容斥原理萬(wàn)能解法之圖示法

容斥原之示法濟(jì)南華圖

楊東時(shí)為了使廣大考生更好的準(zhǔn)備年山東省公務(wù)員考試們?yōu)榇蠹覝?zhǔn)備了數(shù)學(xué)運(yùn)算中的一些解題技巧。數(shù)學(xué)運(yùn)算作為行測(cè)中的重要模塊，數(shù)學(xué)運(yùn)算中涉及到多種題型，但每種題型的出現(xiàn)頻率有所差異其中容斥原理相對(duì)來(lái)說(shuō)出現(xiàn)的頻率還是比較高的但容斥原理中會(huì)出現(xiàn)各種不同的公式不僅增加了學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)更重要的是如果不能透徹的理解公式的適用條件很可能用錯(cuò)時(shí)費(fèi)力所以容斥原理重在理解！容斥原理其實(shí)就是我們中學(xué)時(shí)所學(xué)的集合問(wèn)題。主要包括兩集合問(wèn)題和三集合問(wèn)題容斥原理理解到位的話必須借助圖示并且我們所推導(dǎo)出來(lái)的公式也是來(lái)源于圖示所以容斥原理的理解關(guān)鍵在于圖示的理解！一、兩合問(wèn)題：公式：滿足條件A+滿足條件B－兩者都滿足=總個(gè)數(shù)-兩者都不滿足兩集合的問(wèn)題公式就是通過(guò)上圖得到的:A,B所覆蓋的面=集合A+集合B-兩集合重復(fù)的部分（即兩者都滿足的）=總個(gè)數(shù)-都不滿足【真題】某科研單位共有名科研人員，其中人具有碩士以上學(xué)歷，30人具有高級(jí)職稱，人兼而有之。沒(méi)有高級(jí)職稱也沒(méi)有碩士以上學(xué)歷的科研人員是多少人？（）13B.10C.8D.5【解析】首先判定這是關(guān)于學(xué)歷和職稱的兩集合問(wèn)題。解法這道題給出的量完全符合兩集合的公式，所以可以直接代入公式計(jì)算即：

解出解法2圖示法，根據(jù)圖示A,B對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為，重復(fù)的部分為12則AB不滿足的為68-）=5二、三合問(wèn)題：三集合問(wèn)題較兩集合的問(wèn)題復(fù)雜，所以理解更為重要！對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)公式：BCA|C|-|-B|-A|AB|個(gè)數(shù)三者都不滿足的個(gè)數(shù)公式對(duì)應(yīng)的意義為ABC所覆蓋的面積為個(gè)面積-復(fù)部分（A∩∩）這時(shí)最中間的部分多減了次，再加上即為ABC所覆蓋的面積?！菊骖}】某專業(yè)有學(xué)生人，現(xiàn)開設(shè)有甲、乙、丙三門選修課。有40選修甲課程，人選修乙課程30選修丙課程，兼選甲、乙兩門課程的28人，兼選甲、丙兩門課程的有人，兼選乙、丙兩門課程的有人，甲、乙、丙三門課程均選的有人，問(wèn)三門課程均未選的有多少人？（）A.1人C.3人

B.2人D.4人【解析】這個(gè)題目為三集合問(wèn)題，通過(guò)分析題目給出的條件和問(wèn)題都符合公式所以可以直接代入公式：40+36+30-28-26-24+20=50－x

解得這里需要注意的是滿足條件AB和只滿足條件AB區(qū)別。公式中AB表示的是滿足條件AB，而只滿足條件AB的為下圖右邊所示的部分紅色部分

滿足條

只滿足件AB如果三集合題目中的條件不能完全滿足公式時(shí)，我們就需要借助圖示來(lái)解題根據(jù)上圖我們可以得出ABC所覆蓋面積為三個(gè)集合的面積-重復(fù)1次的部分（即紅，藍(lán)，綠三部分）-重復(fù)2（黑色部分）【真題】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)對(duì)集貿(mào)市場(chǎng)種食品進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)超過(guò)保質(zhì)期的種，防腐添加劑不合格的9種產(chǎn)品外包裝標(biāo)識(shí)不規(guī)范的6其中兩項(xiàng)同時(shí)不合格的5，三項(xiàng)同時(shí)不合格的2種。問(wèn)三項(xiàng)全部合格的食品有多少種）14C.23

B.21D.32【解析這個(gè)題目為三集合問(wèn)題通過(guò)分析題目給出的條件和問(wèn)題不完全符合公式所以需要借助圖示來(lái)分析題目題目給出的是兩項(xiàng)同時(shí)不合格即為只滿足2項(xiàng)的有5（為上圖中紅，藍(lán)，綠三部分）三項(xiàng)同時(shí)不合格為種（黑色部分）所以36（6+7+9－5－2×2）=23通過(guò)以上幾個(gè)