高中新課程數學《幾類不同增長的函數模型》課外演練

基礎達標一、選擇題1．某公司為了適應市場需求對產品結構做了重大調整，調整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當的函數模型來反映該公司調整后利潤y與時間x的關系，可選用()A．一次函數 B．二次函數C．指數型函數 D．對數型函數解析：一次函數勻速增長，二次函數及指數型函數均為開始增長緩慢，后來增長越來越快，對數型函數開始增長迅速后來增長越來越慢．答案：D2．甲、乙兩人在一次賽跑中，路程S與時間t的函數關系如圖所示，則下列說法正確的是()A．甲比乙先出發(fā)B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙兩人的速度相同D．甲先到達終點答案：D3．已知函數f(x)＝3x，g(x)＝2x，當x∈R時，有()A．f(x)>g(x) B．g(x)>f(x)C．f(x)≥g(x) D．g(x)≥f(x)解析：在同一直角坐標系中畫出函數f(x)＝3x，g(x)＝2x的圖象，如圖所示，由于函數f(x)＝3x的圖象在函數g(x)＝2x的圖象的上方，則f(x)>g(x)．答案：A4．某種植物生長發(fā)育的數量y與時間x的關系如下表：x123…y138…下面的函數關系式中，能表達這種關系的是()A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－1 D．y＝－＋2解析：代入數據驗證可得答案．答案：D5．某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系是y＝3000＋20x－(0<x<240，x∈N)，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產量是()A．100臺 B．120臺C．150臺 D．180臺解析：設新價為b，依題意有25x－(3000＋20x－≥0，解得x≥150或x≤－200(舍)．故選C.答案：C6．下列函數中隨x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝eq\f(1,100)ex B．y＝100lnxC．y＝x100 D．y＝100·2x解析：指數爆炸式形如指數函數．又e>2，∴eq\f(1,100)ex比100·2x增大速度快．答案：A二、填空題7．某商人購貨，進價已按原價a扣去25%，他希望對貨物訂一個新價，以便按新價讓利20%銷售后仍可獲得售價25%的純利潤，則此商人經營這種貨物的件數x與按新價讓利總額y之間的函數關系是________．解析：設新價為b，依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%化簡，得b＝eq\f(5,4)a.∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N)．答案：y＝eq\f(a,4)x(x∈N)8．假設某商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系R＝aeq\r(A)，那么廣告效應為D＝aeq\r(A)－A，當A＝________時，取得最大廣告效應．解析：D＝aeq\r(A)－A＝－(eq\r(A))2＋aeq\r(A)，∴eq\r(A)＝eq\f(1,2)a時，D取最大值，此時，A＝eq\f(1,4)a2.答案：eq\f(1,4)a29．某商店每月利潤穩(wěn)步增長，去年12月份的利潤是當年1月份利潤的k倍，則該商店去年每月利潤的平均增長率為__________．解析：設平均增長率為p，則k＝(1＋p)11，故p＝eq\r(11,k)－1.答案：eq\r(11,k)－1三、解答題10．某市的一家報刊攤點，從報社買進《晚報》的價格是每份元，賣出價是每份元，賣不掉的報紙可以以每份元價格退回報社．在一個月(以30天計)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的份數必須相同，這個攤主每天從報社買進多少份，才能使每月所獲得的利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少元？解：設攤主每天從報社買進x份，易知x∈[250,400]時，每月所獲利潤才能最大．于是每月所獲利潤y為y＝20×＋10××250＋10××(x－250)－30×＝＋625(x∈[250,400])．因函數y在[250,400]上為增函數，故當x＝400時，y有最大值825元，即攤主每天從報社買進400份，才能使每月所獲得的利潤最大，一月最多可賺得825元．11．已知桶1與桶2通過水管相連如圖所示，開始時桶1中有aL水，tmin后剩余的水符合指數衰減函數y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5min后，桶1中的水與桶2中的水相等，那么再過多長時間桶1中的水只有eq\f(a,4)L?解：由題意得ae－5n＝a－a·e－5n，即e－5n＝eq\f(1,2)①設再過tmin后桶1中的水有eq\f(a,4)L，則ae－n(t＋5)＝eq\f(a,4)，e－n(t＋5)＝eq\f(1,4)②將①式平方得e－10n＝eq\f(1,4)③比較②、③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5.即再過5min后桶1中的水只有eq\f(a,4)L.創(chuàng)新題型12．某網民用電腦上因特網有兩種方案可選：一是在家里上網，費用分為通訊費(即電話費)與網絡維護費兩部分．現有政策規(guī)定：通訊費為元/分鐘，但每月30元封頂(即超過30元則只需交30元)，網絡維護費1元/小時，但每月上網不超過10小時則要交10元；二是到附近網吧上網，價格為元/小時．(1)將該網民某月內在家上網的費用y(元)表示為時間t(小時)的函數；(2)試確定在何種情況下，該網民在家上網更便宜？解：(1)由題意可以得到y(tǒng)＝eq\b\lc\{\rc\(