高二數(shù)學(xué)選修變化率問題與導(dǎo)數(shù)概念

高中高二數(shù)學(xué)選修變化率問題與導(dǎo)數(shù)的看法高中高二數(shù)學(xué)選修變化率問題與導(dǎo)數(shù)的看法高中高二數(shù)學(xué)選修變化率問題與導(dǎo)數(shù)的看法3.1.1變化率問題與導(dǎo)數(shù)的看法一、選擇題1．在函數(shù)變化率的定義中，自變量的增量

x滿足(

)A．

x＜0

B．

x＞0C．

x＝0

D．

x≠0[答案]

D[剖析]

自變量的增量

x可正、可負，但不可以為

0.2．函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)是()．在該點的函數(shù)的增量與自變量的增量的比B．一個函數(shù)C．一個常數(shù)，不是變數(shù)D．函數(shù)在這一點到它周邊一點之間的平均變化率[答案]C[剖析]由導(dǎo)數(shù)定義可知，函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)，就是平均變化率的極限值．3．在x＝1周邊，取x＝，在四個函數(shù)①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1中，平均變化率x最大的是()A．④B．③C．②D．①[答案]B[剖析]①的平均變化率為1，②的平均變化率為，③的平均變化率為，④的平均變化率為－0.77.4．質(zhì)點M的運動規(guī)律為s＝2在t＝t0時的速度為()4t＋4t，則質(zhì)點MA．4＋4t0B．0C．8t0＋4D．4t0＋4t02[答案]C[剖析]0＋020t，s＝s(tt)－s(t)＝4t＋4t＋8tst＝4t＋4＋8t0，slim＝lim(4t＋4＋8t0)＝4＋8t0.t→0tt→05．函數(shù)y＝x＋1x在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是()5A．2B.2C．1D．0[答案]D[剖析]y＝(x＋1)＋1－1＝x＋－x－1，x＋1x＋1y1x＝1－x＋1，limy1＝1－1＝0，＝lim1－1x→0xx→0x＋1∴函數(shù)y＝x＋x在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為0.6．函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)自變量x由x0改變到x0＋x時，y＝()A．f(x0＋x)B．f(x0)＋xC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋x)－f(x0)[答案]D[剖析]y看作相對于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋x)－f(x0)代替．7．一個物體的運動方程是s＝3＋t2，則物體在t＝2時的瞬時速度為()A．3B．4C．5D．7[答案]B[剖析]3＋(2＋t)2－3－22limtt→0＝limt2＋4tt＋4)＝4.t＝lim(t→0t→08．f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，則f(x0＋x)－f(x0)()limxx→0A．與x0，x有關(guān)B．僅與x0有關(guān)，而與x沒關(guān)C．僅與x有關(guān)，而與x0沒關(guān)D．與x0，x均沒關(guān)[答案]Bf(x0＋x)－f(x0)[剖析]式子limx表示的意義是求f′(x0)，即求f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，它x→0僅與x0有關(guān)，與x沒關(guān)．29．設(shè)函數(shù)f(x)在點x0周邊有定義，且有f(x0＋x)－f(x0)＝ax＋b(x)(a，b為常數(shù))，則()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b[答案]C[剖析]f(x0＋x)－f(x0)∵f′(x0)＝limxx→0ax＋b(x)2(a＋bx)＝a.＝limx＝limx→0x→0f′(x0)＝a.10．f(x)在x＝a處可導(dǎo)，則limf(a＋3h)－f(a－h(huán))等于()h→02h1A．f′(a)B.2f′(a)C．4f′(a)D．2f′(a)[答案]D[剖析]limf(a＋3h)－f(a－h(huán))2hh→0＝limf(a＋3h)－f(a)＋f(a)－f(a－h(huán))2hh→03f(a＋3h)－f(a)1f(a)－f(a－h(huán))＝lim3h＋limh2h→02h→0312f′(a)＋2f′(a)＝2f′(a)．二、填空題11．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，則limf(x0＋2x)－f(x0)＝________.xx→0[答案]8[剖析]limf(x0＋2x)－f(x0)xx→0f(x0＋2x)－f(x0＝2lim)＝2f′(x0x→02x)＝8.12．某物體做勻速運動，其運動方程是s＝vt＋b，則該物體在運動過程中其平均速度與任何時辰的瞬時速度關(guān)系是________．[答案]相等[剖析]v0＝limss(t0＋t)－s(t0)t＝limtt→0t→00＋t)－vt0v·Δt＝lim＝limtt＝v.t→0t→013．設(shè)x0∈(a，b)，y＝f(x)在x0處可導(dǎo)是y＝f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的________條件．[答案]必要不充分[剖析]y＝f(x)在x0∈(a，b)處可導(dǎo)不用然在(a，b)的所有點處可導(dǎo)，反之，y＝f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，必然在(a，b)中的x0處可導(dǎo)．214．一球沿斜面自由滾下，其運動方程是S＝t(S的單位：m，t的單位：s)，則小球在t＝5時的瞬時速度為______．[答案]10m/sS(5＋x)－S(5)[剖析]t＝5＝limx＝lim(10＋x)＝10(m/s)．v＝S′|x→0x→0三、解答題1215．一物體作自由落體運動，已知s＝s(t)＝2gt.(1)計算t從3秒到3.1秒、3.01秒，兩段內(nèi)的平均速度；(2)求t＝3秒時的瞬時速度．12121[剖析](1)取一小段時間[3,3＋t]，此時物體的地址改變量s＝2g(3＋t)－2g·3＝2g(6＋t)t，g相應(yīng)的平均速度v＝t＝2(6＋t)t＝0.1時，即t從3秒到3.1秒v＝；當(dāng)t＝時，即t從3秒到秒v＝3.005g.t越小，v就越湊近時辰t的速度．(2)v＝lims＝limg(6＋t)＝3g＝t→0tt→0216．若f′(x)＝A，求lim→f(x＋h)－f(x－2h)h.h0f(x＋h)－f(x)＋f(x)－f(x－2h)[剖析]原式＝limh→0h＝limf(x＋h)－f(x)f(x－2h)－f(x)h＋lim2·h→0h→0－2hA＋2A＝3A.17．求函數(shù)y＝x在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．[剖析]解法一：(導(dǎo)數(shù)定義法)y＝1＋x－1，y1＋x－11x＝x＝，1＋x＋1所以lim11，＝x→01＋x＋121y′|x＝1＝2.解法二：(導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法)y＝x＋x－x，yx＋x－x1x＝x＝.x＋x＋x所以y′＝limy＝lim1＝1，x→0xx→0x＋x＋x2x1故y′|x＝1＝2.18．路燈距地面8m，一個身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影C沿某直線走開路燈，(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系式；(2)求人走開路燈第10秒時身影的瞬時變化率．[剖析](1)以下列圖，設(shè)人從C點運動到B處的行程為xm，AB為身影長度，AB的長度為ym.ABBE由于CD∥BE，則