數(shù)值建模課件-擬合

這樣，最小二乘問題就轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)（4）的極小點(diǎn)問題.用最小二乘法求擬合曲線的問題，就是在形如(2)的中求一函數(shù)，由求多元函數(shù)極值的必要條件，有使（3）取得最小.1這樣，最小二乘問題就轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)（4）的極小點(diǎn)曲線擬合的最小二乘法

1最小二乘法及其計(jì)算

在函數(shù)的最佳平方逼近中如果只在一組離散點(diǎn)集上給定，這就是科學(xué)實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常見到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合.2曲線擬合的最小二乘法1最小二乘法及其計(jì)算在記誤差則的各分量分別為個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上的誤差.問題為利用求出一個(gè)函數(shù)與所給數(shù)據(jù)擬合.3記誤差則的各分量設(shè)是上線性無關(guān)函數(shù)族，在中找一函數(shù)，使誤差平方和（1）這里（2）4設(shè)是這個(gè)問題稱為最小二乘逼近，幾何上稱為曲線擬合的最小二乘法.用最小二乘求擬合曲線時(shí),首先要確定的形式.確定的形式問題不僅是數(shù)學(xué)問題,還與問題的實(shí)際背景有關(guān).通常要用問題的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及給定的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)描圖,確定的形式,然后通過實(shí)際計(jì)算選出較好的結(jié)果.5這個(gè)問題稱為最小二乘逼近，幾何上稱為曲線擬合的為了使問題的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考慮加權(quán)平方和（2）（3）這里是上的權(quán)函數(shù)，它表示不同點(diǎn)處的數(shù)據(jù)比重不同.就是次多項(xiàng)式.若是次多項(xiàng)式，的一般表達(dá)式為（2）表示的線性形式.6為了使問題的提法更有一般性，通常在最小二乘法中（2）其中（7）要使法方程(6)有惟一解，就要求矩陣非奇異，而在上線性無關(guān)不能推出矩陣非奇異，必須加上另外的條件.（6）7其中（7）要使法方程(6)有惟一解，就要求矩陣若記（5）上式可改寫為（6）這個(gè)方程稱為法方程，可寫成矩陣形式8若記（5）上式可改寫為（6）這個(gè)方程稱為法方程，可寫成矩一般可取，但這樣做當(dāng)時(shí)，通常對(duì)的簡(jiǎn)單情形都可通過求法方程（6）得到給定的離散數(shù)據(jù)，例如，，求解法方程（6）將出現(xiàn)系數(shù)矩陣為病態(tài)的問題，有時(shí)根據(jù)給定數(shù)據(jù)圖形，其擬合函數(shù)表面上不是（2）的形式，但通過變換仍可化為線性模型.若兩邊取對(duì)數(shù)得（6）（2）9一般可取，但這樣做當(dāng)顯然在任意個(gè)點(diǎn)上滿足哈爾條件.哈爾條件，則法方程(6)

的系數(shù)矩陣(7)

非奇異，如果在上滿足函數(shù)的最小二乘解為

定義1設(shè)的任意線性組合在點(diǎn)集上至多只有個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱在點(diǎn)集上滿足哈爾(Haar)條件.方程(6)存在惟一的解從而得到于是（6）10顯然在任意個(gè)點(diǎn)這樣得到的，對(duì)任何形如(2)的，都有故確是所求最小二乘解.（2）11這樣得到的，對(duì)任何形如(2)的，都有故

例7這樣就變成了形如（2）的線性模型.此時(shí)，若令則已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下，求它的擬合曲線.12例7這樣就變成了形如（2）的線性模型.此時(shí)，若令

解從圖中看到各點(diǎn)在一條直線附近，故可選擇線性函數(shù)作擬合曲線，將所給數(shù)據(jù)在坐標(biāo)紙上標(biāo)出，見圖1.圖113解從圖中看到各點(diǎn)在一條直線附近，故可選擇線性令這里故14令這里故14解得由（6）得方程組于是所求擬合曲線為（6）15解得由（6）得方程組于是所求擬合曲線為（6）15關(guān)于多項(xiàng)式擬合，Matlab中有現(xiàn)成的程序其中輸入?yún)?shù)為要擬合的數(shù)據(jù)，為擬合多項(xiàng)式的次數(shù)，輸出參數(shù)為擬合多項(xiàng)式的系數(shù).利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多項(xiàng)式擬合.16關(guān)于多項(xiàng)式擬合，Matlab中有現(xiàn)成的程序x=[11233345];f=[444.566688.5];aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,’r+’,x,y,’k’)xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);gtext(‘y=s1(x)’）17x=[11233345];17結(jié)果如下：18結(jié)果如下：18

例1設(shè)數(shù)據(jù)由表3-1給出，用最小二乘法確定及.

解表中第4行為通過描點(diǎn)可以看出數(shù)學(xué)模型為它不是線性形式.用給定數(shù)據(jù)描圖可確定擬合曲線方程為兩邊取對(duì)數(shù)得19例1設(shè)數(shù)據(jù)若令先將轉(zhuǎn)化為為確定，根據(jù)最小二乘法，取則得數(shù)據(jù)表見表3-1.得20若令先將轉(zhuǎn)化為為確定，故有法方程解得于是得最小二乘擬合曲線為21故有法方程解得于是得最小二乘擬合曲線為21（9）則方程（6）的解為且平方誤差為（6）22（9）則方程（6）的解為且平方誤差為（6）22接下來根據(jù)給定節(jié)點(diǎn)及權(quán)函數(shù)構(gòu)造帶權(quán)正交的多項(xiàng)式.注意，用遞推公式表示，即（10）這里是首項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式，根據(jù)的正交性，得23接下來根據(jù)給定節(jié)點(diǎn)及權(quán)函數(shù)利用下面的程序，可在Matlab中完成曲線擬合.x=[1.001.251.501.752.00];y=[5.105.796.537.458.46];y1=log(y);aa=poly(x,y1,1);a=aa(1);b=exp(aa(2));y2=b*exp(a*x);plot(x,y,’r+’,x,y2,’k’)xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);gtext(‘y=a*exp(bx))’;24利用下面的程序，可在Matlab中完成曲線擬合.x結(jié)果如下：25結(jié)果如下：25而，于是由（5.12），當(dāng)時(shí)，另外，是首項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式，它可由由歸納法假定，當(dāng)時(shí)的線性組合表示.由歸納法假定又有（12）26而，于是由（5.12），當(dāng)2用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合

如果是關(guān)于點(diǎn)集（8）用最小二乘法得到的法方程組（6），其系數(shù)矩陣是病態(tài)的.帶權(quán)正交的函數(shù)族，即（6）272用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合如果至此已證明了由（10）及（11）確定的多項(xiàng)式組成一個(gè)關(guān)于點(diǎn)集的正交系.用正交多項(xiàng)式的線性組合作最小二乘曲線擬合，只要根據(jù)公式（10）及（11）逐步求的同時(shí)，相應(yīng)計(jì)算出系數(shù)最后，由和的表達(dá)式（11）有28至此已證明了由（10）及（11）確定的多項(xiàng)式（11）下面用歸納法證明這樣給出的是正交的.29（11）下面用歸納法證明這樣給出的是正假定對(duì)及要證對(duì)均成立.由（10）有由（10）第二式及（11）中的表達(dá)式，有均成立，（5.12）（10）（10）30假定對(duì)由假定有再考慮（13）利用（11）中表達(dá)式及以上結(jié)果，得31由假定有再考慮（13）利用（11）中表達(dá)式并逐步把累加到中去，最后就可得到所求的用這種方法編程序不用解方程組，只用遞推公式，并且當(dāng)逼近次數(shù)增加一次時(shí)，只要把程序中循環(huán)數(shù)加1，其余不用改變.這里可事先給定或在計(jì)算過程中根據(jù)誤差確定.擬合曲線32并逐步把累加到中去，最后就可得到所求只要在上分段連續(xù)，則級(jí)數(shù)（3）一致收斂到.對(duì)于最佳平方逼近多項(xiàng)式（6.1）有由此可以得到相應(yīng)于（4.11）的貝塞爾不等式因?yàn)橛疫叢灰蕾囉?，左邊單調(diào)有界，所以級(jí)數(shù)（3）（6.1）（11）33只要在上分段連續(xù)，則級(jí)數(shù)（3這樣，最小二乘問題就轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)（4）的極小點(diǎn)問題.用最小二乘法求擬合曲線的問題，就是在形如(2)的中求一函數(shù)，由求多元函數(shù)極值的必要條件，有使（3）取得最小.34這樣，最小二乘問題就轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)（4）的極小點(diǎn)曲線擬合的最小二乘法

1最小二乘法及其計(jì)算

在函數(shù)的最佳平方逼近中如果只在一組離散點(diǎn)集上給定，這就是科學(xué)實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常見到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合.35曲線擬合的最小二乘法1最小二乘法及其計(jì)算在記誤差則的各分量分別為個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上的誤差.問題為利用求出一個(gè)函數(shù)與所給數(shù)據(jù)擬合.36記誤差則的各分量設(shè)是上線性無關(guān)函數(shù)族，在中找一函數(shù)，使誤差平方和（1）這里（2）37設(shè)是這個(gè)問題稱為最小二乘逼近，幾何上稱為曲線擬合的最小二乘法.用最小二乘求擬合曲線時(shí),首先要確定的形式.確定的形式問題不僅是數(shù)學(xué)問題,還與問題的實(shí)際背景有關(guān).通常要用問題的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及給定的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)描圖,確定的形式,然后通過實(shí)際計(jì)算選出較好的結(jié)果.38這個(gè)問題稱為最小二乘逼近，幾何上稱為曲線擬合的為了使問題的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考慮加權(quán)平方和（2）（3）這里是上的權(quán)函數(shù)，它表示不同點(diǎn)處的數(shù)據(jù)比重不同.就是次多項(xiàng)式.若是次多項(xiàng)式，的一般表達(dá)式為（2）表示的線性形式.39為了使問題的提法更有一般性，通常在最小二乘法中（2）其中（7）要使法方程(6)有惟一解，就要求矩陣非奇異，而在上線性無關(guān)不能推出矩陣非奇異，必須加上另外的條件.（6）40其中（7）要使法方程(6)有惟一解，就要求矩陣若記（5）上式可改寫為（6）這個(gè)方程稱為法方程，可寫成矩陣形式41若記（5）上式可改寫為（6）這個(gè)方程稱為法方程，可寫成矩一般可取，但這樣做當(dāng)時(shí)，通常對(duì)的簡(jiǎn)單情形都可通過求法方程（6）得到給定的離散數(shù)據(jù)，例如，，求解法方程（6）將出現(xiàn)系數(shù)矩陣為病態(tài)的問題，有時(shí)根據(jù)給定數(shù)據(jù)圖形，其擬合函數(shù)表面上不是（2）的形式，但通過變換仍可化為線性模型.若兩邊取對(duì)數(shù)得（6）（2）42一般可取，但這樣做當(dāng)顯然在任意個(gè)點(diǎn)上滿足哈爾條件.哈爾條件，則法方程(6)

的系數(shù)矩陣(7)

非奇異，如果在上滿足函數(shù)的最小二乘解為

定義1設(shè)的任意線性組合在點(diǎn)集上至多只有個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱在點(diǎn)集上滿足哈爾(Haar)條件.方程(6)存在惟一的解從而得到于是（6）43顯然在任意個(gè)點(diǎn)這樣得到的，對(duì)任何形如(2)的，都有故確是所求最小二乘解.（2）44這樣得到的，對(duì)任何形如(2)的，都有故

例7這樣就變成了形如（2）的線性模型.此時(shí)，若令則已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下，求它的擬合曲線.45例7這樣就變成了形如（2）的線性模型.此時(shí)，若令

解從圖中看到各點(diǎn)在一條直線附近，故可選擇線性函數(shù)作擬合曲線，將所給數(shù)據(jù)在坐標(biāo)紙上標(biāo)出，見圖1.圖146解從圖中看到各點(diǎn)在一條直線附近，故可選擇線性令這里故47令這里故14解得由（6）得方程組于是所求擬合曲線為（6）48解得由（6）得方程組于是所求擬合曲線為（6）15關(guān)于多項(xiàng)式擬合，Matlab中有現(xiàn)成的程序其中輸入?yún)?shù)為要擬合的數(shù)據(jù)，為擬合多項(xiàng)式的次數(shù)，輸出參數(shù)為擬合多項(xiàng)式的系數(shù).利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多項(xiàng)式擬合.49關(guān)于多項(xiàng)式擬合，Matlab中有現(xiàn)成的程序x=[11233345];f=[444.566688.5];aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,’r+’,x,y,’k’)xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);gtext(‘y=s1(x)’）50x=[11233345];17結(jié)果如下：51結(jié)果如下：18

例1設(shè)數(shù)據(jù)由表3-1給出，用最小二乘法確定及.

解表中第4行為通過描點(diǎn)可以看出數(shù)學(xué)模型為它不是線性形式.用給定數(shù)據(jù)描圖可確定擬合曲線方程為兩邊取對(duì)數(shù)得52例1設(shè)數(shù)據(jù)若令先將轉(zhuǎn)化為為確定，根據(jù)最小二乘法，取則得數(shù)據(jù)表見表3-1.得53若令先將轉(zhuǎn)化為為確定，故有法方程解得于是得最小二乘擬合曲線為54故有法方程解得于是得最小二乘擬合曲線為21（9）則方程（6）的解為且平方誤差為（6）55（9）則方程（6）的解為且平方誤差為（6）22接下來根據(jù)給定節(jié)點(diǎn)及權(quán)函數(shù)構(gòu)造帶權(quán)正交的多項(xiàng)式.注意，用遞推公式表示，即（10）這里是首項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式，根據(jù)的正交性，得56接下來根據(jù)給定節(jié)點(diǎn)及權(quán)函數(shù)利用下面的程序，可在Matlab中完成曲線擬合.x=[1.001.251.501.752.00];y=[5.105.796.537.458.46];y1=log(y);aa=poly(x,y1,1);a=aa(1);b=exp(aa(2));y2=b*exp(a*x);plot(x,y,’r+’,x,y2,’k’)xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);gtext(‘y=a*exp(bx))’;57利用下面的程序，可在Matlab中完成曲線擬合.x結(jié)果如下：58結(jié)果如下：25而，于是由（5.12），當(dāng)時(shí)，另外，是首項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式，它可由由歸納法假定，當(dāng)時(shí)的線性組合表示.由歸納法假定又有（12）59而，于是由（5.12），當(dāng)2用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合

如果是關(guān)于點(diǎn)集（8）用最小二乘法得到的法方程