點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系單元同步測試

第二章測試(時(shí)間：120分鐘總分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)l為直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析由垂直同一直線的兩平面平行知，B正確．答案B2．棱臺的一條側(cè)棱所在的直線與不含這條側(cè)棱的側(cè)面所在平面的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不相交解析由棱臺的定義知，各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)，所以選B.答案B3．一直線l與其外三點(diǎn)A，B，C可確定的平面?zhèn)€數(shù)是()A．1個 B．3個C．1個或3個 D．1個或3個或4個解析當(dāng)A，B，C共線且與l，確定一個平面；當(dāng)A，B，C共線且與l異面時(shí)，可確定3個平面；當(dāng)A，B，C三點(diǎn)不共線時(shí)，可確定4個平面．答案D4．若三個平面兩兩相交，有三條交線，則下列命題中正確的是()A．三條交線為異面直線B．三條交線兩兩平行C．三條交線交于一點(diǎn)D．三條交線兩兩平行或交于一點(diǎn)答案D5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個數(shù)是()A．5 B．8C．10 D．6解析這些直角三角形是：△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8個．答案B6．下列命題正確的有()①若△ABC在平面α外，它的三分別交α于P，Q，R，則P，Q，R三點(diǎn)共線；②若三條平行線a，b，c都與直線l相交，則這四條直線共面；③三條直線兩兩相交，則這三條直線共面．A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析易知①與②正確，③不正確．答案C7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且點(diǎn)P∈α，P?l，則下列命題中的假命題是()A．過點(diǎn)P且垂直于α的直線平行于βB．過點(diǎn)P且垂直于l的直線在α內(nèi)C．過點(diǎn)P且垂直于β的直線在α內(nèi)D．過點(diǎn)P且垂直于l的平面垂直于β答案B8．如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線A．與AC，MN均垂直相交B．與AC垂直，與MN不垂直C．與MN垂直，與AC不垂直D．與AC，MN均不垂直解析易證AC⊥面BB1D1D，OM?面BB1D1D，∴AC⊥OM.計(jì)算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.答案A9．如圖，M是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1①過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線1都相交；②過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，B1C1都垂直；③過M點(diǎn)有且只有一個平面與直線AB，B1C1都相交；④過M點(diǎn)有且只有一個平面與直線AB，B1其中真命題是()A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③解析將過點(diǎn)M的平面CDD1C1繞直線DD1旋轉(zhuǎn)任意非零的角度，所得平面與直線AB，B1C1都相交，故答案C10．已知平面α外不共線的三點(diǎn)A，B，C到α的距離相等，則正確的結(jié)論是()A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC．平面ABC必與α相交D．存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內(nèi)解析排除A、B、C，故選D.答案D11．給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④答案D12．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(1,2)，則下列結(jié)論錯誤的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱錐A—BEF的體積為定值D．△AEF的面積與△BEF的面積相等解析易證AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥BE.∵EF在直線B1D1上，易知B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，VA－BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),24).∴A、B、C選項(xiàng)都正確，由排除法即選D.答案D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知A，B，C，D為空間四個點(diǎn)，且A，B，C，D不共面，則直線AB與CD的位置關(guān)系是________．解析如圖所示：由圖知，AB與CD為異面直線．答案異面14．在空間四邊形ABCDC，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，如果EH，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)M，那么M一定在直線________上．答案BD15．如圖所示，以等腰直角三角形ABC斜邊BC上的高AD為折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面，則：(1)BD與CD的關(guān)系為________；(2)∠BAC＝________.解析(1)AB＝AC，AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，∴∠BDC為二面角的平面角，∠BDC＝90°，∴BD⊥DC.(2)設(shè)等腰直角三角形的直角邊長為a，則斜邊長為eq\r(2)a.∴BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)a.∴折疊后BC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝a.∴折疊后△ABC為等邊三角形．∴∠BAC＝60°.答案(1)BD⊥CD(2)60°16．在正方體ABCD′D′中，過對角線BD′的一個平面交AA′于E，交CC′于F，則：①四邊形BFD′E一定是平行四邊形；②四邊形BFD′E有可能是正方形；③四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上結(jié)論正確的為__________．(寫出所有正確結(jié)論的編號)解析如圖所示：∵BE＝FD′，ED′＝BF，∴四邊形BFD′E為平行四邊形．∴①正確．②不正確(∠BFD′不可能為直角)．③正確(其射影是正方形ABCD)．④正確．當(dāng)E，F(xiàn)分別是AA′，CC′中點(diǎn)時(shí)正確．答案①③④三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)如圖，，G，H分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中點(diǎn)，求證：EF，HG，DC證明∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，連接BC1，GF，如圖．∴GF是△BCC1的中位線，∴GF∥BC1.∵BE∥C1H，且BE＝C1H，∴四邊形EBC1H是平行四邊形．∴EH∥BC1，∴GF∥EH.∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．∵GF≠EH，故EF與HG必相交．設(shè)EF∩HG＝I.∵I∈GH，GH?平面CC1D1D，∴I∈平面CC1D1D.同理可證I∈平面ABCD.∴點(diǎn)I在交線DC上．即EF，HG，DC三線共點(diǎn)．18．(12分)如圖，在四棱錐P，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，點(diǎn)M在棱PD上，PB∥平面ACM.(1)試確定點(diǎn)M的位置，并說明理由；(2)求四棱錐P－ABCD的表面積．解(1)點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)．理由如下：連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，則點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，連接OM，∵PB∥平面ACM，∴PB∥OM.∴OM為△PBD的中位線，故點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)．(2)∵PA⊥底面ABCD，又底面是邊長為1的正方形，∴S正方形ABCD＝1，S△PAB＝S△PAD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S△PBC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)，S△PCD＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2).故四棱錐P－ABCD的表面積為S＝1＋2×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＝2＋eq\r(2).19．(12分)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，如圖．(1)求證：MN∥面BB1C(2)求MN的長．解(1)證明：作NP⊥AB于P，連接∥BC，∴eq\f(AP,AB)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(A1M,A1B)，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1CMN?面MPN，∴MN∥面BB1C(2)eq\f(NP,BC)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(\f(\r(2),3)a,\r(2)a)＝eq\f(1,3)，NP＝eq\f(1,3)a，同理MP＝eq\f(2,3)a.又MP∥BB1，∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.在Rt△MPN中MN＝eq\r(\f(4,9)a2＋\f(1,9)a2)＝eq\f(\r(5),3)a.20．(12分)如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分別為AE，AB的中點(diǎn)．(1)證明：PQ∥平面ACD；(2)求AD與平面ABE所成角的正弦值．解(1)證明：因?yàn)镻，Q分別為AE，AB的中點(diǎn)，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ?平面ACD，從而PQ∥平面ACD.(2)如圖，連接CQ，DP，因?yàn)镼為AB的中點(diǎn)，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因?yàn)镈C⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝eq\f(1,2)EB＝DC，所以四邊形CQPD為平行四邊形，故DP∥CQ.因此DP⊥平面ABE，∠DAP為AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝eq\r(5)，DP＝1，sin∠DAP＝eq\f(\r(5),5)，因此AD和平面ABE所成角的正弦值為eq\f(\r(5),5).21．(12分)如圖，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)．求證：(1)直線EF∥面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.證明(1)在△ABD中，∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，∴EF∥AD.又AD?平面ACD，EF?平面ACD，∴直線EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.22．(12分)已知四棱錐P－ABCD(圖1)的三視圖如圖2所示，△PBC為正三角形，PA垂直底面ABCD，俯視圖是直角梯形．(1)求正視圖的面積；(2)求四棱錐P－ABCD的體積；(3)求證：AC⊥平面PAB.解(1)過A作AE∥CD，根據(jù)三視圖可知，E是BC的中點(diǎn)，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1.又∵△PBC為正三角形，∴BC＝PB＝PC＝2，且PE⊥BC，∴PE2＝PC2－CE2＝3.∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE.∴PA2＝PE2－AE2＝2，即PA＝eq\r(2).正視圖的面積為S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2).(2)由(1)可知，四棱錐P－ABCD的高PA＝eq\r(2)，底面積為S＝eq\f(AD＋BC,2)