2009年高考試題-數(shù)學理（海南卷）解析版

2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（海南卷）數(shù)學（理工農醫(yī)類）第I卷選擇題：（本大題共12題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，中有一項是符合題目要求的。已知集合,則(A)(B)(C)(D)解析：易有，選A(2)復數(shù)（A）0（B）2（C）-2i(D)2解析：,選D（3）對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)理力爭（，）（i=1,2,…，10），得散點圖1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)（，）（i=1,2,…，10）,得散點圖2.由這兩個散點圖可以判斷。（A）變量x與y正相關，u與v正相關（B）變量x與y正相關，u與v負相關（C）變量x與y負相關，u與v正相關（D）變量x與y負相關，u與v負相關解析：由這兩個散點圖可以判斷,變量x與y負相關，u與v正相關,選C（4）雙曲線-=1的焦點到漸近線的距離為（A）（B）2（C）（D）1解析：雙曲線-=1的焦點(4,0)到漸近線的距離為,選A（5）有四個關于三角函數(shù)的命題：：xR,+=:x、yR,sin(x-y)=sinx-siny:x,=sinx:sinx=cosyx+y=其中假命題的是（A），（B），（3），（4），解析：：xR,+=是假命題；是真命題，如x=y=0時成立；是真命題，x,=sinx；是假命題，。選A.（6）設x,y滿足（A）有最小值2，最大值3（B）有最小值2，無最大值（C）有最大值3，無最小值（D）既無最小值，也無最大值解析：畫出可行域可知，當過點（2，0）時，，但無最大值。選B.（7）等比數(shù)列的前n項和為，且4，2，成等差數(shù)列。若=1，則=（A）7（B）8（3）15（4）16解析：4，2，成等差數(shù)列，,選C.（8）如圖，正方體的棱線長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則下列結論中錯誤的是（A）（B）（C）三棱錐的體積為定值（D）異面直線所成的角為定值解析：A正確，易證B顯然正確，；C正確，可用等積法求得；D錯誤。選D.（9）已知O，N，P在所在平面內，且，且，則點O，N，P依次是的（A）重心外心垂心（B）重心外心內心（C）外心重心垂心（D）外心重心內心（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）解析：;（10）如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入，那么輸出的各個數(shù)的合等于（A）3（B）3.5（C）4（D）4.5【解析】第1步：y＝0，x＝－1.5；第2步：y＝0，x＝－1；第3步：y＝0，x＝－0.5；第4步：y＝0，x＝0；第5步：y＝0，x＝0.5；第6步：y＝0.5，x＝1；第7步：y＝1，x＝1.5；第8步：y＝1，x＝2；第9步：y＝1，退出循環(huán)，輸出各數(shù)和為：0.5＋1＋1＋1＝3.5，故選.B。（11）一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：c）為（A）48+12（B）48+24（C）36+12（D）36+24【解析】棱錐的直觀圖如右，則有PO＝4，OD＝3，由勾股定理，得PD＝5，AB＝6，全面積為：×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故選.A。（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三個數(shù)中的最小值設f（x）=min{,x+2,10-x}(x0),則f（x）的最大值為（A）4（B）5（C）6（D）7【解析】畫出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的圖象，如右圖，觀察圖象可知，當0≤x≤2時，f（x）＝2x，當2≤x≤3時，f（x）＝x＋2，當x＞4時，f（x）＝10－x，f（x）的最大值在x＝4時取得為6，故選C。.第II卷二、填空題；本大題共4小題，每小題5分。（13）設已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點。若AB的中點為（2，2），則直線的方程為_____________.解析：拋物線的方程為，答案：y=x（14）已知函數(shù)y=sin（x+）（>0,-<）的圖像如圖所示，則=________________解析：由圖可知，答案：（15）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動。若每天安排3人，則不同的安排方案共有________________種（用數(shù)字作答）。解析：，答案：140（16）等差數(shù)列{}前n項和為。已知+-=0，=38,則m=_______解析：由+-=0得到。答案10三、解答題：解答應寫出說明文字，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內（如示意圖），飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟。(17)解：方案一：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角；B點到M，N的俯角；A，B的距離d（如圖）所示）.……….3分②第一步：計算AM.由正弦定理；第二步：計算AN.由正弦定理；第三步：計算MN.由余弦定理.方案二：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角，；B點到M，N點的府角，；A，B的距離d（如圖所示）.②第一步：計算BM.由正弦定理；第二步：計算BN.由正弦定理；第三步：計算MN.由余弦定理（18）（本小題滿分12分）某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓(稱為B類工人），現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類、B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調查他們的生產能力（此處生產能力指一天加工的零件數(shù)）。（I）求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為A類工人，乙為B類工人；（II）從A類工人中的抽查結果和從B類工人中的抽插結果分別如下表1和表2.表1：生產能力分組人數(shù)4853表2：生產能力分組人數(shù)6y3618（i）先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更??？（不用計算，可通過觀察直方圖直接回答結論）（ii）分別估計A類工人和B類工人生產能力的平均數(shù)，并估計該工廠工人的生產能力的平均數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均為，且事件“甲工人被抽到”與事件“乙工人被抽到”相互獨立，故甲、乙兩工人都被抽到的概率為.（Ⅱ）（i）由題意知A類工人中應抽查25名，B類工人中應抽查75名.故，得，，得.頻率分布直方圖如下從直方圖可以判斷：B類工人中個體間的關異程度更小.（ii），，A類工人生產能力的平均數(shù)，B類工人生產能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產能力的平均數(shù)的會計值分別為123，133.8和131.1.（19）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是地面邊長的倍，P為側棱SD上的點。（Ⅰ）求證：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大?。á螅┰冢á颍┑臈l件下，側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。（19）解法一：（Ⅰ）連BD，設AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，，所以,得.(Ⅱ)設正方形邊長，則。又，所以,連，由（Ⅰ）知,所以,且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小為。（Ⅲ）在棱SC上存在一點E，使由（Ⅱ）可得，故可在上取一點,使,過作的平行線與的交點即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二：（Ⅰ）；連,設交于于，由題意知.以O為坐標原點，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標系如圖。設底面邊長為，則高。于是故從而(Ⅱ)由題設知，平面的一個法向量，平面的一個法向量，設所求二面角為，則,所求二面角的大小為（Ⅲ）在棱上存在一點使.由（Ⅱ）知是平面的一個法向量，且設則而即當時，而不在平面內，故（20）（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在s軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。（20）解:(Ⅰ)設橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得，所以橢圓的標準方程為（Ⅱ）設，其中。由已知及點在橢圓上可得。整理得，其中。（i）時?；喌盟渣c的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。（ii）時，方程變形為，其中當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓；（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)如，求的單調區(qū)間；若在單調增加，在單調減少，證明＜6.（21）解：（Ⅰ）當時，，故當當從而單調減少.(Ⅱ)由條件得：從而因為所以將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，故又由此可得于是請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。（22）本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，已知的兩條角平分線和相交于H，，F(xiàn)在上，且。證明：B,D,H,E四點共圓：證明：平分。（22）解：（Ⅰ）在△ABC中，因為∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因為AD，CE是角平分線，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因為∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四點共圓.（Ⅱ）連結BH,則BH為∠ABC的平分線，得∠HBD=30°由（Ⅰ）知B,D,H,E四點共圓，所以∠CED=∠HBD=30°.又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30°.所以CE平分∠DEF.（23）（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程。已知曲線C：（t為參數(shù)），C：（為參數(shù)）。（1）化C，C的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（2）若C上的點P對應的參數(shù)為，Q為C上的動點，求中點到直線（t為參數(shù)）距離的最小值。（23）解：（Ⅰ