數(shù)學(xué)新教材解讀及考點(diǎn)剖析專題08 利用空間向量空間距離的求解

專題08利用空間向量空間距離的求解新教材新增內(nèi)容背景分析:投影向量的幾何意義和代數(shù)表示，不僅為研究立體幾何的距離問(wèn)題提供了便利，而且還提供了研究距離的方法.在研究距離問(wèn)題時(shí)，參考向量、它的投影向量、二者的差，構(gòu)成直角三角形，這樣，利用勾股定理，結(jié)合空間向量的運(yùn)算，距離問(wèn)題也就迎刃而解.運(yùn)用向量運(yùn)算求解空間距離的原理的推導(dǎo)主要是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，將空間距離的向量語(yǔ)言表述應(yīng)用于立體幾何問(wèn)題則培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).通過(guò)對(duì)立體幾何問(wèn)題的解決，使得學(xué)生首先會(huì)用表達(dá)式、并通過(guò)練習(xí)實(shí)現(xiàn)學(xué)生達(dá)到熟練掌握運(yùn)算方法、技巧的能力.向量法求距離的公式距離問(wèn)題圖示向量法的距離公式兩點(diǎn)間距離點(diǎn)到直線的距離兩平行直線之間的距離點(diǎn)到平面的距離在處理距離問(wèn)題時(shí)，投影向量和勾股定理的使用是關(guān)鍵．新增內(nèi)容的考查分析1求點(diǎn)點(diǎn)距離【考法示例1】1.已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，AA1＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，則A1C的長(zhǎng)為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算可知，再利用平方后的數(shù)量積公式計(jì)算結(jié)果.【詳解】，所以A1C＝.故答案為：2.求點(diǎn)線距離【考法示例1】2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先求夾角的余弦，再求點(diǎn)A到直線BE的距離.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.故點(diǎn)A到直線BE的距離d＝||sinθ＝2×.故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到線距離的向量求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.【考法示例2】3.如圖所示，ABCD-EFGH為邊長(zhǎng)等于1的正方體，若P點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿足，則P點(diǎn)到直線AB的距離為________．【答案】【解析】【分析】過(guò)P作PM⊥平面ABCD于M，過(guò)M作MN⊥AB于N，連接PN，則PN即為所求，由已知可得，即可求出.【詳解】解析：過(guò)P作PM⊥平面ABCD于M，過(guò)M作MN⊥AB于N，連接PN，則PN即為所求，如圖所示．因?yàn)?，所以，所?即P點(diǎn)到直線AB的距離為.故答案為：.【考法示例3】4.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為.【答案】【解析】【詳解】點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長(zhǎng)度的最小值，當(dāng)P′C⊥DE時(shí)，P′C的長(zhǎng)度最小，此時(shí)P′C＝＝.視頻3.求點(diǎn)面的距離【考法示例1】5.在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為空間直角坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)點(diǎn)面距離公式，計(jì)算點(diǎn)到平面的距離.【詳解】以為空間直角坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于是中點(diǎn)，故，且，設(shè)是平面的法向量，故，故可設(shè)，故到平面的距離.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用空間向量計(jì)算點(diǎn)到面的距離.計(jì)算過(guò)程中要先求得平面的法向量.屬于基礎(chǔ)題.【考法示例2】6.已知四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，分別是邊的中點(diǎn)，垂直于正方形所在平面，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，交于，交于，過(guò)作，垂足為，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的長(zhǎng)度，根據(jù)兩個(gè)直角三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可解得結(jié)果.【詳解】如圖：連接，交于，交于，因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫云矫妫渣c(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫妫?，又，，所以平面，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過(guò)作，垂足為，則平面，則為點(diǎn)到平面的距離，在直角三角形和直角三角形中，，所以，所以，所以，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為4，所以，，，所以.所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定，考查了平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查了直線與平面平行的判定，考查了求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題.【考法示例3】7.如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中點(diǎn)，試問(wèn)在A1B上是否存在一點(diǎn)E，使得點(diǎn)A1到平面AED的距離為？【答案】存在點(diǎn)E且當(dāng)點(diǎn)E為A1B的中點(diǎn)時(shí)，A1到平面AED的距離為.【解析】【分析】由題知可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算求出即可.【詳解】解：如圖以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸和z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，設(shè)＝λ，λ∈[0，1)，則E(2λ，2(1－λ)，2λ)．又＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，設(shè)為平面AED的法向量，則?取x＝1，則y＝，z＝2，即，由于d＝＝，∴＝，又λ∈(0，1)，解得λ＝，所以，存在點(diǎn)E且當(dāng)點(diǎn)E為A1B的中點(diǎn)時(shí)，A1到平面AED的距離為.4.求線面距離【考法示例1】8.如圖在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到直線的距離．（2）判斷直線與平面的位置關(guān)系；如果平行，求直線到平面的距離．【答案】（1）；（2）平行，．【解析】【分析】（1）首先如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，利用公式求點(diǎn)到直線的距離；（2）利用線面平行，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，求平面的法向量，結(jié)合向量公式，即可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】解：以D1為原點(diǎn)，D1A1，D1C1，D1D所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，，0)，F(xiàn)(1，，1)，（1）取a＝，u＝，則，所以，點(diǎn)B到直線AC1的距離為．（2）因?yàn)椋訤C//EC1，所以FC//平面AEC1．所以點(diǎn)F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離．設(shè)平面AEC1的法向量為，則所以所以取z＝1，則x＝1，y＝2．所以，是平面AEC1的一個(gè)法向量．又因?yàn)?，所以點(diǎn)F到平面AEC1的距離為＝＝．即直線FC到平面AEC1的距離為．【總結(jié)】1.求直線到平面的距離、兩平行平面間的距離問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，都等于向量在平面單位法向量方向上投影向量的長(zhǎng)度，即2.用向量法解決距離問(wèn)題的“三步曲”①建立空間直角坐標(biāo)系，求有關(guān)向量坐標(biāo)——將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；②使用距離的向量計(jì)算公式——向量的運(yùn)算與求解；③得到所求距離——回到幾何圖形，得到結(jié)論．新增內(nèi)容的針對(duì)訓(xùn)練9.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長(zhǎng)為A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，設(shè)AD＝a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)，設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為＝(x，y，z)．則?，令z＝－1，得＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個(gè)法向量為(0,1,0)，則由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.10.若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，則線段AB的中點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再利用三角形減法法則求的坐標(biāo)，再求||即得解.【詳解】由題意＝(＋)＝，＝－＝，||＝.故答案為D【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量的三角形法則和平行四邊形法則，考查向量的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.11.在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長(zhǎng)為的正方體，則的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F之間的距離為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可以求出的坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求出兩點(diǎn)間的距離.【詳解】由題易知，則.易知，∴.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間兩點(diǎn)間的距離，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.12.長(zhǎng)方體中，，，則點(diǎn)到直線的距離為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算，，再計(jì)算距離得到答案.【詳解】，，到直線的距離為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間向量計(jì)算距離，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.13.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，O是底面的中心，則O到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過(guò)作的平行線，交于，則到平面的距離即為到平面的距離．作于，進(jìn)而可知平面，進(jìn)而根據(jù)求得．【詳解】解：過(guò)作的平行線，交于，則到平面的距離即為到平面的距離．作于，易證平面，可求得．故選：A．14.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面的法向量，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.又，點(diǎn)到平面的距離，故選：.【點(diǎn)睛】本題用向量法求點(diǎn)到平面的距離，我們也可以用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)然也可以找到這個(gè)垂線段，然后放在直角三角形中去求.15.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)D到平面PEF的距離；（2）求直線AC到平面PEF的距離