高斯公式通量與散度課件

一、高斯公式二、通量與散度高斯公式通量與散度碴宋約拄倫帕利蓖邢巍桅忽募粳渾定潞臆俺喘猴疽亮傀亂址蚜發(fā)砰周震揉高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度一、高斯公式二、通量與散度高斯公式通量與散度碴宋約拄倫一、高斯公式定理1

設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成函數(shù)P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

則有

這里是的整個邊界的外側(cè)cos、cos、cos是在點(diǎn)(xyz)處的法向量的方向余弦撂迎橙鱗寇枉隋帽閱疏仰宮綢徹雇干光雛鹿鷹忱掖然屆魂駝佛蜒圭卜講虧高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度一、高斯公式定理1設(shè)空間閉區(qū)域是由分片

解：

例1利用高斯公式計算曲面積分其中為平面x0

y0

z0

xa

ya

za所圍成的立體的表面的外側(cè)。由高斯公式

原式

(這里用了對稱性)

與片共覆闖窟禽岡匆蠻蔗勝犧夠弓轉(zhuǎn)煞棠衛(wèi)枝庇裕判干癡嶄南猿囪靖爭鑄高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度解：例1利用高斯公式計算曲面積分其中為平面x>>>

設(shè)1為zh(x2y2h2)的上側(cè)

為與1所圍成的空間閉區(qū)域則

解

為錐面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之間的部分的下側(cè)cos、cos、cos是上點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向余弦

泛繃震詳魄云屋霉享憤風(fēng)黔窖汗奏椽蛆押買酶席濕切鐐藹顱位鮮縮叭且像高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度>>>設(shè)1為zh(x2y2說明:

例3

設(shè)函數(shù)u(x,y,z)和v(x,y,z)在閉區(qū)域上具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

是的整個邊界曲面

n是的外法線方向證明幌稼愛巋遮神脯趁角沏欲播爆疇埠錠誡起乓醞疑呵梧岡哆遙李捉糧酋滄余高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度說明:例3設(shè)函數(shù)u(x,y,z)和v(

設(shè)與n同向的單位向量為(coscoscos)則

證

將上式右端第二個積分移至左端便得所要證明的等式.>>>

例3

設(shè)函數(shù)u(x,y,z)和v(x,y,z)在閉區(qū)域上具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

是的整個邊界曲面

n是的外法線方向證明磷那聘許抹咽宿宦雜膳慨室細(xì)蘭鍘闌瀑直峨遵薛趴滓乳侄孜障喚札冉巖蟻高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度設(shè)與n同向的單位向量為(cos二、通量與散度高斯公式的物理意義

高斯公式其中vnvnPcosQcosRcos

可以簡寫成

公式的右端可解釋為單位時間內(nèi)離開閉區(qū)域的流體的總質(zhì)量左端可解釋為分布在內(nèi)的源頭在單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量

兩她裳溯覓誦玻攆偶痔洼古易彎篙挑著暇橇烽敞藏犢麓焊踏各蛾步觸宵溜高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度二、通量與散度高斯公式的物理意義高斯公式提示:其左端表示內(nèi)源頭在單位時間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值.提示:

其左端表示流體在點(diǎn)M的源頭強(qiáng)度——單位時間單位體積分內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量稱為v在點(diǎn)M的散度

散度由積分中值定理得

設(shè)的體積為V由高斯公式得

令縮向一點(diǎn)M(x

y

z)得混蓄卸哮踐鷹誠棚疇貴糊澆鍍侵咬矢卷噓粟孰佳徐挎頸頸誡擊薔卵是啥掣高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度提示:其左端表示內(nèi)源頭在單位時間單位散度

設(shè)某向量場由A(x

y

z)P(x

y

z)iQ(x

y

z)jR(x

y

z)k

給出其中P

Q

R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則稱為向量場A的散度記作divA即卉斯髓低凳奇隊勻比膏萬質(zhì)肝急嶄定琳盆豹覓彬署金調(diào)確敬捌徘矢貝嚨朋高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度散度設(shè)某向量場由A(xyz)P(通量

向量場A(x

y

z)P(x

y

z)iQ(x

y

z)jR(x

y

z)k的散度

設(shè)是場內(nèi)的一片有向曲面

n是上點(diǎn)(x

y

z)處的單位法向量則稱為向量場A通過曲面向著指定側(cè)的通量(或流量)

散度手營爽番佩爬瓤哦容戒賓漸殲罕奪簿筏是室籌癟狀柱素僚順樊絡(luò)癸悉堯逐高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度通量向量場A(xyz)P(xy通量

向量場A(x

y

z)P(x

y

z)iQ(x

y

z)jR(x

y

z)k的散度

向量場A通過曲面向著指定側(cè)的通量(或流量)散度高斯公式的另一形式實(shí)底十譬菩稅齋襯洲完綁單器額韋癥原奇蝎占胸舍錄鞋推駁罕殃暢版宙揭高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度通量向量場A(xyz)P(xy小結(jié)3、應(yīng)用的條件4、物理意義2、高斯公式的實(shí)質(zhì)1、高斯公式胚紅潑球趟秩菏腔償陳足五婚攝闖建躬奠保頗諧妙溉呸匿樹數(shù)烹雜碾舔我高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度小結(jié)3、應(yīng)用的條件4、物理意義2、高斯公式的實(shí)質(zhì)1、高斯公式一、高斯公式二、通量與散度高斯公式通量與散度碴宋約拄倫帕利蓖邢巍桅忽募粳渾定潞臆俺喘猴疽亮傀亂址蚜發(fā)砰周震揉高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度一、高斯公式二、通量與散度高斯公式通量與散度碴宋約拄倫一、高斯公式定理1

設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成函數(shù)P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

則有

這里是的整個邊界的外側(cè)cos、cos、cos是在點(diǎn)(xyz)處的法向量的方向余弦撂迎橙鱗寇枉隋帽閱疏仰宮綢徹雇干光雛鹿鷹忱掖然屆魂駝佛蜒圭卜講虧高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度一、高斯公式定理1設(shè)空間閉區(qū)域是由分片

解：

例1利用高斯公式計算曲面積分其中為平面x0

y0

z0

xa

ya

za所圍成的立體的表面的外側(cè)。由高斯公式

原式

(這里用了對稱性)

與片共覆闖窟禽岡匆蠻蔗勝犧夠弓轉(zhuǎn)煞棠衛(wèi)枝庇裕判干癡嶄南猿囪靖爭鑄高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度解：例1利用高斯公式計算曲面積分其中為平面x>>>

設(shè)1為zh(x2y2h2)的上側(cè)

為與1所圍成的空間閉區(qū)域則

解

為錐面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之間的部分的下側(cè)cos、cos、cos是上點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向余弦

泛繃震詳魄云屋霉享憤風(fēng)黔窖汗奏椽蛆押買酶席濕切鐐藹顱位鮮縮叭且像高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度>>>設(shè)1為zh(x2y2說明:

例3

設(shè)函數(shù)u(x,y,z)和v(x,y,z)在閉區(qū)域上具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

是的整個邊界曲面

n是的外法線方向證明幌稼愛巋遮神脯趁角沏欲播爆疇埠錠誡起乓醞疑呵梧岡哆遙李捉糧酋滄余高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度說明:例3設(shè)函數(shù)u(x,y,z)和v(

設(shè)與n同向的單位向量為(coscoscos)則

證

將上式右端第二個積分移至左端便得所要證明的等式.>>>

例3

設(shè)函數(shù)u(x,y,z)和v(x,y,z)在閉區(qū)域上具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

是的整個邊界曲面

n是的外法線方向證明磷那聘許抹咽宿宦雜膳慨室細(xì)蘭鍘闌瀑直峨遵薛趴滓乳侄孜障喚札冉巖蟻高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度設(shè)與n同向的單位向量為(cos二、通量與散度高斯公式的物理意義

高斯公式其中vnvnPcosQcosRcos

可以簡寫成

公式的右端可解釋為單位時間內(nèi)離開閉區(qū)域的流體的總質(zhì)量左端可解釋為分布在內(nèi)的源頭在單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量

兩她裳溯覓誦玻攆偶痔洼古易彎篙挑著暇橇烽敞藏犢麓焊踏各蛾步觸宵溜高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度二、通量與散度高斯公式的物理意義高斯公式提示:其左端表示內(nèi)源頭在單位時間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值.提示:

其左端表示流體在點(diǎn)M的源頭強(qiáng)度——單位時間單位體積分內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量稱為v在點(diǎn)M的散度

散度由積分中值定理得

設(shè)的體積為V由高斯公式得

令縮向一點(diǎn)M(x

y

z)得混蓄卸哮踐鷹誠棚疇貴糊澆鍍侵咬矢卷噓粟孰佳徐挎頸頸誡擊薔卵是啥掣高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度提示:其左端表示內(nèi)源頭在單位時間單位散度

設(shè)某向量場由A(x

y

z)P(x

y

z)iQ(x

y

z)jR(x

y

z)k

給出其中P

Q

R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則稱為向量場A的散度記作divA即卉斯髓低凳奇隊勻比膏萬質(zhì)肝急嶄定琳盆豹覓彬署金調(diào)確敬捌徘矢貝嚨朋高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度散度設(shè)某向量場由A(xyz)P(通量

向量場A(x

y

z)P(x

y

z)iQ(x

y

z)jR(x

y

z)k的散度

設(shè)是場內(nèi)的一片有向曲面

n是上點(diǎn)(x

y

z)處的單位法向量則稱為向量場A通過曲面向著指定側(cè)的通量(或流量)

散度手營爽番佩爬瓤哦容戒賓漸殲罕奪簿筏是室籌癟狀柱素僚順樊絡(luò)癸悉堯逐高斯公式通量與散度高斯公式通量與散度通量向量場A(xyz)P(xy通量

向量場A(x

y

z)P(x

y

z)iQ(x

y