概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大版

x2

8x

15

0方程解得8228

415x

4

1驗(yàn)證x

2

8x

15

(4

1

3)(4

1

5)

(11)(11)

0X

~

f

(x

,

)總體

(x

3)(x

5)估計(jì)?

?(X1,

X2

,

,

Xn

)如何驗(yàn)證

工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品次品率不超過(guò)

5%才能出廠.今抽檢

10件0

產(chǎn)品,發(fā)現(xiàn)次品

件,問(wèn)這批產(chǎn)品能否出廠?要求檢驗(yàn)結(jié)果具有

95%的

度.95置%信區(qū)間為求得

p的(

0.0014

,

0.0786

)由于置信上限

0.0786>，5結(jié)%論是這批產(chǎn)品不能出廠.“產(chǎn)品不能出廠”的結(jié)論是誰(shuí)作出的廠方對(duì)該結(jié)論持什么態(tài)度由于p?

X

是p的最小方差無(wú)偏估計(jì)x

0.04

<

5%,所以工廠無(wú)法接受“產(chǎn)品不能出廠”的結(jié)論故必須采用更合理的方法作出判斷X

~

N

(,

2

)設(shè)產(chǎn)品某工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品平均間經(jīng)過(guò)技術(shù)革新后,認(rèn)為產(chǎn)品有了顯著提高。現(xiàn)隨機(jī)生產(chǎn)車(chē)間的看法是正確的？小x時(shí).2問(wèn)08能5

否認(rèn)為為

小2時(shí)00,0生產(chǎn)車(chē)抽檢了 件產(chǎn)25品,算得 平均值為

的點(diǎn)估計(jì)值?

x

2085

2000(小時(shí))故看似生產(chǎn)車(chē)間的看法是正確的點(diǎn)估計(jì)?

X是r.v，取值具有波動(dòng)性故盡管x

2085

2000,但實(shí)際可能并無(wú)顯著提高提出假設(shè)H0：

2000

，H1：

2000有顯著提高沒(méi)有顯著提高H，0

即認(rèn)為產(chǎn)品接受

H，0

即認(rèn)為產(chǎn)品0

接受

H

即,

認(rèn)為機(jī)器正常?

x

511

500

的點(diǎn)估計(jì)值x

500

是機(jī)器不正常還是隨機(jī)波動(dòng)引起？提出假設(shè)

拒絕

H0即,

認(rèn)為機(jī)器不正常某車(chē)間用一臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)裝糖,每袋的標(biāo)稱(chēng)重量為克,標(biāo)準(zhǔn)差克.某日開(kāi)工后為了檢查包裝機(jī)是否正常，隨機(jī)抽檢了袋產(chǎn)品，測(cè)得凈重如下(克)：試問(wèn)該日機(jī)器是否正常？設(shè)每袋糖的重量為若

5則00機(jī)器正常,否則不正常怎樣檢驗(yàn)假設(shè)H0：

0

500

，H1：

00n

2E(

X

)

,

D(

X

)

的樣本,由于X1,X2

,,Xn是總體稱(chēng)為“決策”0

|

X

0時(shí)，接受

H0

I

類(lèi)錯(cuò)故若 成立,則 與

X的差異0

應(yīng)該較小,即一個(gè)好的決策,當(dāng)然希望盡可能

往偏大少犯這兩類(lèi)錯(cuò)誤,但實(shí)際上對(duì)于固定得犯這兩類(lèi)錯(cuò)誤的可能性同時(shí)很小的樣本容量

n

,任何決策都不可能使H

怎樣控制這兩類(lèi)錯(cuò)誤由于決策的依據(jù)是樣本,

II類(lèi)錯(cuò)

任何隨機(jī)決策都有可能犯錯(cuò)誤對(duì)H0采取保護(hù)的態(tài)度的提出有一定的依據(jù)H0

的內(nèi)容非常重要檢驗(yàn)者對(duì)

H有0 一種傾向性原則一說(shuō)明：H與0 H的1地位是不對(duì)等的保護(hù)H0

的數(shù)學(xué)含義是什么給定一個(gè)較小的數(shù)

(0

，使1)得P

拒絕H0

H0真{}|

類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)

？類(lèi)錯(cuò)誤控制I類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)(不顧II類(lèi)風(fēng)險(xiǎn))0

/

n

u1

/

2~

N

(1,

0,)故

k0

/

n1

/

2即當(dāng)

|

X

0

|

uX

00

/

n時(shí),拒絕15

/

90

/

n故拒絕 ，即認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常。由于原假設(shè)(零假設(shè))備擇假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量當(dāng)H成0

立時(shí)，有顯著性水平拒絕域

|

X

0

|

|

511

500

|

2.2

1.96

u0.975雙邊假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題稱(chēng)為

u

檢驗(yàn)法假設(shè)的提出,說(shuō)明檢驗(yàn)者認(rèn)為機(jī)器是正常的,反映了生產(chǎn)車(chē)間的傾向性因?yàn)檩^小,且而根據(jù)實(shí)際推斷原理,如果該事件發(fā)生了,當(dāng)然要懷疑的真P0/

n1

/

2

0|

X

0

|

uH

真

說(shuō)明當(dāng) 為真時(shí)，0

/

n1

/

2|

X

0

|

u是小概率事件實(shí)性，從而作出拒絕 的決策在一次試驗(yàn)中小概率事件是幾乎不可能發(fā)生的故

H的0

域即是

的H1接受域H0提原假設(shè)依據(jù)上述原則，對(duì)原假設(shè)

作H出0決策，稱(chēng)為在顯著性水平下，對(duì)H即0意味著接受

H1構(gòu)造

域“

”或“接受”的H進(jìn)0行

顯著性檢驗(yàn).H1根據(jù)實(shí)際問(wèn)題,提出原假設(shè) 及備擇假設(shè)求出未知參數(shù)的較好的點(diǎn)估計(jì)依據(jù)點(diǎn)估計(jì)構(gòu)造一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，然后分析當(dāng)成H立0時(shí)，該統(tǒng)計(jì)量有什么“趨勢(shì)”，逆這個(gè)“趨勢(shì)”就給出了的 域形式,即

的

域形式由 確定H1對(duì)于給定的顯著性水平 ，按

控制I類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)的檢驗(yàn)原則確定

的

域抽樣，判斷樣本觀察值是否落在 域內(nèi)，從而作出“

”或“接受” 的決策X

的~

樣N

(本,,2

)設(shè)X1,X2

,為

,來(lái)Xn自總體0XPS

/

n1

/

2|

|t

(n

1)

0

,

2

均未知.試在顯著性水平

下，檢驗(yàn)假設(shè)H0：

0

,

H1：

0

(

0

已知)0S

/

nX

0~

t(n

1)，故由S

/

n又當(dāng) 為真時(shí)求得 的拒絕域?yàn)?/p>

0

S

n1

/

2|

X

|

t

(n

1)t

檢驗(yàn)法,

2

的無(wú)偏估計(jì)分別是X

,S

,故當(dāng)為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量雙邊檢的驗(yàn)值問(wèn)應(yīng)題偏小,若偏大,則要拒絕

H

.S

/

n設(shè)

X1,

X2

,

為

,來(lái)Xn自總體

X

的~

樣N

(本,,

2

),

2

均未知.試在顯著性水平

下，檢驗(yàn)假設(shè)H0：

0

,

H1：

0

(0已知),

2

的無(wú)偏估計(jì)分別是

X

,

S

,故當(dāng)

為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量單邊檢驗(yàn)問(wèn)題小于零,否則就要0H~

t(n

1)當(dāng)H0成立時(shí),是否有

X

0S

/

n域怎樣確定

H0

的1

P

X

0t

(n

1)

S

/

n0

X

0

S

/

n0XS

/

n1

(

)t

(n

1)H

真t

(n

1)

1

0

0

1

X

t(n

1)

S

/

n0

1

P

X

0(n

1)

S

/

n1

0

S

/

n0

t

(n

1)

H

P

X

t真t(n

1)分布t(n

1)分布H0：

0

,

H1：

0H0：

0

,

H1：

0具有相同的

域可見(jiàn)，在下S

/

n1X

0t

(n

1)統(tǒng)計(jì)量 的值應(yīng)偏小于零,否則就要S

/

nX

的~

樣N

(本,,2

)設(shè)X1,X2

,為,來(lái)Xn

自總體,

2

均未知.試在顯著性水平

下，檢驗(yàn)假設(shè)H0：

0

,

H1：

0

(0已知),

2

的無(wú)偏估計(jì)分別是X

,S

,故當(dāng)為真時(shí)，H0因當(dāng)

時(shí)

S

/

nX

~

t(n

1)nX

0

St1

(n

1)1

X

0P

t(n

1)

S

/

n

且有1

X

00

Pt

(n

1)

S

/

n0

故對(duì)于給定的顯著性水平

,

H的0

域?yàn)閠

檢驗(yàn)法對(duì)于單邊檢驗(yàn)問(wèn)題都采用臨界點(diǎn)處的分布(

0.05)某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進(jìn)器的燃燒率服從正態(tài)分布均值

現(xiàn)

4用0

新方法生產(chǎn)了一批推進(jìn)器,從中隨機(jī)取只,分別算n得

25

問(wèn)新x

方4法1.2燃5

,

s燒1率.9是62

(否cm有/

s顯).

著提高x

41.25

0

40設(shè)新方法燃燒率X

~

N

(

2

)故看似新方法的燃HH0：0：

00

440，H1：1

燒

率0

有提高H0：

0

40，H1：

0H0：

0

40，H1：

0檢驗(yàn)的目的是對(duì)新方法進(jìn)行鑒定為了慎重起見(jiàn),防止誤判,我們寧可相信新方法的燃燒率沒(méi)有提高

2X

的~

樣N

(本,,2

)設(shè)X1,X2

,為,來(lái)Xn

自總體,

2

均未知.試在顯著性水平

下，檢驗(yàn)假設(shè)2

22

20

0

1

0H

:

,

H

:

(

2

)0

已知0

2

2(n

1)S

2~

(n

1)0又當(dāng) 為真時(shí),

2

的無(wú)偏估計(jì)分別是X

,S

,故當(dāng)為真時(shí)，0H

.220S

/2

2(n

1)20

21

/

2(n

1)S

2(n

1)

2

檢驗(yàn)法(n

1)或

/2

/2O

2

/2(n1)21

/2(n1)統(tǒng)計(jì)雙邊

檢驗(yàn)問(wèn)題

近

1,若偏離

1太遠(yuǎn),則要拒絕拒絕域?yàn)楣蔋的0接近常數(shù)n

1

2X

的~

樣N

(本,,2

)設(shè)X1,X2

,為,來(lái)Xn

自總體,

2

均未知.試在顯著性水平

下，檢驗(yàn)假設(shè)2

22

20

0

1

00H

:

,

H

:

(

2

已知)0

2(n

1)S

20又當(dāng)

時(shí)220

,

2

的無(wú)偏估計(jì)分別是X

,S

,故當(dāng)為真時(shí)，0H

.0

2

2(n

1)S

21

(n

1)

2

檢驗(yàn)法O2

(n1)

21(n1)統(tǒng)計(jì)單量邊

的檢值驗(yàn)應(yīng)問(wèn)題偏小于1,若偏大于1太多,則要域?yàn)楣蔋的0則要~

2

(n

1)偏大于常數(shù)

n

1太多H0某機(jī)床加工的零件尺寸

X

~

N(機(jī),2床5).大修后加工了n

1個(gè)2

零件,算得加工尺寸樣本方差S

2

16.05)問(wèn)機(jī)床經(jīng)大修后,加工精度是否有顯著提高？(

2

25

,

H1:

2

25設(shè)大修后加工尺寸Y

~

N

(,

2

),依題S意2

要16

25H0

:

2

25

,

H1:

2

25H0

:

2

25

,

H1:

2

25一般認(rèn)為機(jī)床大修后的精度不會(huì)降低,故只須寫(xiě)等檢號(hào)驗(yàn)的目的是對(duì)機(jī)床大修后的精度進(jìn)行鑒定,為了慎重起見(jiàn),防止誤判,我們寧可相信機(jī)床大修后的加工精度沒(méi)有提高1

2X~

t(n

n

2)當(dāng) 成立 統(tǒng)計(jì)量應(yīng)于

否H0

.又當(dāng)

成1

立時(shí)時(shí)1

2n

n

2設(shè)是來(lái)自總體X

的~

N樣(本1,,

2

)11

2n,

XX

,

X

,是來(lái)自總體的樣本,兩樣本獨(dú)立.22Y

~

N

(

,

)1,

, 顯著性水平

下，檢驗(yàn)假設(shè)1H0：1

2

,故 的拒絕域?yàn)?2YX

Y1

2SSnn11

nn22(

)

(

)~

t(n

n

2)11

11t

檢驗(yàn)法X

Y接近

偏大

則便要否定nn11

nn22|

XY

|t1t1/

2((nn11nn22

22))SS11

111

2j1

21

1

t(n

n

2)n

n形式運(yùn)算1,X

Y

~

S偏小于零則拒絕H

0取負(fù)的分位點(diǎn)為了提高化學(xué)產(chǎn)品得率,采用了某新工藝.在對(duì)比試驗(yàn)中,分別用兩種方法各獨(dú)立進(jìn)行了8次試驗(yàn),計(jì)算出1x

91.73

,

s

2

3.892y

93.75

,

s2

4.02老工藝新工藝假定老、新工藝的得率分別為X

~

N

(1,

2

),Y

~

N(2

,

2

),試問(wèn)新工藝是否能顯著提高產(chǎn)品得率？(

0.05)依題由意題需給檢數(shù)驗(yàn)據(jù)知x

y即新工藝比老工藝能顯著地提H

：高產(chǎn)1

品得2

率.1新工H藝0：的確1

比

2采用單邊

檢驗(yàn)新法工，藝求得 的拒絕域?yàn)槠渲衝1

n2

8

,t0.95

(14)

1.7613

,s

1.99x

y

2.02

1.752,所以拒1

絕2n1

n2X

Y

t1

(n1

n2

2)

S1

1

1.752提高鑒定結(jié)論的可信度當(dāng)?shù)挠?1S

/0H

.又當(dāng)2221成立時(shí)

時(shí)2

21

2S

,

S設(shè)是來(lái)自總體的樣本,21

1X

~

N

(

,

)11

2n,

XX

,

X

,是來(lái)自總體的樣本,兩樣本獨(dú)立.22

2Y

~

N

(,

)1

2

2

2,

的無(wú)偏估計(jì)分別為1,均未知,試在顯著性水平下，檢驗(yàn)假設(shè)2011

2故 的拒絕域?yàn)?22S21

/

2

112S

2~

F(n1S

2雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題F

檢驗(yàn)法H

：

值應(yīng)接近

偏大則便要否定單邊檢驗(yàn)問(wèn)題2/

22

1

12S

2

S

2S2

S2

F

1

(n

F1(,nn

11,)n

或1)211

(n

1,

n

1)F1(n

1,

n

1)

2(n

/

2

/

2偏小于1或偏大于1FF

/2(n(1n11

2

F1

/2

1一臺(tái)機(jī)床大修前曾加工件n1

零

1件0

,大修后加工了件零件n2

，

1加2工尺寸的修正樣本方差分別為試問(wèn)機(jī)床大修后的加工精度是否有顯著提高？(

0.05)加工尺寸服從正態(tài)分布,依題意需檢驗(yàn)21s

2500

,22s

400大修前:大修后:11

2H0：

2

11

2H0：

2

11

2H0：

2

一般認(rèn)為機(jī)評(píng)價(jià)機(jī)床大修后的加工精度,為了慎加工精度不會(huì)

重起見(jiàn), 防止誤判, 我們應(yīng)認(rèn)為大修后加工精度沒(méi)有提高小于號(hào)“<”可以不寫(xiě)。甲從乙廠定購(gòu)了一批產(chǎn)品,雙方約定產(chǎn)品次品率不能p件產(chǎn)品10,0(

0.05)超過(guò)

,否則5%甲方有權(quán)拒收.驗(yàn)收時(shí)隨機(jī)抽檢了發(fā)現(xiàn)次品

件,問(wèn)甲6方能否接收該批產(chǎn)品?0,檢驗(yàn)合格1,檢驗(yàn)不合格則總體

X

~

b(1,p),按題意,要檢驗(yàn)假設(shè)H0:

p

p0

0.05

,

H1

:

p

p0X

p0H0:

p

p0

0.05

,

HS1/:

pn1p0近~似N

(0,1)X

p0

S

u1n1計(jì)算得

s

x

(1

x)

0.2375,

p0

s

u0.95

0.089x

0.06

0.089

不拒絕當(dāng)

成立時(shí),由大樣本理論有采用

u檢驗(yàn)法,求得

的拒絕域?yàn)閚1,即甲方可以接收該批產(chǎn)品.令改為4件

X

發(fā)現(xiàn)次品件,問(wèn)甲方能否接收該批產(chǎn)品?甲從乙廠定購(gòu)了一批產(chǎn)品,雙方約定產(chǎn)品次品率不能p超過(guò)

,否則5%甲方有權(quán)拒收.

驗(yàn)收時(shí)隨機(jī)抽檢了件產(chǎn)品10,0(

0.05)0,檢驗(yàn)合格1,檢驗(yàn)不合格則總體X

~

b(1,p),按題意,要檢驗(yàn)假設(shè)H0:

p

p0

0.05

,

H1

:

p

p0X

p0S/

n1近~似N

(0,1)X

p0

S

u1n1計(jì)算得

s

x

(1

x)

0.196,

p0

s

u0.95

0.0176當(dāng) 成立時(shí),由大樣本理論有采用

u檢驗(yàn)法,求得 的拒絕域?yàn)閚1,即甲方可不接收該批產(chǎn)品.令改為4件

X

x

0.04

0.0176不拒絕隨機(jī)抽檢10件0

產(chǎn)品H0:

p

p甲從乙廠定購(gòu)了一批產(chǎn)品,雙方約定產(chǎn)品次品率

不