第三章波動方程初值問題與行波法

數學物理方法海洋大學海洋與氣象學院：：第3章波動方程與行波法、降維法§3.1

一維波動方程一.

d’Alembert公式推導二.

d’Alembert公式物理意義三.

依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域四.

半

弦

振動問題§4.2

三維波動方程

問題一.三維波動方程和球對稱解二.三維波動方程的Poisson公式和球對稱解行波法——d’Alembert公式d’Alembert(1717.11.17~1783.10.29)

法國著名的物理學家、數學家和天文學家，最著名的有8卷巨著《數學手冊》、力學專著《動力

學》、23卷的《

》、《百科全書》的序言等。他的很多研究成果記載于《宇宙體系的幾個要點研究》中。一維波動方程定解問題弦

振動*

弦強迫振動半

弦

振動*半

弦強迫振動三維波動方程定解問題二維波動方程的定解問題球對稱情形*一般情形球面平均法行波法降維法有限弦振動問題§3.1

一維波動方程一.d’Alembert公式推導初始位移

(

x)，初始速度

(

x)的

弦

振動2ttxxt

0t t

0u

a

u

0 (

x

,

t

0)u

(

x),

u

(

x),

x

初值問題(Cauchy問題)我們可以求出方程的通解,考慮變量代換

x

at

x

at利用復合函數求導法則得u

u

u

u

ux

x

x

2u

u

u

u

u

x2

x

x

2u

2u

2u

2

2

2為什么？同理可得：2)a2

(u2

2u

t

22u

2u

2

2將兩式代入原方程,可得：

2u

0連續(xù)積分兩次得u

,

F

G

其中

F

,

G

是任意二次連續(xù)可微函數，即有u

x,

t

F

x

at

G

x

at

注：u

x,t

F

x

at

G

x

at

是方程u

a2u

(

x

,

t

0)tt

xx的通解,它包含兩個任意函數。對無限長的

振動,

利用初始條件,

則：u

|t

0

F

x

G

x

x

ut

|t

0

aF

'

x

aG

'

x

x

u

|t

0

F

x

G

x

x

ut

|t

0

aF

'

x

aG

'

x

x

兩端對x

積分，可得：01xa

xF

x

G

x

d

C

11212x2a

x0C2C212a

x

F

x

G

x

x

d

d

xx0由此即得原定解問題的解:112xat2a

xatu

x,

t

[

x

at

x

at

]

d無限長弦振動的達朗貝爾(d’Alembert)公式.行波法小結

(注：行波法僅適用于雙曲型方程)：：2.特征方程與特征根2

2u

2

2u

0 (

x

,

t

0)t

a

x21.波動方程：u(

x,0)

(

x),

ut

(

x,0)

(

x)

2

a2

0

a

x

at

=x

at變量替換解方程：

2u

0

u

F

(

x

at

)

G(

x

at

)5.利用初始條件解F、G：

12u

x,

t =

1

2a

(

)dx

atx

at

(

x

at

)

(

x

at

)

例1：振動波動方程

問題：tt

xxtu(

x,

0)

x2u

a2u

0,

-

x

,

t

0u(

x,

0)

sin

x解：由達朗貝爾公式：sin(

x

at

)

sin(

x

at

)

212

1

2ax

atx

atu

d3

sin

x

cos

at

t

(3

x2

a2t

2

)例2：解定解問題:tt

xx

a2

u

,u

x

,

t

0u

|t

0

sin

x,

ut

|t

0

cos

x解:

11cos

d2u

x,

t

[sin

x

at

sin(

x

at

)]2axatxata

sin

x

cos

at

1

cos

x

sin

at.例3：求解波動方程問題-<

x

,

t

0,

-<

x

1

x21tt

xxtu

(

x,

0)

u

a2u

0u(

x,

0)

0

,解：由達朗貝爾公式：11

22au

1x

atx

atd2a

1

arctan(

x

at

)

arctan(

x

at

)例4：求二階線性偏微分方程初值問題的解

2uxy

3uyy

0u

|

3

x2

,

u

|

0

y0

y

y0uxx解:

先確定所給方程的特征曲線。特征方程為：dy

2

2dxdy或者

dy

2

dy

2

3

0.dx

dx

它的兩族積分曲線為3

x

y

C12

x

y

C做特征變換

3

x

y

x

y容易驗證，經過變換原方程化成

2u

0.它的通解為u

F

G

其中

F

,G

是任意二次連續(xù)可微函數，即有u

x,

t

F

3x

y

G

x

y

把這個函數代入到條件

u

|y0

3

xF

3

x

G

x

3

x2yF

'3

x

G

'

x

03

1

F

3

x

G

x

C344x2F

3

x

9

x2

C

'

C

'G

x

代入到x2434F

x

1

x2

C

'

C

'G

x

u

x,

t

F

3x

y

G

x

y

,得原問題的解為：u

x,

y

1

3x

y2

3

x

y2

3x2

y24

4例5求二階線性偏微分方程的通解

2sin

xuxy

cos

xu

0.2yyuxx解：特征方程為dy

2

2sin

xdxdy

dy

1

sin

x

dx

dx積分曲線為：

y

x

cos

x

C12

y

x

cos

x

C經過變換原方程化成

2u

0所以,令

y

x

cos

x

y

x

cos

xf1

,f2

是任意二次連續(xù)可為原問題的通解，其中微函數。u(

x,

y)

f1

(

y

x

c2二.d’Alembert公式物理意義u

x,

t

F

x

at

G

x

at

1.考慮u2

G

x

at

,

若G(

x)

的圖形已經給定，那么，隨著時間

t

的推移，u2

G

x

at

的圖形以速度a向x軸正方向平行移動,故稱齊次波動方程形如

u2

G

x

at

的解為右行波。2,u1

F

x

at

表示一個以速度a

向x

軸負方向

的行波，且

過程中，波形也不變化。稱為左行波。xOx02u(t

0)x

x0u2

G(

x

at

)(t

t0

)atxOx0u1

F

(

x)x0

atu1

F(

x

at

)atG(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)F(x-at)=F(x0+at-at)=F(x0)xa

a的物理意義,如圖給出的特例u2u2x

a23a2u2x02au2xa3a考慮：u2

Gu2

G(

x)t

02t

1u

G(

x

a

/

2)2t

1u2

G(

x

a)u2

G(

x

2a)t

2行波速度：T千克

米/秒2

T千克/米=

米/秒a

弦拉的越緊,波速度越快;密度越小,波越快P912

1

2a

(

)dx

atx

atu(

x,

t

)

(

x

at

)

(

x

at

)

結論：達朗貝爾解表示沿

x

軸正、反向 的兩列波速為a的波的疊加，故稱為行波法。(2)只有初始速度時：

1

2a

(

)dx

atx

atu(

x,

t

)

u(

x,

t

)

1

(

x

at

)

1

(

x

at

)(1)只有初始位移時，2u(

x,

t)

1

(

x

at)

(

x

at)

(

x

at

)代表以速度a

沿x

軸正向的波

(

x

at

)

代表以速度a

沿x

軸負向

的波假使初始速度在區(qū)間上是常數，而在此區(qū)間外恒等于0xx

at

x

at為解的依賴區(qū)間。三.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域內的初始條件，在區(qū)間以外改變初始數據時，解的值不變。tP(x,

t)它是過（x，t）點，斜率為

1的直線與

x

軸所截而得到

依賴區(qū)間1.依賴區(qū)間u(x,t)僅僅依賴于[x

ata的區(qū)間（如右圖）。區(qū)間

[x

at該區(qū)域中任一點(x,

t)的依賴區(qū)間都落在區(qū)間[c, d]內部，因此解在此該區(qū)域中的數值完全由區(qū)間[c,

d]上的初始條件決定。該區(qū)間稱為決定區(qū)域。在區(qū)間[x1

,x2]上給定初始條件，就可以在其決定區(qū)域中確定初值問題的解。xtx

c

atc決定區(qū)域dx

d

at2.決定區(qū)域3.影響區(qū)域如果在初始時刻

t＝0，擾動僅僅在有限區(qū)間

[c,d

]上存在，則經過時間t

后，擾動傳到的范圍為c

at

x

d

at

(t

0)定義：上式所定義的區(qū)域稱為區(qū)間

[c,d

]的影響區(qū)域。cxdx

d

at影響區(qū)域tx

d

at121

2a

(

)dxatxatx1xx22x

x影響區(qū)域tx

x1

atx1x

x

at(x

at)

(x

at)

tx1決定區(qū)域x2x

x2x依賴區(qū)間x

at

x

atu(x,t)

tP(x,

t)小結：x

at

C特征線特征變換

x

at

x

at的兩族直線：a分析其物理意義表明,在xot

平面上斜率為

1x

at

常數對一維波動方程研究起重要作用，稱這兩族直線為一維波動方程的特征線。波動沿特征線

。稱為特征變換,行波法也叫特征。

x

at,

x

at自變量變換4.行波法又叫特征注：容易看出,一維波動方程的兩族特征線x

at

常數恰好是常微分方程

dx

2

a這個常微分方程稱為波動方程的解。u

a2u

(

x

,

t

0)tt

xx的特征方程。11212af

(

,

)d

dt xa(t

)xat2a

xat0

xa(t

)u

x,

t

[

x

at

x

at

]

d

一維非齊次波動方程問題的Kirchihoff公式.四.弦受迫振動問題2tt

xxu

a

u

f

(

x,

t

)(

x

,

t

0)u(

x,0)

(

x),

ut

(

x,0)

(

x)tt

xx

a2vv(1)

v(

x,0)

(

x),

vt

(

x,0)

(

x)tt

xx

a2

w

f

(

x,

t

)w(2)

w(

x,0)

wt

(

x,0)

0u

v

w

2u

2u

a2

sin

xx2例：

t

2u

cos

x,

u

x

t

0

t

t

0uII

(x,t)

cos

at

cos

x

xtuIII

(x,

t)解：cos(x

a(t

))

cos(x

a(t

))d

112a

1

2a0a20atsin

x

sin

a(t

)d

1

sin

x[1

cos

at]t

sin

ddt

xa

(t

)0

xa

(t

)a2u(x,t)

cos

at

cos

x

xt

1

sinx[1

cos

at](

x,

t

)t

0t

0

2u

a2

,t

0,

0

x

2ux2

t

2u(

x,

t

)

(

x),

(

x)utu(0,

t

)

g(t

)我們先考慮

g(t

)

0

情形，即端點固定的振動。希望能利用達朗貝爾公式來求解u(

x,

t

)

(

)d2

at

)

at

)(

x

(

x

1

2axatxat五.半弦的振動問題為此，我們要作奇延拓(有時也作偶延拓)：u(

x,

t

)U

(

x,

t

)

u(

x,

t

)(

x

0)(

x

0)(

x)

(

x)

((

x)

(

x)

(t

0t

0

2U

a2

,t

0,

x

2Ux2

t

2U

(

x,

t)

(

x),(

x,

t)

(

x)Utxatxat(

x

at

)

(

x

at

)

12

2aU

(

x,

t

)

(

)d半當問題的解為：x

at時：當

0

x<

at

時：2(

x

(

x

(

)dxatxat

at

)

at

)

1

2au(

x,

t

)

2

(

)dxatat

x

at

)

u(

x,

t

)

(

x

(at

x)

1

2a當在x=0處有一個端，即：ux

(0,t)

0則需要作偶延拓。例

2u

2u

t

2

x2

,t

0t t

0

2

x2

,

u

3

xx0x

0,

t

0

0uu當x

0,x

t

0u(

x,

t)

(

x

t)2

(

x

t)2

12(3

)dxtxt22

2

x

2t

3

xt當x

0,x

t

02212u(

x,

t)

(

x

t)

(t

x)

(3

)dxtt

x

7xt§3.2

三維波動方程

問題的解一.三維波動方程和球對稱解

(

x,

y,

z)

(

x,

y,

z)

2u

2u

2u

2u

,

t

0,z2

t

0u

a2

x2

y2

t

2u

tt

0

2u

2u

2uu

x2

y2

z2

rM

(

,,

)M

(

x,

y,

z)rS

Mxyzo球坐標中的Laplace運算：

x

r

sin

cos

y

r

sin

sin

z

r

cosu

2u

2u

2ux2

y2

z222sinr1

2u

1

2

u

1

u

r

rr

r

sin

r

2

sin

2

球對稱性：所謂球對稱是指u與

,

無關，則波動方程可化簡為22ar

2u

1

2

u

t

2

r