數(shù)值分析方法第七章課件

考慮一階常微分方程的初值問題/*Initial-ValueProblem*/:其中f(x,y)為x,y的已知函數(shù)，y0為給定的初始值第六章常微分方程數(shù)值解/*NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations*/考慮一階常微分方程的初值問題/*Initial-Va1例如：其解析解為：只有一些特殊類型的微分方程問題能夠得到用解析表達式表示的函數(shù)解，而大量的微分方程問題很難得到其解析解。例如：其解析解為：只有一些特殊類型的微分方2這是微積分的發(fā)明者之一Leibniz在1686年曾經(jīng)讓當(dāng)時數(shù)學(xué)界人士求解的一階微分方程式，吸引了許多數(shù)學(xué)家的注意，大約經(jīng)過150年的探索到1838年,劉維爾（Liouville)在理論上證明了這個微分方程不能用初等積分法求解，得借助于數(shù)值方法

只能依賴于數(shù)值方法去獲得微分方程的數(shù)值解。

這是微積分的發(fā)明者之一Leibniz在1686年曾經(jīng)讓當(dāng)時3數(shù)值方法的基本思想是：在解的存在區(qū)間上取n+1個節(jié)點

這里hi可以不相等，但一般取成相等的，這時在這些節(jié)點上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分、泰勒展開等）將上述初值問題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問題。把這個相應(yīng)問題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是上述初值問題在節(jié)點xn上的數(shù)值解。一般說來，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法。，i=0,1,…,n-1稱為由xi到xi+1的步長。數(shù)值方法的基本思想是：在解的存在區(qū)間上取n+1個節(jié)點這里4步進式：根據(jù)已知的或已求出的節(jié)點上的函數(shù)值計算當(dāng)前節(jié)點上的函數(shù)值，一步一步向前推進。因此只需建立由已知的或已求出的節(jié)點上的函數(shù)值求當(dāng)前節(jié)點函數(shù)值的遞推公式即可。步進式：5§1歐拉方法

/*Euler’sMethod*/

歐拉公式：x0x1向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為亦稱為歐拉折線法

/*Euler’spolygonalarcmethod*/

§1歐拉方法/*Euler’sMethod*/6也稱歐拉折線法.用這條折線近似地代替曲線由Euler法所得的折線明顯偏離了積分曲線，可見此方法非常粗糙。也稱歐拉折線法.用這條折線近似地代替曲線由Euler法所得7例用歐拉法求初值問題當(dāng)h=0.02時在區(qū)間[0,0.1]上的數(shù)值解。解：把代入歐拉法計算公式，得例用歐拉法求初值問題解：把代入歐拉8具體計算結(jié)果nxnyny(xn)n=y(xn)-

yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021具體計算結(jié)果nxnyny(xn)n=y(xn)-y9表中y(xn)，是初值問題的真解在xn上的值。為近似值yn的誤差。從表中可以看出，隨著n的增大，誤差也在增大，所以說，歐拉法計算簡便，對一些問題有較大的使用價值，但是，它的誤差較大，所得的數(shù)值解精確度不高。表中y(xn)，是初值問題的真解10定義在假設(shè)yi=y(xi)，即第i步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截斷誤差/*localtruncationerror*/。定義若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p階精度。

歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法具有1階精度。Ri的主項/*leadingterm*/衡量求解公式好壞的一個主要標(biāo)準(zhǔn)是求解公式的精度,因此引入局部截斷誤差和階數(shù)的概念。定義在假設(shè)yi=y(xi)，即第i步計算是精11Euler’sMethod

歐拉公式的改進：隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiiiEuler’sMethod歐拉公式的改進：隱式歐12§Euler’sMethod由于未知數(shù)yi+1

同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。一般先用顯式計算一個初值，再迭代求解。隱式歐拉法的局部截斷誤差：即隱式歐拉公式具有1階精度。Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltruncationerrorofEuler’smethod?Seemsthatwecanmakeagooduseofit…§Euler’sMethod由于未知數(shù)yi+1同時13§Euler’sMethod梯形公式/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注：局部截斷誤差

即梯形公式具有2階精度，比歐拉方法有了進步。但注意到該公式是隱式公式，計算時不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似?！霦uler’sMethod梯形公式/*tra14例

在區(qū)間[0,1.5]上，取h=0.1，求解。

本題的精確解為，可用來檢驗近似解的精確程度。計算結(jié)果如下表：例在區(qū)間[0,1.5]上，取h=0.1，求解。本題15

xn

歐拉法yn迭代一次梯形公式y(tǒng)n準(zhǔn)確解01110.11.11.0959091.0954450.21.1918181.1840961.1832160.31.2774381.2602011.2649110.41.3582131.3433601.3416410.51.4351331.4161021.4142140.61.5089661.4829561.4832400.71.5803381.5525151.5491930.81.6497831.6164761.6124520.91.7177791.6781681.6733201.01.7847701.7378691.7320511.11.851181.7958221.7888541.21.9174641.8522421.8439091.31.9840461.9073231.8973671.42.0514041.9612531.9493591.52.1200522.0142072.000000

迭代一次準(zhǔn)確解01110.11.11.0959091.016中點歐拉公式/*midpointformula*/中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè)，則可以導(dǎo)出即中點公式具有2階精度。需要2個初值y0和y1來啟動遞推過程，這樣的算法稱為雙步法/*double-stepmethod*/，而前面的三種算法都是單步法/*single-stepmethod*/。中點歐拉公式/*midpointformula*17方法§Euler’sMethod顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點公式簡單精度低穩(wěn)定性最好精度低,計算量大精度提高計算量大精度提高,顯式多一個初值,可能影響精度Can’tyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?Doyouthinkitpossible?Well,callmegreedy…OK,let’smakeitpossible.方法§Euler’sMethod顯式歐拉隱式歐18改進歐拉法/*modifiedEuler’smethod*/Step1:先用顯式歐拉公式作預(yù)測，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法亦稱為預(yù)測-校正法/*predictor-correctormethod*/。可以證明該算法具有2階精度，同時可以看到它是個單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡單。后面將看到，它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法?！霦uler’sMethod改進歐拉法/*modifiedEuler’sme19§2龍格-庫塔法/*Runge-KuttaMethod*/建立高精度的單步遞推格式。單步遞推法的基本思想是從(xi,yi)點出發(fā)，以某一斜率沿直線達到(xi+1

,yi+1

)點。歐拉法及其各種變形所能達到的最高精度為2階。

考察改進的歐拉法，可以將其改寫為：斜率一定取K1K2的平均值嗎？步長一定是一個h嗎？§2龍格-庫塔法/*Runge-KuttaMe20§2Runge-KuttaMethod首先希望能確定系數(shù)1、2、p，使得到的算法格式有2階精度，即在的前提假設(shè)下，使得

Step1:將K2在(xi,yi)點作Taylor展開將改進歐拉法推廣為：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+llStep2:將K2代入第1式，得到§2Runge-KuttaMethod首先希望能確定系21§2Runge-KuttaMethodStep3:將yi+1與y(xi+1)在xi點的泰勒展開作比較要求，則必須有：這里有個未知數(shù)，個方程。32存在無窮多個解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為2階龍格-庫塔格式。注意到，就是改進的歐拉法。Q:為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進一步推廣？§2Runge-KuttaMethodStep3:22其中i

(i=1,…,m)，i

(i=2,…,m)

和ij

(i=2,…,m;j=1,…,i1

)

均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似?！?Runge-KuttaMethod)...,(......),(),(),(]...[1122112321313312122122111--++++++=+++=++==++++=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyybbbabbaballl

最常用為四級4階經(jīng)典龍格-庫塔法

/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：其中i(i=1,…,m)，i(i23

考慮一階常微分方程的初值問題/*Initial-ValueProblem*/:其中f(x,y)為x,y的已知函數(shù)，y0為給定的初始值第六章常微分方程數(shù)值解/*NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations*/考慮一階常微分方程的初值問題/*Initial-Va24例如：其解析解為：只有一些特殊類型的微分方程問題能夠得到用解析表達式表示的函數(shù)解，而大量的微分方程問題很難得到其解析解。例如：其解析解為：只有一些特殊類型的微分方25這是微積分的發(fā)明者之一Leibniz在1686年曾經(jīng)讓當(dāng)時數(shù)學(xué)界人士求解的一階微分方程式，吸引了許多數(shù)學(xué)家的注意，大約經(jīng)過150年的探索到1838年,劉維爾（Liouville)在理論上證明了這個微分方程不能用初等積分法求解，得借助于數(shù)值方法

只能依賴于數(shù)值方法去獲得微分方程的數(shù)值解。

這是微積分的發(fā)明者之一Leibniz在1686年曾經(jīng)讓當(dāng)時26數(shù)值方法的基本思想是：在解的存在區(qū)間上取n+1個節(jié)點

這里hi可以不相等，但一般取成相等的，這時在這些節(jié)點上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分、泰勒展開等）將上述初值問題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問題。把這個相應(yīng)問題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是上述初值問題在節(jié)點xn上的數(shù)值解。一般說來，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法。，i=0,1,…,n-1稱為由xi到xi+1的步長。數(shù)值方法的基本思想是：在解的存在區(qū)間上取n+1個節(jié)點這里27步進式：根據(jù)已知的或已求出的節(jié)點上的函數(shù)值計算當(dāng)前節(jié)點上的函數(shù)值，一步一步向前推進。因此只需建立由已知的或已求出的節(jié)點上的函數(shù)值求當(dāng)前節(jié)點函數(shù)值的遞推公式即可。步進式：28§1歐拉方法

/*Euler’sMethod*/

歐拉公式：x0x1向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為亦稱為歐拉折線法

/*Euler’spolygonalarcmethod*/

§1歐拉方法/*Euler’sMethod*/29也稱歐拉折線法.用這條折線近似地代替曲線由Euler法所得的折線明顯偏離了積分曲線，可見此方法非常粗糙。也稱歐拉折線法.用這條折線近似地代替曲線由Euler法所得30例用歐拉法求初值問題當(dāng)h=0.02時在區(qū)間[0,0.1]上的數(shù)值解。解：把代入歐拉法計算公式，得例用歐拉法求初值問題解：把代入歐拉31具體計算結(jié)果nxnyny(xn)n=y(xn)-

yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021具體計算結(jié)果nxnyny(xn)n=y(xn)-y32表中y(xn)，是初值問題的真解在xn上的值。為近似值yn的誤差。從表中可以看出，隨著n的增大，誤差也在增大，所以說，歐拉法計算簡便，對一些問題有較大的使用價值，但是，它的誤差較大，所得的數(shù)值解精確度不高。表中y(xn)，是初值問題的真解33定義在假設(shè)yi=y(xi)，即第i步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截斷誤差/*localtruncationerror*/。定義若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p階精度。

歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法具有1階精度。Ri的主項/*leadingterm*/衡量求解公式好壞的一個主要標(biāo)準(zhǔn)是求解公式的精度,因此引入局部截斷誤差和階數(shù)的概念。定義在假設(shè)yi=y(xi)，即第i步計算是精34Euler’sMethod

歐拉公式的改進：隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiiiEuler’sMethod歐拉公式的改進：隱式歐35§Euler’sMethod由于未知數(shù)yi+1

同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。一般先用顯式計算一個初值，再迭代求解。隱式歐拉法的局部截斷誤差：即隱式歐拉公式具有1階精度。Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltruncationerrorofEuler’smethod?Seemsthatwecanmakeagooduseofit…§Euler’sMethod由于未知數(shù)yi+1同時36§Euler’sMethod梯形公式/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注：局部截斷誤差

即梯形公式具有2階精度，比歐拉方法有了進步。但注意到該公式是隱式公式，計算時不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似?！霦uler’sMethod梯形公式/*tra37例

在區(qū)間[0,1.5]上，取h=0.1，求解。

本題的精確解為，可用來檢驗近似解的精確程度。計算結(jié)果如下表：例在區(qū)間[0,1.5]上，取h=0.1，求解。本題38

xn

歐拉法yn迭代一次梯形公式y(tǒng)n準(zhǔn)確解01110.11.11.0959091.0954450.21.1918181.1840961.1832160.31.2774381.2602011.2649110.41.3582131.3433601.3416410.51.4351331.4161021.4142140.61.5089661.4829561.4832400.71.5803381.5525151.5491930.81.6497831.6164761.6124520.91.7177791.6781681.6733201.01.7847701.7378691.7320511.11.851181.7958221.7888541.21.9174641.8522421.8439091.31.9840461.9073231.8973671.42.0514041.9612531.9493591.52.1200522.0142072.000000

迭代一次準(zhǔn)確解01110.11.11.0959091.039中點歐拉公式/*midpointformula*/中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè)，則可以導(dǎo)出即中點公式具有2階精度。需要2個初值y0和y1來啟動遞推過程，這樣的算法稱為雙步法/*double-stepmethod*/，而前面的三種算法都是單步法/*single-stepmethod*/。中點歐拉公式/*midpointformula*40方法§Euler’sMethod顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點公式簡單精度低穩(wěn)定性最好精度低,計算量大精度提高計算量大精度提高,顯式多一個初值,可能影響精度Can’tyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?Doyouthinkitpossible?Well,callmegreedy…OK,let’smakeitpossible.方法§Euler’sMethod顯式歐拉隱式歐41改進歐拉法/*modifiedEuler’smethod*/Step1:先用顯式歐拉公式作預(yù)測，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法亦稱為預(yù)測-校正法/*predictor-correctormethod*/。可以證明該算法具有2階精度，同時可以看到它是個單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡單。后面將看到，它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法?！霦uler’sMethod改進歐拉法/*modifiedEuler’sme42§2龍格-庫塔法/*Runge-KuttaMethod*/建立高精度的單步遞推格式。單步遞推法的基本思想是從(xi,yi)點出發(fā)，以某一斜率沿直線達到(xi+1

,yi+1

)點。歐拉法及其各種變形所能達到的最高精度為2階。

考察改進的歐拉法，可以將其改寫為：斜率一定取K1K2的平均值嗎？步長一定是一個h嗎？§2龍格-庫塔法/*Runge-Kutta