-12 3J1OJ4,求下面的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：x1-8x2+10x3+2x4=0<2玉+4七+5x3—x4=0o

3演十8看十6論一2演=0"12J-81045862，Z1-8—1-"12J-81045862，Z1-8—1-020-2) <032100/J10 2， ,1-15-5f0-24-8) 100、1°04id40001-40J-8104-34-3玉=—4x、所以方程組的一般解為3 1，其中號七為自由未知數(shù)。--4一3由此得一個基礎(chǔ)解系為%=41

.用配方法化下面的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：/(xL,x2，毛)=*+2xf+2x1x,+2%毛。解/(xI?x2,x,)=-I-2片+2玉毛d2x2x,二(%+&)2+2三七4片r乂=芭+X,令，九=X》十元3,則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形X+員-＞；0.月二%一■.設(shè)/=；:,/(x)=x2+X+1,求彩)。解；由府)的定義知；~21~=1解；由府)的定義知；~21~=11J72O

2_/(/住))=/'(X)，求N在基/(4)=月2+月+￡：?又2?=所以，(4)=:;7.設(shè)/=尸田3,/為/的線性變換,%=1：%=占%=幺下的矩陣。解：因為以(%)=04(%)=%幺@)=2%所以a在基％=Lm=匕%=爐下的矩陣為一010一002。_000_.設(shè)/(工)=X+￡+工+人已知犬1)=-3,兀2)=-1,求電后的值口解:由/⑴=-3J⑵=-1得：［口+方=-514口十七二-11'軍得\a=-l

H=-3。T22一.設(shè)#=262為3階實對稱矩陣，判別金是否是正定矩陣二2215_解:A的各階順序主子式：12212

川=1>比 =2>0.262=8>0.z1 26215由于幺的各階順序主子式都大于零，所以幺是正定矩陣：10.在歐氏空間R中，求向量,，使#與%=Q：LD；%=(L-L-1)正交二解二設(shè)￡二9也6由戶與%1%正交得二J口十方十c=0口一占一￡=G解得口=0.11=-C.C1所以尸=(O-—c：c)：eeR二60、證明題：.設(shè)f(x)=x3+9x-1,證明：f((x)在有理數(shù)域上不可約。.設(shè)A為對稱矩陣，而B與A合同，證明B也是對稱矩陣。.設(shè)匕=(1,-1,1),a2=(2,-2,4),十:(1,0,2)，證明%a2,a3線性無關(guān)。.設(shè)線性空間V==P［x］，A(f(x))=f(x)，證明：A是V的線性變換。.設(shè)叩,n是齊次線性方程組AX=0的兩個解向量，證明叩+n也是AX=0的解向量。證明題答案：.設(shè)f(x)=x3+9x-1,證明：f((x)在有理數(shù)域上不可約。證明：假設(shè)f(X)在有理數(shù)域上可約，由于f(x)的次數(shù)為3，所以它至少有一個一次因式，于是f(X)至少有一個有理根，但f(X)的有理根只可能是±1，直接驗證知±1都不是f(X)的根，所以f(X)在有理數(shù)域上不可約。.設(shè)A為對稱矩陣，而B與A合同，證明B也是對稱矩陣。證明：因為B與A合同，所以存在可逆矩陣P使得B=P'AP，于是B'=(PAAP)f=PAP，由于A為對稱矩陣，所以A二A，又P〃二P，所以B'=(PAAP)f=PAP=P'AP=B，所以B也是對稱矩陣。.設(shè)匕=(1,-1,1),a2=(2,-2,4),%=(1,0,2)，證明％a2,a3線性無關(guān)。證明：設(shè)ka+ka+ka=0，則'k+2k+k=0<1-k-22k=0，2k+4k+2k=0123解得k1=0,k2=0,k3=0，所以％a2,a3線性無關(guān)。.設(shè)線性空間Y=P［x］，A(f(x))=f(x)，證明：A是V的線性變換。證明：由于f(x)的導(dǎo)數(shù)由f(X)唯一確定，所以A是V的變換。對任意的f(