以橢圓雙曲線拋物線為背景的計(jì)算知識(shí)點(diǎn)

【最新考綱解讀】1．圓錐曲線(1)了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．(2)掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)．(3)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．(4)了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．(5)理解數(shù)形結(jié)合的思想．2．曲線與方程結(jié)合已學(xué)過(guò)的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想．【回歸課本整合】1.橢圓的第一定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（）的點(diǎn)的軌跡.注意：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，無(wú)軌跡。2．直線和橢圓的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系判斷：直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，消掉y，得到的形式（這里的系數(shù)A一定不為0），設(shè)其判別式為，（1）相交：直線與橢圓相交；（2）相切：直線與橢圓相切；（3）相離：直線與橢圓相離；(2弦長(zhǎng)公式：（1）若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝。（2）焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。橢圓左焦點(diǎn)弦,右焦點(diǎn)弦.其中最短的為通徑：,最長(zhǎng)為；（3）橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.3.與焦點(diǎn)三角形相關(guān)的結(jié)論橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角，通常叫做焦點(diǎn)三角形.一般與焦點(diǎn)三角形的相關(guān)問(wèn)題常利用橢圓的第一定義和正弦、余弦定理求解.設(shè)橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦點(diǎn)的面積為，設(shè),則在橢圓中，有以下結(jié)論：(1)＝，且當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大為＝；（2）；焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為；(3)，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，的最大值為；4.直線和拋物線的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系判斷：直線與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消掉y，得到的形式，當(dāng)，直線和拋物線相交，且與拋物線的對(duì)稱軸并行，此時(shí)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)設(shè)其判別式為，①相交：直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；②相切：直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)；③相離：直線與拋物線沒有交點(diǎn).注意：過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線.（2）焦點(diǎn)弦：若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB,，則有,.（3）在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.（4）若OA、OB是過(guò)拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn),反之亦成立.5.求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：步驟含義說(shuō)明1、“建”：建立坐標(biāo)系；“設(shè)”：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo).所研究的問(wèn)題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn).沒有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.2、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式.寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)}這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使寫出的條件簡(jiǎn)明正確.3、“代”：代換用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式.4、“化”：化簡(jiǎn)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式.要注意同解變形.5、證明證明化簡(jiǎn)以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).化簡(jiǎn)的過(guò)程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過(guò)程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍).注意：這五個(gè)步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化.【方法技巧提煉】1.直線與橢圓的位置關(guān)系在直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題中，一類是直線和橢圓關(guān)系的判斷，利用判別式法.另一類常與“弦”相關(guān)：“平行弦”問(wèn)題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點(diǎn)弦”問(wèn)題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點(diǎn)差法”、“長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)）”問(wèn)題關(guān)鍵是長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)）公式.在求解弦長(zhǎng)問(wèn)題中，要注意直線是否過(guò)焦點(diǎn)，如果過(guò)焦點(diǎn)，一般可采用焦半徑公式求解；如果不過(guò)，就用一般方法求解.要注意利用橢圓自身的范圍來(lái)確定自變量的范圍，涉及二次方程時(shí)一定要注意判別式的限制條件.2.如何利用拋物線的定義解題（1）求軌跡問(wèn)題：主要抓住到定點(diǎn)的距離和到定直線距離的幾何特征，并驗(yàn)證其滿足拋物線的定義，然后直接利用定義便可確定拋物線的方程；（2）求最值問(wèn)題：主要把握兩個(gè)轉(zhuǎn)化：一是把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可以轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離；二是把點(diǎn)到拋物線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離.在解題時(shí)要準(zhǔn)確把握題設(shè)的條件，進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，探求最值問(wèn)題.3.求曲線方程的常見方法：(1)直接法：直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程(2)定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求(3)相關(guān)點(diǎn)法：即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過(guò)轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(4)參數(shù)法：若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來(lái)分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)x,y聯(lián)系起來(lái)，得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程.注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進(jìn)一步說(shuō)明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念.4.解析幾何解題的基本方法解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過(guò)對(duì)知識(shí)的重新組合，以達(dá)到鞏固知識(shí)、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識(shí).解析幾何應(yīng)用問(wèn)題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，合理建立曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形.在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對(duì)稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.5.避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡(jiǎn)方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標(biāo)系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因?yàn)閷?duì)普通方程運(yùn)算復(fù)雜的問(wèn)題，用參數(shù)方程可能會(huì)簡(jiǎn)單；在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問(wèn)題，通過(guò)移軸可能會(huì)簡(jiǎn)單；在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問(wèn)題，在極坐標(biāo)系下可能會(huì)簡(jiǎn)單“所謂尋求”.6.解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容：（1）給出直線的方向向量或；（2）給出與相交,等于已知過(guò)的中點(diǎn);（3）給出,等于已知是的中點(diǎn);（4）給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;（5）給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線；（6）給出，等于已知是的定比分點(diǎn)，為定比，即；（7）給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角,給出,等于已知是銳角；（8）給出,等于已知是的平分線；（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;（10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）；（12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）；（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）；（14）在中，給出等于已知通過(guò)的內(nèi)心；（15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）；（16）在中，給出,等于已知是中邊的中線。7.定點(diǎn)、定值問(wèn)題必然是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，那么就可以用變化的量表示問(wèn)題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．8．解決圓錐曲線中最值、范圍問(wèn)題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問(wèn)題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問(wèn)題，這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況靈活處理?！究紙?chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】1．判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的分母大小，若x2的分母比y2的分母大，則焦點(diǎn)在x軸上，若x2的分母比y2的分母小，則焦點(diǎn)在y軸上．4．直線和拋物線若有一個(gè)公共點(diǎn)，并不能說(shuō)明直線和拋物線相切，還有可能直線與拋物線的對(duì)稱軸平行．5．在求得軌跡方程之后，要深入地思考一下：(1)是否還遺漏了一些點(diǎn)？是否還有另一個(gè)滿足條件的軌跡方程存在？(2)在所求得的軌跡方程中，x，y的取值范圍是否有什么限制？確保軌跡上的點(diǎn)“不多不少”．6.作為解答題的倒數(shù)第二個(gè)，試題的難度較大，也體現(xiàn)在計(jì)算量上尤為明顯，同學(xué)們解題時(shí)往往會(huì)思路，但是算不對(duì)，對(duì)此，建議如下：（1）第一問(wèn)