物理光學(xué)成像系統(tǒng)分析課件

第七章光學(xué)成像系統(tǒng)的分析11/26/202211/26/20221第3章光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性3.4----3.811/26/202211/26/202223.4相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析3.5衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞系數(shù)（CTF）3.6衍射受限系統(tǒng)的

非相干傳遞系數(shù)（OTF）3.7有像差系統(tǒng)的傳遞系數(shù)3.8相干成像和非相干成像的比較11/26/20223.4相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析11/26/20223前言現(xiàn)代光學(xué)中引入了線性系統(tǒng)理論和傅立葉分析方法，對光學(xué)成像過程采用了頻域分析法，把光的傳播看成是波動過程，把成像系統(tǒng)看成是線性低通濾波器。光學(xué)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，而且在一定條件下是線性空間不變系統(tǒng)。對于線性空間不變系統(tǒng)，既可在空域中，也可在頻域中分析它的成像規(guī)律和特性，這兩種描述完全等價。但是頻域分析法可以給出評價成像系統(tǒng)像質(zhì)的客觀指標(biāo)—光學(xué)傳遞系數(shù)OTF，因此已成為研究成像系統(tǒng)特性的重要手段。傳統(tǒng)幾何光學(xué)的基本內(nèi)容是在空域中研究光學(xué)系統(tǒng)的成像規(guī)律，運用光線的概念，并通過光路追跡來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與系統(tǒng)特性及像質(zhì)的關(guān)系。11/26/2022前言現(xiàn)代光學(xué)中引入了線性系統(tǒng)理論和傅立葉分析方法，對光43.4.1透鏡的點擴散函數(shù)3.4.2衍射受限系統(tǒng)的的點擴散函數(shù)3.4.3相干照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律3．4相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析11/26/20223.4.1透鏡的點擴散函數(shù)3．4相干照明衍射受限系統(tǒng)的成53.4.1透鏡的振幅點擴散函數(shù)目的是求出在什么條件下場分布Ui（xi，yi）可以叫做物分布U0（x0，y0）的像.由于波動傳播的線性性質(zhì)，場分布總可以表示成下述疊加積分。高質(zhì)量成像系統(tǒng)要求Ui與U0相似,所以h函數(shù)近似為函數(shù)。11/26/20223.4.1透鏡的振幅點擴散函數(shù)目的是求出在什么條件下場分611/26/202211/26/202271.點光源產(chǎn)生的復(fù)振幅分布在透鏡前平面：2.點光源產(chǎn)生的復(fù)振幅分布在透鏡后平面：3.在透鏡后平面復(fù)振幅傳播到觀察面：合并，忽略常數(shù)位相因子得：11/26/20221.點光源產(chǎn)生的復(fù)振幅分布在透鏡前平面：2.點光源產(chǎn)生的復(fù)振8由于物像平面的共軛關(guān)系滿足高斯公式，選擇觀察面滿足該式。3.313.32=0考慮以下條件可以忽略二次位相因子：11/26/2022由于物像平面的共軛關(guān)系滿足高斯公式，3.313.32=0考慮91。如果是求像平面上的光強分布，可以忽略上式中關(guān)于的二次相位因子。討論2。只有當(dāng)透鏡孔徑足夠大，物平面上每一點在像平面上形成的復(fù)振幅分布范圍相當(dāng)小，而這個范圍又是以物點的共軛像點為中心時，才可近似認(rèn)為在該范圍內(nèi)不變，從而略去式中關(guān)于的二次位相因子。11/26/20221。如果是求像平面上的光強分布，可以忽略上式中關(guān)于103.333.3411/26/20223.333.3411/26/2022113.353.363.3711/26/20223.353.363.3711/26/202212當(dāng)孔徑大小比d；大得多時,P--------1這時物點成僳為一個像點，即理想成像。3.38這就是透鏡振幅點擴散函數(shù)的表達(dá)式，是光瞳函數(shù)的傅立葉譜，即光瞳函數(shù)在像面上的夫瑯和費衍射圖樣的復(fù)振幅分布。該式表明，在近軸條件下透鏡成像系統(tǒng)是空間不變系統(tǒng)。11/26/2022當(dāng)孔徑大小比d；大得多時,P--------1這時物點成僳133.4.2衍射受限系統(tǒng)的的點擴散函數(shù)11/26/20223.4.2衍射受限系統(tǒng)的的點擴散函數(shù)11/26/202214光學(xué)成像系統(tǒng)通常是由多個光學(xué)元件組成。假定光學(xué)成像系統(tǒng)最后將產(chǎn)生一個實像。在此系統(tǒng)的多個元件中，總存在一個實際起限制光束通光孔徑作用的孔徑光闌，這是光學(xué)系統(tǒng)的特征元件之一?？讖焦怅@經(jīng)它前面的光學(xué)元件所成的像就是系統(tǒng)的入瞳，經(jīng)它后面的光學(xué)元件所成的像就是系統(tǒng)的出瞳。兩者是一對等光程共軛面。因此，對于一個無相差的光學(xué)成像系統(tǒng)，由入瞳限制的物方光束必能通過系統(tǒng)，也恰是被出瞳所限制的像方光束。即--把系統(tǒng)的衍射效應(yīng)歸結(jié)于由入瞳引起的或由出瞳引起的，是完全等價的。一、光學(xué)成像系統(tǒng)的黑箱模型

11/26/2022光學(xué)成像系統(tǒng)通常是由多個光學(xué)元件組成。假定光學(xué)成像系統(tǒng)最后將15把任何一個復(fù)雜的光學(xué)成像系統(tǒng)的所有光學(xué)元件裝入一個黑箱中，入瞳和出瞳是它的兩個端面，如圖所示。系統(tǒng)的成像性質(zhì)可以完全用光在端面上的場分布來描述。即實際光學(xué)成像系統(tǒng)對光的衍射效應(yīng)都可以歸結(jié)于黑箱兩端面上入瞳或出瞳的作用，這就是一般光學(xué)成像系統(tǒng)的黑箱模型。11/26/2022把任何一個復(fù)雜的光學(xué)成像系統(tǒng)的所有光學(xué)元件裝入一個黑箱中，入16衍射受限系統(tǒng)——一個不存在任何幾何相差的光學(xué)成像系統(tǒng)，其成像過程只受到有限大小的孔徑衍射的影響物平面上任一物點（x0,y0）發(fā)出的發(fā)散球面波投射在黑箱模型的入瞳上，光波在有限大小的入瞳處發(fā)生衍射，入瞳面上每一點都成為次級子波源，再傳播到出瞳面，疊加后的光波最終在像面上形成以幾何像點為中心的夫瑯和費衍射圖樣。由于入瞳和出瞳的幾何共軛，其對光波的限制作用是等價的。描述其成像過程：11/26/2022衍射受限系統(tǒng)——一個不存在任何幾何相差的光學(xué)成像系統(tǒng)，其成像17空間不變系統(tǒng)——物點在物面上移動時，像面上對應(yīng)的脈沖僅隨之發(fā)生平移而分布形式不變的光學(xué)成像系統(tǒng)。一般實際成像系統(tǒng)通常不滿足空間不變性。因為當(dāng)物點位置不同時，經(jīng)系統(tǒng)后所產(chǎn)生的相差和衍射效應(yīng)也不同。但是，可以把整個像面分割成若干等暈區(qū)，在每個等暈區(qū)內(nèi)認(rèn)為系統(tǒng)是空間不變的。對于等暈區(qū)，系統(tǒng)可以看成是衍射受限的。11/26/2022空間不變系統(tǒng)——物點在物面上移動時，像面上對應(yīng)的脈沖僅隨之發(fā)18幾何像點位置為這就是衍射受限系統(tǒng)點擴散函數(shù)的表達(dá)式，是光瞳函數(shù)的傅立葉譜，即光瞳函數(shù)在像面上的夫瑯和費衍射圖樣的復(fù)振幅分布。物點做變量置換令書本上：3.40衍射受限系統(tǒng)點擴散函數(shù)11/26/2022幾何像點位置為這就是衍射受限系統(tǒng)點擴散函數(shù)的表達(dá)式，是光瞳函19當(dāng)光瞳孔徑比大得多時在坐標(biāo)中，在無限大的區(qū)域內(nèi)可認(rèn)為 的值均為1，并略去積分號前的系數(shù)則3.41和幾何光學(xué)得出的結(jié)論一致書本幾何像點位置為忽略系數(shù)11/26/2022當(dāng)光瞳孔徑比大得多時在坐標(biāo)中，在無限大的區(qū)320

在相干光照明情況下，物面光場分布經(jīng)透鏡后在像面上的光場分布為說明物體的幾何像是物體的準(zhǔn)確再現(xiàn)，像與物是點點對應(yīng)的關(guān)系。但是幾何像不考慮透鏡孔徑衍射效應(yīng)的影響，實際上透鏡孔徑大小總是有限的，因而必須研究實際像的表達(dá)式。對于幾何像有二、正透鏡的成像11/26/2022說明物體的幾何像是物體的準(zhǔn)確再現(xiàn)，像與物是點點對應(yīng)的關(guān)系。但21

在相干光照明情況下，物面光場分布經(jīng)系統(tǒng)后在像面上的光場分布為

對于幾何像有3.423.433.4.3相干光照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律理想像Ug的分布形式與物U。的分布形式是一樣的，只是在x和y，方向放大M倍11/26/2022對于幾何像有3.423.433.4.3相干光照明下衍射受限22若用幾何像的位置坐標(biāo)代替物面坐標(biāo)，則上式的積分運算可在像面上進行，即3.45該式表明，考慮了衍射效應(yīng)后，系統(tǒng)所成的實際像是幾何像與脈沖響應(yīng)在像面上卷積的結(jié)果。衍射效應(yīng)愈強，振幅點擴散函數(shù)的分布愈寬，卷積的平滑作用愈強，系統(tǒng)的分辨率愈低，像質(zhì)下降?？梢?，振幅點擴散函數(shù)確實能夠反映系統(tǒng)的成像質(zhì)量，表征系統(tǒng)的特性，可以用來評價系統(tǒng)的像質(zhì)。11/26/2022若用幾何像的位置坐標(biāo)代替物面坐標(biāo)，則上式的積分運算可在像面上23定標(biāo)器線性不變系統(tǒng)h’U0UgUi=Ug*h’衍射受限成像系統(tǒng)仍可看成線性空間不變系統(tǒng)Ugh’Ui11/26/2022定標(biāo)器線性不變系統(tǒng)h’U0UgUi=Ug*h’衍射受限成像24

忽略積分分號前的系數(shù)3.47這就是衍射受限成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)與光瞳函數(shù)的關(guān)系。由于是空間不變的，可以用xg=0,yg=0的脈沖響應(yīng)表示成像系統(tǒng)的特性，即3.4811/26/2022忽略積分分號前的系數(shù)3.47這就是衍射受限成像系統(tǒng)的點擴散25前面的討論都是在嚴(yán)格單色光照明條件下進行的二、成像系統(tǒng)的線性特性1.相干成像系統(tǒng)2.非相干成像系統(tǒng)結(jié)論：相干成像系統(tǒng)對于復(fù)振幅是線性的。結(jié)論：非相干成像系統(tǒng)對于光強是線性的。點擴散函數(shù)h’脈沖響應(yīng)函數(shù)11/26/2022前面的討論都是在嚴(yán)格單色光照明條件下進行的二、成像系統(tǒng)的線性263.5衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞系數(shù)（CTF）

在相干照明下的衍射受限系統(tǒng)，對復(fù)振幅的傳遞是線性空間不變的；線性空間不變系統(tǒng)的變換特性在頻域中來描述更方便。頻域中描述系統(tǒng)的成像特性的頻譜函數(shù)Hc(fx，fy)稱為衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)，記做CTF。11/26/20223.5衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞系數(shù)（CTF）

在相干照明下的27衍射受限的相干成像系統(tǒng)對于復(fù)振幅是線性的。相干成像系統(tǒng)在頻域中的物像關(guān)系式：一、CTF的概念及其與光瞳函數(shù)的關(guān)系3.4511/26/2022相干成像系統(tǒng)在頻域中的物像關(guān)系式：一、CTF的概念及其與光瞳2811/26/202211/26/202229式中

的自變量所帶的負(fù)號是因一個函數(shù)連續(xù)進行兩次傅立葉變換所產(chǎn)生的，表示CTF正比于反射坐標(biāo)中的光瞳函數(shù)。當(dāng)把光瞳面上坐標(biāo)反向時，這個負(fù)號便可略去。由于一般的光瞳函數(shù)都是對光軸呈中心對稱的，這樣處理不會對結(jié)果產(chǎn)生實質(zhì)性影響。因此3.523.5311/26/2022式中的自變量所帶的負(fù)號是因一個函數(shù)連續(xù)進行兩次傅立葉變換303。光學(xué)系統(tǒng)的作用相當(dāng)于一個低通濾波器。由于光學(xué)成像系統(tǒng)的光瞳大小是有限的，能通過系統(tǒng)的光波的空間頻率也受到限制，把能通過系統(tǒng)的光波最大空間頻率稱為系統(tǒng)的截止頻率，用表示?？臻g頻率低于截止頻率的光波能無衰減地通過系統(tǒng)，而高于截止頻率的光波則完全不能通過系統(tǒng)，表明光學(xué)系統(tǒng)的作用相當(dāng)于一個低通濾波器，通頻帶由光瞳的形狀和尺寸決定。2。相干成像系統(tǒng)的CTF只有兩個取值：1或0。因為成像系統(tǒng)的光瞳函數(shù)只有兩個取值：在光瞳內(nèi)其值為1，在光瞳外其值為0。當(dāng)由決定的的值在光瞳內(nèi)時，，表明這種頻率的光波能無衰減地通過成像系統(tǒng)；當(dāng)由決定的的值在光瞳外時，，表明系統(tǒng)將完全不讓這種頻率的光波通過，即系統(tǒng)對這種頻率是截止的。結(jié)論：1。相干成像系統(tǒng)的CTF等于光瞳函數(shù)，只要將光瞳函數(shù)中的空間坐標(biāo)變量改換成頻域變量即可。11/26/20222。相干成像系統(tǒng)的CTF只有兩個取值：1或0。結(jié)論：11/231二、CTF計算舉例1。圓形光瞳2。方形光瞳11/26/2022二、CTF計算舉例11/26/202232圓形光瞳當(dāng)光學(xué)成像系統(tǒng)的出瞳為直徑等于的圓孔時，其光瞳函數(shù)為圓域函數(shù)的形狀如圖7-5所示。顯然，其截止頻率在所有方向上均為CTF也為圓域函數(shù)11/26/2022圓形光瞳當(dāng)光學(xué)成像系統(tǒng)的出瞳為直徑等于的圓孔時，其光瞳函3311/26/202211/26/202234設(shè)相干成像系統(tǒng)的出射光瞳是邊長為的正方形，此時光瞳函數(shù)為二維矩形函數(shù)方形光瞳于是，由式（7-26）得出系統(tǒng)的CTF也為二維矩形函數(shù)11/26/2022設(shè)相干成像系統(tǒng)的出射光瞳是邊長為的正方形，此時光瞳函數(shù)35系統(tǒng)在方向上的截止頻率為其截止頻率最大。方向上11/26/2022系統(tǒng)在方向上的截止頻率為其截止頻率最36三、簡要說明

結(jié)論：CTF表示光學(xué)成像系統(tǒng)對物分布中空間頻率為的平面諧波的傳遞能力是脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅立葉變換函數(shù)形式與光瞳函數(shù)相同11/26/2022三、簡要說明11/26/2022373.6衍射受限系統(tǒng)的非相干傳遞函數(shù)OTF一、OTF的概念當(dāng)光學(xué)成像系統(tǒng)采用非相干光源照明時，物象上各點的光振動是彼此獨立、與統(tǒng)計無關(guān)的，屬于非相干成像情況。在一定條件下，非相干成像系統(tǒng)對光強分布是線性的，并且是空間不變的；而對物和像的復(fù)振幅分布則是高度非線性的。為了表征這種特征，引入OTF的概念。11/26/20223.6衍射受限系統(tǒng)的非相干傳遞函數(shù)OTF一、OTF的概念38在非相干光照明情況下，光學(xué)成像系統(tǒng)對光強分布是線性的。應(yīng)滿足強度卷積方程式中，—系統(tǒng)的強度脈沖響應(yīng)函數(shù)，或成為強度點擴散函數(shù)。或略去常數(shù)后寫成3.573.5811/26/2022在非相干光照明情況下，光學(xué)成像系統(tǒng)對光強分布是線性的。應(yīng)滿足39式（3.57）是空域中的物象強度關(guān)系式，對它進行傅立葉變換并運用卷積定理可得11/26/2022式（3.57）是空域中的物象強度關(guān)系式，對它進行傅立葉變換并40用式（7-37）除以式（7-38），得必須用零頻分量對它們歸一化，得出歸一化頻譜11/26/2022用式（7-37）除以式（7-38），得必須用零頻分量對它們歸41一般來說，是一個復(fù)函數(shù)，可以寫成如下形式:記為式中，—光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF）。顯然3.6111/26/2022一般來說，是一個復(fù)函數(shù)，可以寫成如下形式:記為42輸出輸入傳遞函數(shù)3.633.643.6211/26/2022輸出輸入傳遞函數(shù)3.633.643.6211/26/2022433.65輸入余玄函數(shù)：輸出1.3.2線性不變系統(tǒng)對余弦函數(shù)的響應(yīng)當(dāng)某線性系統(tǒng)脈沖響應(yīng)h(x)是實函數(shù),則實函數(shù)輸入,得實函數(shù)輸出.如非相干成像系統(tǒng).其傳遞函數(shù)H()是厄米函數(shù),來源--36頁11/26/20223.65輸入余玄函數(shù)：輸出1.3.2線性不變系統(tǒng)對余弦函數(shù)44輸入函數(shù)為復(fù)數(shù)形式余弦輸入產(chǎn)生同頻率的余弦輸出,產(chǎn)生與頻率有關(guān)的衰減和相移:振幅為A(),位相產(chǎn)生為移()*余弦函數(shù)是具有實值脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)輸出函數(shù)為1.4611/26/2022輸入函數(shù)為復(fù)數(shù)形式余弦輸入產(chǎn)生同頻率的余弦輸出,產(chǎn)生與頻率有45i3.663.683.67定義條紋對比度輸入條紋對比度輸出條紋對比度MTF-調(diào)制傳遞函數(shù)PTF-位相傳遞函數(shù),11/26/2022i3.663.683.67定義條紋對比度輸入條紋對比度輸出條46二、OTF和CTF的關(guān)系應(yīng)用自相關(guān)定理可得3.6911/26/2022二、OTF和CTF的關(guān)系應(yīng)用自相關(guān)定理可得3.6911/2647對于相干成像系統(tǒng)，相干傳遞系數(shù)與光瞳函數(shù)之間的關(guān)系為3.6.3OTF與光瞳函數(shù)的關(guān)系對于非相干成像系統(tǒng)，將其代入式（3.69）中可得3.7011/26/20223.6.3OTF與光瞳函數(shù)的關(guān)系對于非相干成像系統(tǒng)，將其48由于光瞳函數(shù)只有1和0兩個取值，因而可以換成。當(dāng)成像系統(tǒng)是不存在像差的衍射受限系統(tǒng)時，是實函數(shù)，因而。于是3.703.7111/26/2022由于光瞳函數(shù)只有1和0兩個取值，因而可以換成49由3.71式可以得出結(jié)論：衍射受限系統(tǒng)的OTF在數(shù)值上等于歸一化的兩個錯位光瞳的重疊面積。顯然，對于不同的空間頻率，兩個光瞳的錯位量不同，歸一化的重疊面積也不同，所以有不同的值。另外還可看出，OTF恒為非負(fù)實數(shù)，但它不一定是頻率的單調(diào)下降函數(shù)。式（3.70）的幾何意義：分母表示光瞳的總面積A，而分子表示兩個錯開的光瞳函數(shù)乘積的積分，恰好是兩個錯開的光瞳重疊部分的面積S，如圖7-7所示。其中一個光瞳的中心在原點，另一個光瞳的中心在圖示處。于是有3.7111/26/2022由3.71式可以得出結(jié)論：衍射受限系統(tǒng)50

四、OTF的一般性質(zhì)4.H是實的非負(fù)的函數(shù).由于11/26/2022四、OTF的一般性質(zhì)4.H是實的非負(fù)的函數(shù).由于11/2511.起因于OTF的歸一化方法，

因為是的歸一化值，而歸一化時是以為標(biāo)準(zhǔn)進行的。由式（3.71）也可看出，因為當(dāng)時，兩個光瞳的錯位量等于0，重疊面積S等于光瞳面積A，因而。這條性質(zhì)表明，物體的零頻成分通過成像系統(tǒng)后保持不變。應(yīng)當(dāng)指出，并不意味著像的均勻背景的絕對強度等于物體均勻背景的絕對強度。實際上，由于成像系統(tǒng)孔徑的大小有限，像的絕對強度總會有所降低。說明3.7111/26/20221.起因于OTF的歸一化方法，522.由式可知，，其中是實函數(shù)。由于實函數(shù)的傅立葉變換是厄米函數(shù)，自然也是厄米函數(shù)，即亦即這表明光學(xué)成像系統(tǒng)的MTF是頻率的偶函數(shù)，其函數(shù)圖形左右對稱；而PTF是頻率的奇函數(shù)，其函數(shù)圖形相對于原點對稱。MTF和PTF的函數(shù)圖形如圖所示。說明11/26/20222.由式可知，，其中533.根據(jù)OTF的歸一化方法，在數(shù)值上等于兩個錯位光瞳重疊面積S與光瞳總面積A之比值，而S總是小于或等于A。這個性質(zhì)在表明，光學(xué)成像系統(tǒng)的作用確實相當(dāng)于一個低通濾波器的作用。說明11/26/20223.根據(jù)OTF的歸一化方法，在數(shù)值上等于兩54五、OTF計算舉例1.方形光瞳11/26/2022五、OTF計算舉例11/26/202255方形光瞳設(shè)衍射受限系統(tǒng)的光瞳是邊長為的正方形，即光瞳函數(shù)式中，—CTF沿方向的截止頻率，即用幾何方法可以求出兩光瞳錯位后的重疊面積（參見圖7-9）顯然，光瞳總面積11/26/2022方形光瞳設(shè)衍射受限系統(tǒng)的光瞳是邊長為的正方形，即光瞳函數(shù)56式所表示的三角形函數(shù)如圖7-10所示。由三角函數(shù)的定義可知，在方向上的截止頻率為由此可見，OTF截止頻率是CTF截止頻率的2倍。在截止頻率內(nèi)，的值不像一樣是常數(shù)1，而是隨空間頻率的增大而減小。11/26/2022式所表示的三角形函數(shù)如圖7-10所示。由三角函數(shù)的定義573.8相干照明與非相干成像系統(tǒng)的比較3.8.1截止頻率

對同一個成像系統(tǒng)，OTF的截止頻率是CTF的截止頻率的兩倍，但并不表明同一個成像系統(tǒng)用非相干照明比用相干照明的成像效果更好。首先，CTF的截止頻率確定的是項中包含的復(fù)振幅分布中的最高頻率分量，而OTF的截止頻率則是反映像的強度分布中的最高頻率分量。兩者描述的對象不是同一物理量，因而不能直接進行比較。無論是想干照明還是非相干照明，通常最終接收的是像的強度分布，因而首先必須將相干照明情況下對傅振幅的描述轉(zhuǎn)換成對光強度的描述，然后通過強度分布來進行比較。其次，由于不同的成像系統(tǒng)用于不同的目的，對成像系統(tǒng)像質(zhì)的要求自然也與應(yīng)用場合有關(guān)。另外，作為最后觀察者的人也會加進更為復(fù)雜的因素。因此，實際上很難提出一個普遍適用的質(zhì)量判據(jù)來作為判斷成像好壞的依據(jù)。結(jié)論與討論11/26/20223.8相干照明與非相干成像系統(tǒng)的比較3.8.1截止頻率

58

在相干照明時像的光強度在非相干照明時像的光強度對上述兩式分別進行傅立葉變換，并應(yīng)用卷積定理和相關(guān)定理，得到3.8.2像的強度頻譜與襯度3.883.893.863.87結(jié)論11/26/2022對上述兩式分別進行傅立葉變換，并應(yīng)用卷積定理和相關(guān)定理，得到59假設(shè)物體是兩個不同類型的一維光柵A和B，它們的振幅透射系數(shù)分別為同時假定其中，—相干截止頻率顯然，物體A和B的強度透過率是相同的，均為為簡單起見，假定成像系統(tǒng)的出瞳為正方形，并且只研究一維情況。11/26/2022假設(shè)物體是兩個不同類型的一維光柵A和B，它們的振幅透射系數(shù)分60討論11/26/2022討論11/26/202261根據(jù)瑞利分辨率準(zhǔn)則，對兩個非相干點光源，若一個點光源產(chǎn)生的愛里斑中心正好落在另一個點光源所產(chǎn)生的愛里斑的第一個暗環(huán)上，則認(rèn)為成像系統(tǒng)對這兩個點光源“剛剛能夠分辨”，此時對應(yīng)的分辨率稱為成像系統(tǒng)的極限分辨率。式中，—出瞳直徑；—相干截止頻率。因此，在幾何像上的最小可分辨間隔為3.8.3兩點間的分辨率3.9111/26/2022式中，—出瞳直徑；因此，在幾何像上的最小可分辨間隔為3.862由圓孔的夫瑯和費衍射理論可知，點像的相對光強度分布應(yīng)滿足式中，J1—一階第一類貝塞爾函數(shù)。圖7-21給出了兩個非相干光源的像強度分布的曲線。由分布曲線可知，其中心凹陷的大小約為最大強度的19%。設(shè)兩個點光源對稱放置在光軸的兩邊，當(dāng)它們正處于極限分辨的情況時，對非相干光源而言，所成像的光強分布應(yīng)為兩光源像光強的非相干疊加，即3.9011/26/2022由圓孔的夫瑯和費衍射理論可知，點像的相對光強度分布應(yīng)滿足圖7633.9211/26/20223.9211/26/202264結(jié)論：相干照明時成像系統(tǒng)對兩點的分辨率強烈地依賴于兩點物的位相差。當(dāng)兩點源同相時，分辨率低于非相干照明；當(dāng)位相差時，分辨率與非相干照明時相同；當(dāng)兩點源反相時，分辨率又高于非相干照明。因此，不能脫離點物的位相分布單純地比較相干成像和非相干成像的極限分辨率，而必須根據(jù)具體情況作具體分析。11/26/2022結(jié)論：相干照明時成像系統(tǒng)對兩點的分辨率強烈地依賴于兩點物的位65第七章光學(xué)成像系統(tǒng)的分析11/26/202211/26/202266第3章光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性3.4----3.811/26/202211/26/2022673.4相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析3.5衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞系數(shù)（CTF）3.6衍射受限系統(tǒng)的

非相干傳遞系數(shù)（OTF）3.7有像差系統(tǒng)的傳遞系數(shù)3.8相干成像和非相干成像的比較11/26/20223.4相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析11/26/202268前言現(xiàn)代光學(xué)中引入了線性系統(tǒng)理論和傅立葉分析方法，對光學(xué)成像過程采用了頻域分析法，把光的傳播看成是波動過程，把成像系統(tǒng)看成是線性低通濾波器。光學(xué)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，而且在一定條件下是線性空間不變系統(tǒng)。對于線性空間不變系統(tǒng)，既可在空域中，也可在頻域中分析它的成像規(guī)律和特性，這兩種描述完全等價。但是頻域分析法可以給出評價成像系統(tǒng)像質(zhì)的客觀指標(biāo)—光學(xué)傳遞系數(shù)OTF，因此已成為研究成像系統(tǒng)特性的重要手段。傳統(tǒng)幾何光學(xué)的基本內(nèi)容是在空域中研究光學(xué)系統(tǒng)的成像規(guī)律，運用光線的概念，并通過光路追跡來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與系統(tǒng)特性及像質(zhì)的關(guān)系。11/26/2022前言現(xiàn)代光學(xué)中引入了線性系統(tǒng)理論和傅立葉分析方法，對光693.4.1透鏡的點擴散函數(shù)3.4.2衍射受限系統(tǒng)的的點擴散函數(shù)3.4.3相干照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律3．4相干照明衍射受限系統(tǒng)的成像分析11/26/20223.4.1透鏡的點擴散函數(shù)3．4相干照明衍射受限系統(tǒng)的成703.4.1透鏡的振幅點擴散函數(shù)目的是求出在什么條件下場分布Ui（xi，yi）可以叫做物分布U0（x0，y0）的像.由于波動傳播的線性性質(zhì)，場分布總可以表示成下述疊加積分。高質(zhì)量成像系統(tǒng)要求Ui與U0相似,所以h函數(shù)近似為函數(shù)。11/26/20223.4.1透鏡的振幅點擴散函數(shù)目的是求出在什么條件下場分7111/26/202211/26/2022721.點光源產(chǎn)生的復(fù)振幅分布在透鏡前平面：2.點光源產(chǎn)生的復(fù)振幅分布在透鏡后平面：3.在透鏡后平面復(fù)振幅傳播到觀察面：合并，忽略常數(shù)位相因子得：11/26/20221.點光源產(chǎn)生的復(fù)振幅分布在透鏡前平面：2.點光源產(chǎn)生的復(fù)振73由于物像平面的共軛關(guān)系滿足高斯公式，選擇觀察面滿足該式。3.313.32=0考慮以下條件可以忽略二次位相因子：11/26/2022由于物像平面的共軛關(guān)系滿足高斯公式，3.313.32=0考慮741。如果是求像平面上的光強分布，可以忽略上式中關(guān)于的二次相位因子。討論2。只有當(dāng)透鏡孔徑足夠大，物平面上每一點在像平面上形成的復(fù)振幅分布范圍相當(dāng)小，而這個范圍又是以物點的共軛像點為中心時，才可近似認(rèn)為在該范圍內(nèi)不變，從而略去式中關(guān)于的二次位相因子。11/26/20221。如果是求像平面上的光強分布，可以忽略上式中關(guān)于753.333.3411/26/20223.333.3411/26/2022763.353.363.3711/26/20223.353.363.3711/26/202277當(dāng)孔徑大小比d；大得多時,P--------1這時物點成僳為一個像點，即理想成像。3.38這就是透鏡振幅點擴散函數(shù)的表達(dá)式，是光瞳函數(shù)的傅立葉譜，即光瞳函數(shù)在像面上的夫瑯和費衍射圖樣的復(fù)振幅分布。該式表明，在近軸條件下透鏡成像系統(tǒng)是空間不變系統(tǒng)。11/26/2022當(dāng)孔徑大小比d；大得多時,P--------1這時物點成僳783.4.2衍射受限系統(tǒng)的的點擴散函數(shù)11/26/20223.4.2衍射受限系統(tǒng)的的點擴散函數(shù)11/26/202279光學(xué)成像系統(tǒng)通常是由多個光學(xué)元件組成。假定光學(xué)成像系統(tǒng)最后將產(chǎn)生一個實像。在此系統(tǒng)的多個元件中，總存在一個實際起限制光束通光孔徑作用的孔徑光闌，這是光學(xué)系統(tǒng)的特征元件之一?？讖焦怅@經(jīng)它前面的光學(xué)元件所成的像就是系統(tǒng)的入瞳，經(jīng)它后面的光學(xué)元件所成的像就是系統(tǒng)的出瞳。兩者是一對等光程共軛面。因此，對于一個無相差的光學(xué)成像系統(tǒng)，由入瞳限制的物方光束必能通過系統(tǒng)，也恰是被出瞳所限制的像方光束。即--把系統(tǒng)的衍射效應(yīng)歸結(jié)于由入瞳引起的或由出瞳引起的，是完全等價的。一、光學(xué)成像系統(tǒng)的黑箱模型

11/26/2022光學(xué)成像系統(tǒng)通常是由多個光學(xué)元件組成。假定光學(xué)成像系統(tǒng)最后將80把任何一個復(fù)雜的光學(xué)成像系統(tǒng)的所有光學(xué)元件裝入一個黑箱中，入瞳和出瞳是它的兩個端面，如圖所示。系統(tǒng)的成像性質(zhì)可以完全用光在端面上的場分布來描述。即實際光學(xué)成像系統(tǒng)對光的衍射效應(yīng)都可以歸結(jié)于黑箱兩端面上入瞳或出瞳的作用，這就是一般光學(xué)成像系統(tǒng)的黑箱模型。11/26/2022把任何一個復(fù)雜的光學(xué)成像系統(tǒng)的所有光學(xué)元件裝入一個黑箱中，入81衍射受限系統(tǒng)——一個不存在任何幾何相差的光學(xué)成像系統(tǒng)，其成像過程只受到有限大小的孔徑衍射的影響物平面上任一物點（x0,y0）發(fā)出的發(fā)散球面波投射在黑箱模型的入瞳上，光波在有限大小的入瞳處發(fā)生衍射，入瞳面上每一點都成為次級子波源，再傳播到出瞳面，疊加后的光波最終在像面上形成以幾何像點為中心的夫瑯和費衍射圖樣。由于入瞳和出瞳的幾何共軛，其對光波的限制作用是等價的。描述其成像過程：11/26/2022衍射受限系統(tǒng)——一個不存在任何幾何相差的光學(xué)成像系統(tǒng)，其成像82空間不變系統(tǒng)——物點在物面上移動時，像面上對應(yīng)的脈沖僅隨之發(fā)生平移而分布形式不變的光學(xué)成像系統(tǒng)。一般實際成像系統(tǒng)通常不滿足空間不變性。因為當(dāng)物點位置不同時，經(jīng)系統(tǒng)后所產(chǎn)生的相差和衍射效應(yīng)也不同。但是，可以把整個像面分割成若干等暈區(qū)，在每個等暈區(qū)內(nèi)認(rèn)為系統(tǒng)是空間不變的。對于等暈區(qū)，系統(tǒng)可以看成是衍射受限的。11/26/2022空間不變系統(tǒng)——物點在物面上移動時，像面上對應(yīng)的脈沖僅隨之發(fā)83幾何像點位置為這就是衍射受限系統(tǒng)點擴散函數(shù)的表達(dá)式，是光瞳函數(shù)的傅立葉譜，即光瞳函數(shù)在像面上的夫瑯和費衍射圖樣的復(fù)振幅分布。物點做變量置換令書本上：3.40衍射受限系統(tǒng)點擴散函數(shù)11/26/2022幾何像點位置為這就是衍射受限系統(tǒng)點擴散函數(shù)的表達(dá)式，是光瞳函84當(dāng)光瞳孔徑比大得多時在坐標(biāo)中，在無限大的區(qū)域內(nèi)可認(rèn)為 的值均為1，并略去積分號前的系數(shù)則3.41和幾何光學(xué)得出的結(jié)論一致書本幾何像點位置為忽略系數(shù)11/26/2022當(dāng)光瞳孔徑比大得多時在坐標(biāo)中，在無限大的區(qū)385

在相干光照明情況下，物面光場分布經(jīng)透鏡后在像面上的光場分布為說明物體的幾何像是物體的準(zhǔn)確再現(xiàn)，像與物是點點對應(yīng)的關(guān)系。但是幾何像不考慮透鏡孔徑衍射效應(yīng)的影響，實際上透鏡孔徑大小總是有限的，因而必須研究實際像的表達(dá)式。對于幾何像有二、正透鏡的成像11/26/2022說明物體的幾何像是物體的準(zhǔn)確再現(xiàn)，像與物是點點對應(yīng)的關(guān)系。但86

在相干光照明情況下，物面光場分布經(jīng)系統(tǒng)后在像面上的光場分布為

對于幾何像有3.423.433.4.3相干光照明下衍射受限系統(tǒng)的成像規(guī)律理想像Ug的分布形式與物U。的分布形式是一樣的，只是在x和y，方向放大M倍11/26/2022對于幾何像有3.423.433.4.3相干光照明下衍射受限87若用幾何像的位置坐標(biāo)代替物面坐標(biāo)，則上式的積分運算可在像面上進行，即3.45該式表明，考慮了衍射效應(yīng)后，系統(tǒng)所成的實際像是幾何像與脈沖響應(yīng)在像面上卷積的結(jié)果。衍射效應(yīng)愈強，振幅點擴散函數(shù)的分布愈寬，卷積的平滑作用愈強，系統(tǒng)的分辨率愈低，像質(zhì)下降。可見，振幅點擴散函數(shù)確實能夠反映系統(tǒng)的成像質(zhì)量，表征系統(tǒng)的特性，可以用來評價系統(tǒng)的像質(zhì)。11/26/2022若用幾何像的位置坐標(biāo)代替物面坐標(biāo)，則上式的積分運算可在像面上88定標(biāo)器線性不變系統(tǒng)h’U0UgUi=Ug*h’衍射受限成像系統(tǒng)仍可看成線性空間不變系統(tǒng)Ugh’Ui11/26/2022定標(biāo)器線性不變系統(tǒng)h’U0UgUi=Ug*h’衍射受限成像89

忽略積分分號前的系數(shù)3.47這就是衍射受限成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)與光瞳函數(shù)的關(guān)系。由于是空間不變的，可以用xg=0,yg=0的脈沖響應(yīng)表示成像系統(tǒng)的特性，即3.4811/26/2022忽略積分分號前的系數(shù)3.47這就是衍射受限成像系統(tǒng)的點擴散90前面的討論都是在嚴(yán)格單色光照明條件下進行的二、成像系統(tǒng)的線性特性1.相干成像系統(tǒng)2.非相干成像系統(tǒng)結(jié)論：相干成像系統(tǒng)對于復(fù)振幅是線性的。結(jié)論：非相干成像系統(tǒng)對于光強是線性的。點擴散函數(shù)h’脈沖響應(yīng)函數(shù)11/26/2022前面的討論都是在嚴(yán)格單色光照明條件下進行的二、成像系統(tǒng)的線性913.5衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞系數(shù)（CTF）

在相干照明下的衍射受限系統(tǒng)，對復(fù)振幅的傳遞是線性空間不變的；線性空間不變系統(tǒng)的變換特性在頻域中來描述更方便。頻域中描述系統(tǒng)的成像特性的頻譜函數(shù)Hc(fx，fy)稱為衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)，記做CTF。11/26/20223.5衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞系數(shù)（CTF）

在相干照明下的92衍射受限的相干成像系統(tǒng)對于復(fù)振幅是線性的。相干成像系統(tǒng)在頻域中的物像關(guān)系式：一、CTF的概念及其與光瞳函數(shù)的關(guān)系3.4511/26/2022相干成像系統(tǒng)在頻域中的物像關(guān)系式：一、CTF的概念及其與光瞳9311/26/202211/26/202294式中

的自變量所帶的負(fù)號是因一個函數(shù)連續(xù)進行兩次傅立葉變換所產(chǎn)生的，表示CTF正比于反射坐標(biāo)中的光瞳函數(shù)。當(dāng)把光瞳面上坐標(biāo)反向時，這個負(fù)號便可略去。由于一般的光瞳函數(shù)都是對光軸呈中心對稱的，這樣處理不會對結(jié)果產(chǎn)生實質(zhì)性影響。因此3.523.5311/26/2022式中的自變量所帶的負(fù)號是因一個函數(shù)連續(xù)進行兩次傅立葉變換953。光學(xué)系統(tǒng)的作用相當(dāng)于一個低通濾波器。由于光學(xué)成像系統(tǒng)的光瞳大小是有限的，能通過系統(tǒng)的光波的空間頻率也受到限制，把能通過系統(tǒng)的光波最大空間頻率稱為系統(tǒng)的截止頻率，用表示?？臻g頻率低于截止頻率的光波能無衰減地通過系統(tǒng)，而高于截止頻率的光波則完全不能通過系統(tǒng)，表明光學(xué)系統(tǒng)的作用相當(dāng)于一個低通濾波器，通頻帶由光瞳的形狀和尺寸決定。2。相干成像系統(tǒng)的CTF只有兩個取值：1或0。因為成像系統(tǒng)的光瞳函數(shù)只有兩個取值：在光瞳內(nèi)其值為1，在光瞳外其值為0。當(dāng)由決定的的值在光瞳內(nèi)時，，表明這種頻率的光波能無衰減地通過成像系統(tǒng)；當(dāng)由決定的的值在光瞳外時，，表明系統(tǒng)將完全不讓這種頻率的光波通過，即系統(tǒng)對這種頻率是截止的。結(jié)論：1。相干成像系統(tǒng)的CTF等于光瞳函數(shù)，只要將光瞳函數(shù)中的空間坐標(biāo)變量改換成頻域變量即可。11/26/20222。相干成像系統(tǒng)的CTF只有兩個取值：1或0。結(jié)論：11/296二、CTF計算舉例1。圓形光瞳2。方形光瞳11/26/2022二、CTF計算舉例11/26/202297圓形光瞳當(dāng)光學(xué)成像系統(tǒng)的出瞳為直徑等于的圓孔時，其光瞳函數(shù)為圓域函數(shù)的形狀如圖7-5所示。顯然，其截止頻率在所有方向上均為CTF也為圓域函數(shù)11/26/2022圓形光瞳當(dāng)光學(xué)成像系統(tǒng)的出瞳為直徑等于的圓孔時，其光瞳函9811/26/202211/26/202299設(shè)相干成像系統(tǒng)的出射光瞳是邊長為的正方形，此時光瞳函數(shù)為二維矩形函數(shù)方形光瞳于是，由式（7-26）得出系統(tǒng)的CTF也為二維矩形函數(shù)11/26/2022設(shè)相干成像系統(tǒng)的出射光瞳是邊長為的正方形，此時光瞳函數(shù)100系統(tǒng)在方向上的截止頻率為其截止頻率最大。方向上11/26/2022系統(tǒng)在方向上的截止頻率為其截止頻率最101三、簡要說明

結(jié)論：CTF表示光學(xué)成像系統(tǒng)對物分布中空間頻率為的平面諧波的傳遞能力是脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅立葉變換函數(shù)形式與光瞳函數(shù)相同11/26/2022三、簡要說明11/26/20221023.6衍射受限系統(tǒng)的非相干傳遞函數(shù)OTF一、OTF的概念當(dāng)光學(xué)成像系統(tǒng)采用非相干光源照明時，物象上各點的光振動是彼此獨立、與統(tǒng)計無關(guān)的，屬于非相干成像情況。在一定條件下，非相干成像系統(tǒng)對光強分布是線性的，并且是空間不變的；而對物和像的復(fù)振幅分布則是高度非線性的。為了表征這種特征，引入OTF的概念。11/26/20223.6衍射受限系統(tǒng)的非相干傳遞函數(shù)OTF一、OTF的概念103在非相干光照明情況下，光學(xué)成像系統(tǒng)對光強分布是線性的。應(yīng)滿足強度卷積方程式中，—系統(tǒng)的強度脈沖響應(yīng)函數(shù)，或成為強度點擴散函數(shù)?；蚵匀コ?shù)后寫成3.573.5811/26/2022在非相干光照明情況下，光學(xué)成像系統(tǒng)對光強分布是線性的。應(yīng)滿足104式（3.57）是空域中的物象強度關(guān)系式，對它進行傅立葉變換并運用卷積定理可得11/26/2022式（3.57）是空域中的物象強度關(guān)系式，對它進行傅立葉變換并105用式（7-37）除以式（7-38），得必須用零頻分量對它們歸一化，得出歸一化頻譜11/26/2022用式（7-37）除以式（7-38），得必須用零頻分量對它們歸106一般來說，是一個復(fù)函數(shù)，可以寫成如下形式:記為式中，—光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF）。顯然3.6111/26/2022一般來說，是一個復(fù)函數(shù)，可以寫成如下形式:記為107輸出輸入傳遞函數(shù)3.633.643.6211/26/2022輸出輸入傳遞函數(shù)3.633.643.6211/26/20221083.65輸入余玄函數(shù)：輸出1.3.2線性不變系統(tǒng)對余弦函數(shù)的響應(yīng)當(dāng)某線性系統(tǒng)脈沖響應(yīng)h(x)是實函數(shù),則實函數(shù)輸入,得實函數(shù)輸出.如非相干成像系統(tǒng).其傳遞函數(shù)H()是厄米函數(shù),來源--36頁11/26/20223.65輸入余玄函數(shù)：輸出1.3.2線性不變系統(tǒng)對余弦函數(shù)109輸入函數(shù)為復(fù)數(shù)形式余弦輸入產(chǎn)生同頻率的余弦輸出,產(chǎn)生與頻率有關(guān)的衰減和相移:振幅為A(),位相產(chǎn)生為移()*余弦函數(shù)是具有實值脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)輸出函數(shù)為1.4611/26/2022輸入函數(shù)為復(fù)數(shù)形式余弦輸入產(chǎn)生同頻率的余弦輸出,產(chǎn)生與頻率有110i3.663.683.67定義條紋對比度輸入條紋對比度輸出條紋對比度MTF-調(diào)制傳遞函數(shù)PTF-位相傳遞函數(shù),11/26/2022i3.663.683.67定義條紋對比度輸入條紋對比度輸出條111二、OTF和CTF的關(guān)系應(yīng)用自相關(guān)定理可得3.6911/26/2022二、OTF和CTF的關(guān)系應(yīng)用自相關(guān)定理可得3.6911/26112對于相干成像系統(tǒng)，相干傳遞系數(shù)與光瞳函數(shù)之間的關(guān)系為3.6.3OTF與光瞳函數(shù)的關(guān)系對于非相干成像系統(tǒng)，將其代入式（3.69）中可得3.7011/26/20223.6.3OTF與光瞳函數(shù)的關(guān)系對于非相干成像系統(tǒng)，將其113由于光瞳函數(shù)只有1和0兩個取值，因而可以換成。當(dāng)成像系統(tǒng)是不存在像差的衍射受限系統(tǒng)時，是實函數(shù)，因而。于是3.703.7111/26/2022由于光瞳函數(shù)只有1和0兩個取值，因而可以換成114由3.71式可以得出結(jié)論：衍射受限系統(tǒng)的OTF在數(shù)值上等于歸一化的兩個錯位光瞳的重疊面積。顯然，對于不同的空間頻率，兩個光瞳的錯位量不同，歸一化的重疊面積也不同，所以有不同的值。另外還可看出，OTF恒為非負(fù)實數(shù)，但它不一定是頻率的單調(diào)下降函數(shù)。式（3.70）的幾何意義：分母表示光瞳的總面積A，而分子表示兩個錯開的光瞳函數(shù)乘積的積分，恰好是兩個錯開的光瞳重疊部分的面積S，如圖7-7所示。其中一個光瞳的中心在原點，另一個光瞳的中心在圖示處。于是有3.7111/26/2022由3.71式可以得出結(jié)論：衍射受限系統(tǒng)115

四、OTF的一般性質(zhì)4.H是實的非負(fù)的函數(shù).由于11/26/2022四、OTF的一般性質(zhì)4.H是實的非負(fù)的函數(shù).由于11/21161.起因于OTF的歸一化方法，

因為是的歸一化值，而歸一化時是以為標(biāo)準(zhǔn)進行的。由式（3.71）也可看出，因為當(dāng)時，兩個光瞳的錯位量等于0，重疊面積S等于光瞳面積A，因而。這條性質(zhì)表明，物體的零頻成分通過成像系統(tǒng)后保持不變。應(yīng)當(dāng)指出，并不意味著像的均勻背景的絕對強度等于物體均勻背景的絕對強度。實際上，由于成像系統(tǒng)孔徑的大小有限，像的絕對強度總會有所降低。說明3.7111/26/20221.起因于OTF的歸一化方法，1172.由式可知，，其中是實函數(shù)。由于實函數(shù)的傅立葉變換是厄米函數(shù)，自然也是厄米函數(shù)，即亦即這表明光學(xué)成像系統(tǒng)的MTF是頻率的偶函數(shù)，其函數(shù)圖形左右對稱；而PTF是頻率的奇函數(shù)，其函數(shù)圖形相對于原點對稱。MTF和PTF的函數(shù)圖形如圖所示。說明11/26/20222.由式可知，