大一下微積分課件-11-3冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)一般概念

一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念1.定義:設(shè)u1

(x),u2

(x),,un

(x),是定義在I

R上的函數(shù),則un

(x)

u1

(x)

u2

(x)

un

(x)

n1稱為定義在區(qū)間I

上的(函數(shù)項)無窮級數(shù).

xn

1

x

x2

,n0例如級數(shù)2.收斂點與收斂域:n1如果x0

I

,數(shù)項級數(shù)un

(x0

)收斂,n1則稱x0

為級數(shù)

un

(x)的收斂點,否則稱為發(fā)散點.所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域.函數(shù)項級數(shù)

un

(x)的所有收斂點的全體稱為收斂域,n1n(x在收斂域上)lim

rn

(

x)

0n注意函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題,實質(zhì)上是常數(shù)項級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x),稱s(x)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).s(x)

u1

(x)

u2

(x)

un

(x)

(定義域是?)函數(shù)項級數(shù)的部分和

sn

(

x),

lim

sn

(

x)

s(

x)余項rn

(x)

s(x)

sn

(x)5n0它的收斂域為|

x

|

1,發(fā)散域為|

x

|

1.如,等比級數(shù)

xn

1

x

x2

在收斂域內(nèi)和函數(shù)是,即有1

x11

,

x

(1,1).1

xn

xn1n(1)n

1例

求級數(shù)

n

(1

)

的收斂域.n1

x由解判別法un

(

x)un1

(

x)

n

1(n

)1n

1 1

x

1

x

1,1

x1(1)

當即x

0或x

2時,原級數(shù)絕對收斂.

1

x

1,1,11

x(2)

當

1

x

1,即

2

x

0時,原級數(shù)發(fā)散.當x

0時,(1)nn收斂;當x

2時,級數(shù)n1n11n級數(shù)發(fā)散;故級數(shù)的收斂域為(,2)[0,).(3)

當|

1

x

|

1,

x

0或x

2,域.解對任意固定的x,當n充分大時,有(n

x)nnn

xun

(

x)

x

nxnnnu

(

x)

1

1

0

即用比較審斂法的極限形式:u

(

x)lim

n

n而級數(shù)是p

=x的p

–級數(shù),所以,n1

1nxn

x

n

exn

lim1

nx1x

1時發(fā)散.故級數(shù)的收斂域為x

1.任意x

(,),當n充分大時,可視為正項級數(shù).x

1時收斂.二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:形如nn0an

(

x

x0

)的級數(shù)稱為冪級數(shù).0當x

0時,nna

x

,n0n其中a

為冪級數(shù)系數(shù).

xn

1

x

x2

,2.收斂性:例如級數(shù)n0當

x

1時,

收斂;

當

x

1時,

發(fā)散;收斂域(1,1);發(fā)散域(,1]

[1,);如果級數(shù)定理1

(Abel定理)n0nna

x在x

x0

(

x0

0)處收斂,則它在滿足不等式

x

x0

的一切x

處絕對收斂;如果級數(shù)n0n

n

0a

x

在x

x

處發(fā)散,則它在滿足不等式

x

x0

的一切x

處發(fā)散.證明nn

0nlim

a

x

0,(1)n0nn

0a

x

收斂,

M

(n

0,1,2,)n

M

,

使得an

x0xnxnn

a

xn

a

xn

n

00nn

0n

xx

a

x0nxx

M00x當

1時,xn收斂,0等比級數(shù)xxMn0n

nn0a

x

收斂,

即級數(shù)n

nn0a

x

收斂;(2)假設(shè)當x

x0時發(fā)散,而有一點x1

適合

x1

x0

使級數(shù)收斂,由(1)結(jié)論則級數(shù)當x

x0

時應(yīng)收斂,這與所設(shè)

.幾何說明x

RR收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域這與大的收斂小的肯定收斂n0nna

xx

0不是僅在

一點收斂,也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數(shù)R

存在,它具有下列性質(zhì):當

x

R時,冪級數(shù)絕對收斂;當

x

R時,冪級數(shù)發(fā)散;當x

R與x

R時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.推論如果冪級數(shù)14定義

正數(shù)R稱為冪級數(shù)的

收斂半徑,(

R,R)稱為收斂區(qū)間,收斂區(qū)間加上收斂的端點稱為收斂域.收斂域有下列四種情形:(

R,

R),

[

R,

R),

(

R,

R],

[

R,

R].規(guī)定

(1)冪級數(shù)只在x

=0處收斂,R

0,收斂區(qū)間

x

0;(2)冪級數(shù)對一切x

都收斂,R

,收斂區(qū)間(,

).問:如何求冪級數(shù)的收斂半徑?定理

2

如果冪級數(shù)n0

nna

x的所有系數(shù)na

0,設(shè)nanalim

n1n

(或lim

n(3)

當

時,R

0.(1)

則當

0時,

R

1

;

(2)an

)當

0時,R

;證明判別法對級數(shù)n0nxan

應(yīng)用na

xnlimnaxn1n1ann

lim

an1x

x

,

(

0)存在,nan(1)

如果lim

an1由比值審斂法,時,

級數(shù)1當|

x

||收斂,n0nn|

a

x絕對收斂.從而級數(shù)n0nna

x當|

x

|

1

時,

級數(shù)n0nn|

a

x

|

發(fā)散,并且從某個

n開始

|

an1

x

||

an

x

|,

|

an

x

|

0n1

n

nn0nna

x

發(fā)散.從而級數(shù)1收斂半徑R

;(2)

如果

0,x

0,

0

(n

),aa

xnnxn1n1有級數(shù)n0nn|

a

x

|收斂,從而級數(shù)n0nna

x

絕對收斂.收斂半徑R

;(3)

如果

,x

0,n0nna

x

必發(fā)散.級數(shù)收斂半徑R

0.定理證畢.例

求下列冪級數(shù)的收斂域:解ann(1)

lim

an1

limnn

n

1

1

R

1當x

1時,當x

1時,,n1(1)n級數(shù)為n,1nn1級數(shù)為該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散nxnn1(1)

(1)n

;n1n(2)

(nx)

;(3)

;n1

n!xn1n

2(

x

)n

.2n(4)

(1)nn1n

n

lim

n

an

lim

n

,

R

,級數(shù)只在x

0處收斂,ann

lim

an11

limn

n

1

0,

R

0,收斂域(,).n1故收斂域是(1,1].(2)

(nx)n

;n1(3)

n!;xnann

lim

an1

lim

2n

1nn2

2

R

1

,2

2即x

1

1

收斂,x

(0,1)收斂,21(

x

)n

.2n(4)

(1)nnn1當x

0時,1n1級數(shù)為

n,

發(fā)散當x

1時,n1(1)n級數(shù)為

n

,收斂故收斂域為(0,1].例

求冪級數(shù)n1x

2n12n的收斂區(qū)間.解

缺少偶次冪的項xx

3

x5級數(shù)為

2

22

23un

(

x)n2nx

2n12n1應(yīng)用

判別法x

2n1lim

un1

(

x)

limn2

1

x

2

,級數(shù)收斂,2當1

x2

1,即

x

2時,2當1

x2

1,即

x

2時,級數(shù)發(fā)散,當x

21

,2n1時,

級數(shù)為

1,

級數(shù)發(fā)散,2當x

2時,

級數(shù)為n1級數(shù)發(fā)散,2,

2).原級數(shù)的收斂區(qū)間為(解去掉第一項,是缺偶次冪的冪級數(shù).u

(

x)un

(

x)n

lim

n1

的收斂區(qū)間.(2n

1)!x2n1例

求函數(shù)項級數(shù)

lnx

(1)n0n(2n

1)!

lim

2n1n

(2n

3)! |

x

||

x

|2n

3|

x

|2n

(2n

2)(2n

3)

lim

0所以,去掉第一項,級數(shù)處處收斂.因為第一項lnx的定義域為x

0,所以,原級數(shù)的收斂區(qū)間是(0,

).比值審斂法考題,選擇(3分)na

x

nn1例設(shè)冪級數(shù)nb

x

nn1與的收斂半徑分別為5

13

3與nb,則冪級數(shù)n1

n2

a2n

x

的收斂半徑為()(

A)

5

(B)35(C

)

1

(D)

13

5Anb2a2分析設(shè)cn

nn1ccn

n1b2

a2a2

b22

2n1n

a

b

b

a

5

3

5

2

n

n

n1

n1

n

32

冪級數(shù)

(1)

1

的收斂區(qū)間.3nx2nn0n1作變換,令y

x2

,級數(shù)變?yōu)?/p>

13nn0(1)n1yn解此級數(shù)是缺項的冪級數(shù),不滿足定理2的條件.3

113n1

11nny因為

R

lim

3當

y

=3時,

級數(shù)為(1)

1

,3n3nn0n1由于3nlim

1nn

3

1

0,

所以此級數(shù)發(fā)散.故y(≥0)的冪級數(shù)收斂區(qū)間是因此,原冪級數(shù)收斂區(qū)間是0

x2

3,

即為:

3

x

3.收斂半徑R

3.0

y

3.三、冪級數(shù)的運算1.代數(shù)運算性質(zhì):R

minR1

,

R2

(1)

加減法

n0n0nnna

xn

b

xn0nnc

x

.(其中cn

an

bn

)x

R,

Rnnn

n

1

2b x

的收斂半徑各為R

和R

,a

x

和設(shè)

n0

n0(

(2)

乘法nn0

n0nn

na

x

)

(

b

x

)n0nnc

x

.x

R,

R(其中cn

a0

bn

a1

bn1

an

b0

)3

03

13

2a

b

a

b

a

b3

3a

b1

x

x

2

x

3

a0b0

a0b1

a0b2

a0b3a1b0

a1b1

a1b2

a1b3a2b0

a2b1

a2b2

a2b3柯西乘積(3)

除法n0n0nnnnb

xa

xn0nnc

x

.(收斂域內(nèi)n0nnb

x

0)(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)(1)

冪級數(shù)2.和函數(shù)的分析運算性質(zhì):n

na

x

的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間n0(

R,R)內(nèi)連續(xù),在端點收斂,則在端點單側(cè)連續(xù).(2)

冪級數(shù)n0nna

x的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間(

R,R)內(nèi)可積,且對x

(

R,R)可逐項積分.n0x

xnna

x

)dx0s(

x)dx

0(即n00xnna

x

dx

.n1n0

n

1xan(收斂半徑不變)(3)

冪級數(shù)n

na

x

的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間n0(

R,

R)內(nèi)可導(dǎo),

并可逐項求導(dǎo)任意次.n0即s

(x)

()nna

xn0)nn(a

xn1

nn1na

x

.(收斂半徑不變)的和函數(shù).n1例求冪級數(shù)nxnn

an11(n

1)n當x

n1

n級數(shù)為1

,發(fā)散當x

,

收斂n1(1)n級數(shù)為n故級數(shù)的求收斂區(qū)間為[1,1).分析容易求和函數(shù)的冪級數(shù)是幾何級數(shù),設(shè)法用逐項求導(dǎo)或逐項積分的方法把通項變形.即s(x)

ln(1

x),s

(

x)dx

n1

n

xn

s(

x)

,

(1

x

1)1

x1s(

x)由牛–萊公式得dx

ln(1

x)0

1

xx1利用性質(zhì)3,逐項求導(dǎo)

xn1n1(1

x

1)在x

1處,s(x)連續(xù),

ln(1

x)也連續(xù),因此s(

x)在x

1處也成立.

得

s(1)

ln

2(2)求和函數(shù)s(x),設(shè)和函數(shù)s(x)n1xnn則s(x)在[1,1)連續(xù),s(0)

0.0x

s(0)例求n12nn(n

1)的和.解n1考慮級數(shù)

n(n

1)xn

,收斂區(qū)間(-1,1),

則s(x)

n(n

1)xn

x(

xn1

)n1

n1x

22

x

x(

)

,1

x

(1

x)3

故n12nn(n

1)1

s( )

8.2例求冪級數(shù)的和函數(shù).n11n1nn2xn

an1解(1)求收斂區(qū)間1R

lim

an

lim,1n12n級數(shù)為發(fā)散2n級數(shù)為

(1)n1

1

,

收斂n1故級數(shù)的收斂區(qū)間[2,2).(n

1)2n1n2n1n

2當x

當x

(2)求和函數(shù)s(x)

設(shè)所求和函數(shù)為s(x),

即1s(

x)

n1x

,n1nn2有n1n逐項求導(dǎo)21

2

x

2

x1

1

1

[

xs(

x)]

n11

x

n1

2

2

x

[2,2)nxn1

n

2n1xn1

x

n2n1x

s(

x)

n1

1

x

n2由牛–萊公式得:xs(

x)

0

s(0)

x0

ln(2

x)x[

xs(

x)]

dx

0dxx10

2

x

ln(2

x)2

ln 1

x

ln

2因此,x

[2,0)

(0,2)

2

xs(

x)

1

ln1

x

當x

=0時,顯然有s(0)1n1n1nxn2s(

x)

,

總之有n11nn2

2

1

ln1

x

,x,2x

[2,0)

(0,2)x

0121xn1

12

x[

xs(

x)]

小結(jié)求和函數(shù)的一般過程是:首先找收斂半徑,再利用在收斂區(qū)間上冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)可逐項求導(dǎo)(積分),求得新的冪級數(shù)和函數(shù);最后再對和函數(shù)積分(求導(dǎo)),求出原級數(shù)的和函數(shù).常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)1n0n(1)

x1n

2n

;

(2)

(1)

x

2

;1

x

1

xn0;1