玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)課件

1.什么是統(tǒng)計(jì)物理（StatisticalPhysics）?從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和微觀運(yùn)動來闡明物質(zhì)的宏觀熱性質(zhì)的學(xué)科。它基本假設(shè)是等概率原理：處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，其各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。統(tǒng)計(jì)物理部分2.基本特點(diǎn)是什么？統(tǒng)計(jì)物理學(xué)并不研究某一粒子的運(yùn)動狀態(tài)隨時(shí)間變化，而是討論在一定條件下粒子按狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。李政道語：統(tǒng)計(jì)力學(xué)是理論物理中最完美的科目之一，因?yàn)樗幕A(chǔ)假設(shè)是簡單的，但它的應(yīng)用卻十分廣泛。11.什么是統(tǒng)計(jì)物理（StatisticalPhysics3.(平衡態(tài))統(tǒng)計(jì)物理的基本任務(wù)是什么？定義取平均值的嚴(yán)格方法，首先從微觀狀態(tài)數(shù)出發(fā)，計(jì)算系統(tǒng)在一個(gè)態(tài)的概率，在一定條件下計(jì)算均勻物性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和熱力學(xué)函數(shù)。因此它是連接微觀和宏觀的橋梁。4.

統(tǒng)計(jì)物理的研究手段有那些？

(1)最概然統(tǒng)計(jì)（玻耳茲曼建立）(2)系綜理論（吉布斯建立）23.(平衡態(tài))統(tǒng)計(jì)物理的基本任務(wù)是什么？4.統(tǒng)計(jì)物理的研5.

既然傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)物理已經(jīng)很成熟，那么當(dāng)今統(tǒng)計(jì)物理還有那些問題要研究？德國著名統(tǒng)計(jì)物理學(xué)家PeterHanggi語：統(tǒng)計(jì)力學(xué)的創(chuàng)始人的心中裝著宏觀系統(tǒng)，因此他們用幾個(gè)變量就能夠描寫之，而現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)力學(xué)的關(guān)鍵問題在于微觀機(jī)械能超越宏觀定律的極限有多遠(yuǎn)。例如：可逆卡諾循環(huán)熱機(jī)效率：35.既然傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)物理已經(jīng)很成熟，那么當(dāng)今統(tǒng)計(jì)物理還有那些玻耳茲曼：統(tǒng)計(jì)物理的奠基人之一路德維?！げ柶澛?LudwigEdwardBoltzmann（1844.2.20-1906.9.5)生于維也納，卒于意大利的杜伊諾科學(xué)史話(4)物理學(xué)界的貝多芬4玻耳茲曼：統(tǒng)計(jì)物理的奠基人之一路德維希·玻爾茲曼(Ludwi他還注重自然科學(xué)哲學(xué)問題的研究，著有《物質(zhì)的動理論》等。作為哲學(xué)家，反對實(shí)證論和現(xiàn)象論，并在原子論遭到嚴(yán)重攻擊的時(shí)刻堅(jiān)決捍衛(wèi)它。

“如果對于氣體理論的一時(shí)不喜歡而把它埋沒，對科學(xué)將是一個(gè)悲??；例如：由于牛頓的權(quán)威而使波動理論受到的待遇就是一個(gè)教訓(xùn)。我意識到我只是一個(gè)軟弱無力的與時(shí)代潮流抗?fàn)幍膫€(gè)人，但仍在力所能及的范圍內(nèi)做出貢獻(xiàn)，使得一旦氣體理論復(fù)蘇，不需要重新發(fā)現(xiàn)許多東西?！薄柶澛柶澛囊簧H富戲劇性，他獨(dú)特的個(gè)性也一直吸引著人們的關(guān)注。有人說他終其一生都是一個(gè)“鄉(xiāng)巴佬”，他自己要為一生的不斷搬遷和無間斷的矛盾沖突負(fù)責(zé)，甚至他以自殺來結(jié)束自己輝煌一生的方式也是其價(jià)值觀沖突的必然結(jié)果。玻耳茲曼捍衛(wèi)科學(xué)的精神值得稱贊，但不應(yīng)效仿5他還注重自然科學(xué)哲學(xué)問題的研究，著有《物質(zhì)的動理論》等。作為玻耳茲曼的歷史貢獻(xiàn)1）發(fā)展了麥克斯韋的分子運(yùn)動論學(xué)說；2）物理體系的熵和概率聯(lián)系起來3）闡明了熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)；4）導(dǎo)出能量均分理論；5）最先把熱力學(xué)原理應(yīng)用于輻射，導(dǎo)出熱輻射定律，稱斯忒藩-波爾茲曼定律；6）建立了稀薄氣體分子的輸運(yùn)方程：玻耳茲曼方程

和H定理。因此而自殺！最輝煌!6玻耳茲曼的歷史貢獻(xiàn)1）發(fā)展了麥克斯韋的分子運(yùn)動論學(xué)說；因此其表述如下：“一個(gè)新的科學(xué)真理照例不能用說服對手，等他們表示意見說‘得益匪淺’這個(gè)辦法來實(shí)行。恰恰相反，只能是等到對手們漸漸死亡，使得新的一代開始熟悉真理時(shí)才能貫徹?！睂ζ绽士藖碚f，學(xué)術(shù)爭論沒有多少誘惑力，因?yàn)樗J(rèn)為它們不能產(chǎn)生什么新東西。由于上述說法后來又被學(xué)界有重大影響的其他學(xué)者，如托馬斯·庫恩等多次引證，它似乎成了一條自明的真理。果真如此嗎？如果普朗克所言不虛，那么科學(xué)爭論在科學(xué)思想發(fā)展史上的意義就要大打折扣了。普朗克為人平和、正直，被譽(yù)為“學(xué)林古柏”，其高尚的人品是值得人們敬仰的，但并不是他所說的每一句話都是正確的，哪怕這句話多次被人們引用。“普朗克定律”（一個(gè)現(xiàn)代科學(xué)的絆腳石）由此可見，玻耳茲曼就是他自己發(fā)明的“孤立系統(tǒng)的熵增加原理”的犧牲品?？茖W(xué)史話(5)7其表述如下：“一個(gè)新的科學(xué)真理照例不能用說服對手，等他們表示第五章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)

一、玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)二、配分函數(shù)技術(shù)三、能量均分定理四、玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用小結(jié)和習(xí)題課動機(jī)和目的8第五章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)一、玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)小結(jié)和習(xí)題課動機(jī)

由廣義坐標(biāo)和廣義動量所構(gòu)成的空間。

統(tǒng)計(jì)物理特色：事先將相空間分成許多格子，在一個(gè)格子內(nèi)的坐標(biāo)和動量相同，一個(gè)能量附近的格子越多，則粒子處于這個(gè)能級上的概率就越大。問題：是在一個(gè)平面或者曲面上畫格子（例如圍棋）嗎？Θ（廣義坐標(biāo)）（廣義動量）預(yù)備知識：μ空間(讀\mu)也叫相空間9

由廣義坐標(biāo)和廣義動量所構(gòu)成的空間。問題：是在一個(gè)平面或者X√

基本概念

①相點(diǎn)：μ空間中的一點(diǎn)代表粒子的一個(gè)可能的運(yùn)動狀態(tài)②等能面：在μ空間具有相同能量的可能狀態(tài)連起來所構(gòu)成的曲面③相體積：等能面在相空間所圍成的一塊體積在等能面上畫格子？等能面就像“洋蔥”10X√【例題5.1】處于邊長為L的立方容器內(nèi)由單原子分子組成的理想氣體，粒子的能量表示為：等能面空間范圍L11【例題5.1】處于邊長為L的立方容器內(nèi)由單原子分子組成的理想

§5.1玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)分布律①玻耳茲曼假設(shè)（也是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基本假設(shè)）②B分布的推導(dǎo)（在統(tǒng)計(jì)平衡時(shí)，相同可分辯粒子按能量的最可幾分布）能層相格數(shù)編號的相格微觀態(tài)分布注意：用表示粒子在各能層中的一定的分布12§5.1玻耳茲

μ空間中相格及粒子填充方式13μ空間中相格及粒子填充方式13③編號的粒子按編號的相格的一種分配，就是體系的一個(gè)微觀態(tài)。一個(gè)微觀態(tài)一定對應(yīng)一種分布；反之，一種分布可以對應(yīng)許多微觀態(tài)。注意：同一相格中的粒子發(fā)生交換，體系的微觀狀態(tài)不變；而在不同相格中的粒子發(fā)生交換時(shí)，體系將出現(xiàn)不同的微觀狀態(tài)。14③編號的粒子按編號的相格的一種分配，就是體系的注意：同一相1515161617171818【書150頁練習(xí)】用拉格朗日乘子法求條件極值19【書150頁練習(xí)】用拉格朗日乘子法求條件極值192020粒子按能級填充的最概然分布的表示式是：21粒子按能級填充的最概然分布的表示式是：212222【思考題】試說明下列公式的物理意義(1)在平衡態(tài)下，分布在第i個(gè)能級上的粒子數(shù)；(2)在平衡態(tài)下，第i個(gè)能上平均每個(gè)相格內(nèi)的粒子數(shù)；(3)在某一狀態(tài)下，能量為ε且位于相體積元dω內(nèi)的粒子數(shù)；(4)在某一狀態(tài)下，能量為ε且位于相體積元dω的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比。23【思考題】試說明下列公式的物理意義(1)在平衡態(tài)下，分布在【例5.1】24【例5.1】242525第五章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)

一、玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)

三、能量均分定理四、玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用小結(jié)和習(xí)題課動機(jī)和目的二、配分函數(shù)技術(shù)26第五章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)一、玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)小結(jié)和習(xí)題課動機(jī)近獨(dú)立近似下的粒子能量取離散和連續(xù)，那么一個(gè)粒子的配分函數(shù)為

表示將所有能級或能殼內(nèi)的相格數(shù)按玻耳茲曼權(quán)重求和。系統(tǒng)總的配分函數(shù)是單個(gè)粒子的配分函數(shù)的乘積。

我們尋找諸熱力學(xué)函數(shù)與配分函數(shù)（T、V、N的函數(shù)）的關(guān)系?！?.2配分函數(shù)技術(shù)（熱力學(xué)公式）27近獨(dú)立近似下的粒子能量取離散和連續(xù)，那么一個(gè)粒子的配分函數(shù)為282829293030

至此，我們已經(jīng)得到了一個(gè)粒子的各個(gè)熱力學(xué)函數(shù)與其配分函數(shù)的關(guān)系，然后在擴(kuò)大N倍，得到系統(tǒng)的諸熱力學(xué)函數(shù)。31至此，我們已經(jīng)得到了一個(gè)粒解題方法：由單粒子的能量表示式寫出粒子的配分函數(shù)，完成對粒子坐標(biāo)和動量積分，配分函數(shù)是溫度、體積和粒子數(shù)的函數(shù)；在利用熱力學(xué)函數(shù)與配分函數(shù)的關(guān)系，確定熱力學(xué)函數(shù)和物態(tài)方程（即壓強(qiáng)的表達(dá)式）。32解題方法：32【例5.2】33【例5.2】333434第五章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)

一、玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)二、配分函數(shù)技術(shù)

四、玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用小結(jié)和習(xí)題課動機(jī)和目的三、能量均分定理35第五章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)一、玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)小結(jié)和習(xí)題課動機(jī)§5.3能量均分定理內(nèi)容：處于溫度為T的平衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)中，一個(gè)粒子的能量ε分配在每個(gè)獨(dú)立平方項(xiàng)上的平均值等于。

注釋：（1）平衡態(tài)：粒子按能級分布遵守玻爾茲曼分布；

（2）獨(dú)立平方項(xiàng)：自由度之間無關(guān)聯(lián)（例如動量守恒就不獨(dú)立）；（3）歷史上，用經(jīng)典能量均分定理計(jì)算雙原子分子熱容量，在低溫與實(shí)驗(yàn)不符，帶來20世紀(jì)初兩朵烏云中的一朵。36§5.3能量均分定理36證明：設(shè)粒子的能量表示為37證明：設(shè)粒子的能量表示為37下面將的高斯積分積出，有那么，一個(gè)粒子的平均能量：38下面將的高斯積分積出，有那么，一個(gè)粒子的平均能量：38所以

討論：（1）結(jié)果與動量平方前的因子無關(guān)；（2）能量均分定理僅適用于經(jīng)典情況；（3）總能量為消除非獨(dú)立平方項(xiàng)數(shù)目乘以。39所以討論：39【例5.3】40【例5.3】404141第五章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)

一、玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)二、配分函數(shù)技術(shù)

小結(jié)和習(xí)題課動機(jī)和目的四、玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用三、能量均分定理42第五章玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)一、玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)小結(jié)和習(xí)題課動機(jī)§5.4玻耳茲曼分布的實(shí)際適用性經(jīng)典玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)適用于稀薄氣體，即

43§5.4玻耳茲曼分布的實(shí)際適用性經(jīng)典玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)適用于稀§5.5應(yīng)用之一：量子諧振子44§5.5應(yīng)用之一：量子諧振子44討論：平均量子數(shù)的意義，它是系統(tǒng)被熱激發(fā)所能到達(dá)的能量，這個(gè)數(shù)在低溫小，高溫大。45討論：平均量子數(shù)的意義，它是系統(tǒng)被熱激發(fā)所能到達(dá)的能量，這個(gè)§5.5應(yīng)用之二：氣體熱容量的量子理論一、動機(jī)（首先看量子統(tǒng)計(jì)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的異同）能量均分定理計(jì)算氣體和固體熱容量，遇到困難

低溫時(shí)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符以經(jīng)典統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，粒子能譜是連續(xù)的①微觀粒子遵守量子力學(xué)；②能量是分立的。46§5.5應(yīng)用之二：氣體熱容量的量子理論46為什么將雙原子分子組成的氣體拿來研究？19世紀(jì)的最后一天，歐洲著名的科學(xué)家歡聚一堂。會上，英國著名物理學(xué)家湯姆孫（即開爾文男爵）發(fā)表了新年祝詞。他在回顧物理學(xué)所取得的偉大成就時(shí)說，物理大廈已經(jīng)落成，所剩只是一些修飾工作。同時(shí)，他在展望20世紀(jì)物理學(xué)前景時(shí)，卻若有所思地講道：“動力理論肯定了熱和光是運(yùn)動的兩種方式，現(xiàn)在，它的美麗而晴朗的天空卻被兩朵烏云籠罩了”?！暗谝欢錇踉瞥霈F(xiàn)在光的波動理論上”；“第二朵烏云出現(xiàn)在用能量均分定理計(jì)算氣體比熱以及輻射能譜與實(shí)驗(yàn)不符，也稱紫外災(zāi)難”。引發(fā)了相對論和量子論的誕生究其根源經(jīng)典統(tǒng)計(jì)：①能量是坐標(biāo)和動量的連續(xù)函數(shù)；②經(jīng)典粒子可以編號。量子統(tǒng)計(jì)：①能量是離散的；②粒子不能編號，即全同粒子不可分辨。47為什么將雙原子分子組成的氣體拿來研究？19世紀(jì)的最二、本節(jié)思路：（1）承認(rèn)量子力學(xué)給出的能譜結(jié)構(gòu)，不要求從量子化條件導(dǎo)出；（2）在已知能譜情況下，計(jì)算雙原子分子的Z、U、Cv，并求高溫和低溫近似表達(dá)式。雙原子分子運(yùn)動分解：①質(zhì)心平動；②振動；③轉(zhuǎn)動。48二、本節(jié)思路：48

經(jīng)典

量子(1)能量:是(p,q)的連續(xù)函數(shù)

離散值(2)相格:一個(gè)相格相應(yīng)一個(gè)

測不準(zhǔn)原理

粒子的一個(gè)運(yùn)動狀態(tài)同一種粒子不可

(3)粒子:可編號分辨，全同性原理(4)配分函數(shù)：

理解為第i個(gè)能級所對應(yīng)的量子態(tài)數(shù)目，在量子力學(xué)中稱為能級的簡并度。49

三、運(yùn)動模式由量子力學(xué)解出其能級表達(dá)式：作了兩點(diǎn)近似：①略去了核外電子的能量；②略去了這三種運(yùn)動形式之間的關(guān)聯(lián)。幾點(diǎn)討論：(1)質(zhì)心平動與經(jīng)典一樣；50三、運(yùn)動模式50（2）轉(zhuǎn)動是角動量的量子數(shù)，為轉(zhuǎn)動能級的簡并度，即一能級上可能的量子態(tài)數(shù)；隨變化是因?yàn)榻莿恿吭诳臻g某一方向上的投影也是量子化的，角動量量子數(shù)為時(shí)，共有可能的投影。（3）振動振動能級是無簡并的轉(zhuǎn)動和振動最低能級：51（2）轉(zhuǎn)動51故一個(gè)雙原子分子的能量表達(dá)式為相應(yīng)的簡并度為平動的能級是連續(xù)的，代表在中的狀態(tài)數(shù)目。四、配分函數(shù)，內(nèi)能，等容熱容量(1)(2)52故一個(gè)雙原子分子的能量表達(dá)式為5253535454555556565757討論:(1)分子的振動的典型能量hν為零點(diǎn)幾電子伏，相當(dāng)于幾K，若低于這個(gè)溫度，分子的振動不