彈性力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)課件

第二章應(yīng)力分析2－1外力－－面力和體力2－2一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)力張量2－3應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換2－4主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量2－5最大和最小應(yīng)力2－8八面體應(yīng)力2－6應(yīng)力橢球2－7應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏量2－9平面微分方程－－應(yīng)力與體力的關(guān)系2－10靜力邊界條件－－應(yīng)力與面力的關(guān)系第二章應(yīng)力分析2－1外力－－面力和體力2－2一點(diǎn)的應(yīng)力1一、面力2－1外力－－面力和體力面力是分布在物體表面上的力，例如風(fēng)力，靜水壓力，物體之間的接觸力等面力的方向規(guī)定以與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)一、面力2－1外力－－面力和體力面力是分布在物體表面上的力2二、體力體力就是分布在物體整個體積內(nèi)部各個質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。體力的方向規(guī)定以與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)二、體力體力就是分布在物體整個體積內(nèi)部各個質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為32－2一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)力張量

一、單元體及應(yīng)力分量表示2－2一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)力張量一、單元體及應(yīng)力分量表示4二、正面與負(fù)面及應(yīng)力的正負(fù)號元規(guī)定正面指某一單元面的外法線沿坐標(biāo)軸的正向負(fù)面指某一單元面的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)向應(yīng)力正負(fù)：作用在正面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸的正向?yàn)檎饔迷谪?fù)面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸的負(fù)向?yàn)檎粗?，為?fù)。兩互相垂直截面上在其相交處的剪應(yīng)力成對存在，且數(shù)值相等、符號相反，這稱為剪應(yīng)力互等定理。二、正面與負(fù)面及應(yīng)力的正負(fù)號元規(guī)定正面指某一單元面的外法線沿5三、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點(diǎn)的應(yīng)力6任一斜單元面上全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上投影的計(jì)算公式任一斜單元面上全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上投影的計(jì)算公式7任一斜單元面上全應(yīng)力的計(jì)算公式:正應(yīng)力剪應(yīng)力已知物體內(nèi)一點(diǎn)的9個應(yīng)力分量，就可求出任一斜截面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力、剪應(yīng)力。任一斜單元面上全應(yīng)力的計(jì)算公式:正應(yīng)力剪應(yīng)力已知物體內(nèi)一點(diǎn)的8四、應(yīng)力張量使用應(yīng)力張量可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)四、應(yīng)力張量使用應(yīng)力張量可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)92－3應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

坐標(biāo)系作平移變換時，同一點(diǎn)的應(yīng)力分量是不會改變的新的坐標(biāo)系Ox'y'z'

2－3應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系作平移變換時，同一點(diǎn)的應(yīng)力分量是10應(yīng)力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位改變而變化。同一點(diǎn)由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。討論應(yīng)力分量在坐標(biāo)變換時的變化規(guī)律。應(yīng)力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位改變而變化。11新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系之間有如下關(guān)系:一、新舊坐標(biāo)系下的方向余弦新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系一、新舊坐標(biāo)系下的方向余弦12二、應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式1.作斜截面ABC與x‘軸垂直，其應(yīng)力矢量為P，再將P向舊坐標(biāo)系上進(jìn)行投影，得：二、應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式1.作斜截面ABC與x‘軸垂直，其132.將Px、Py、Pz投影到x’軸上，得x’面上的正應(yīng)力：3.將Px、Py、Pz分別向y’、z’軸投影，得x’面上沿y’方向的剪應(yīng)力和沿z’的剪應(yīng)力：2.將Px、Py、Pz投影到x’軸上，得x’面上的正應(yīng)力：14彈性力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)課件15三、平面問題的應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式三、平面問題的應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式162－4主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主平面是指剪應(yīng)力為零的平面應(yīng)力主軸為主平面法線方向（或主方向）主應(yīng)力為主平面的正應(yīng)力一、應(yīng)力狀態(tài)的特征方程A點(diǎn)處有一個主面n剪應(yīng)力為0正應(yīng)力即全應(yīng)力2－4主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主平面是指剪應(yīng)力為零的平面應(yīng)17主應(yīng)力的三個分量為Px,Py，Pz

代入公式，得主應(yīng)力的三個分量為Px,Py，Pz代入公式，得18整理，得且這是關(guān)于主平面方向余弦l，m，n的齊次線性方程組

這個方程組具有非零解的條件為系數(shù)行列式等于零

整理，得且這是關(guān)于主平面方向余弦l，m，n的齊次線性方程19展開行列式，得其中：特征方程有三個實(shí)數(shù)根s1，s2，s3分別表示這三個根，代表某點(diǎn)三個主應(yīng)力。對于應(yīng)力主方向，將s1，s2，s3分別代入前式。展開行列式，得其中：特征方程有三個實(shí)數(shù)根20應(yīng)力狀態(tài)特征方程——確定彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向。主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。因此，特征方程的根是確定的，即I1、I2、I3的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的。I1、I2、I3分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量。應(yīng)力狀態(tài)特征方程21I1,I2,I3分別稱為應(yīng)力張量的第一，第二和第三不變量

所謂不變量是指同一點(diǎn)的應(yīng)力張量而言的，它們與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)二、應(yīng)力張量不變量I1,I2,I3分別稱為應(yīng)力張量的第一，第二和第三不變22主應(yīng)力和應(yīng)力主方向取決于結(jié)構(gòu)外力和約束條件，與坐標(biāo)系無關(guān)。因此特征方程的三個根是確定的。特征方程的三個根，即一點(diǎn)的三個主應(yīng)力均為實(shí)數(shù)。根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明。任意一點(diǎn)三個應(yīng)力主方向是相互垂直的——三個應(yīng)力主軸正交的。應(yīng)力不變量性質(zhì)坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量各分量變化，但應(yīng)力狀態(tài)不變。應(yīng)力不變量正是對應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。不變性實(shí)數(shù)性正交性主應(yīng)力和應(yīng)力主方向取決于結(jié)構(gòu)外力和約束條件，與坐標(biāo)系無關(guān)。特232－5最大和最小應(yīng)力

一、最大和最小的正應(yīng)力最大和最小的正應(yīng)力即為三個主應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式描述了應(yīng)力隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)動的變化規(guī)律結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析需要簡化和有效的參數(shù)——最大正應(yīng)力、最大切應(yīng)力以及方位主應(yīng)力和主平面——應(yīng)力狀態(tài)分析重要參數(shù)應(yīng)力不變量——進(jìn)一步探討應(yīng)力狀態(tài)最大和最小的正應(yīng)力即為主應(yīng)力是一點(diǎn)所有微分面上最大或最小的正應(yīng)力2－5最大和最小應(yīng)力一、最大和最小的正應(yīng)力最大和最小的正24二、最大和最小的剪應(yīng)力二、最大和最小的剪應(yīng)力252－6應(yīng)力橢球任一斜單元面上的全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的分量：得橢球方程：2－6應(yīng)力橢球任一斜單元面上的全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的分量：得26通過A點(diǎn)所有單元上全應(yīng)力的矢量末端都落在橢球面上。

（應(yīng)力橢球）通過A點(diǎn)所有單元上全應(yīng)力的矢量末端都落在橢球面上。272－7應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量應(yīng)力張量的分解應(yīng)力球量改變單元體體積，應(yīng)力偏量改變單元體形狀。

2－7應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量應(yīng)力張量的分解28應(yīng)力偏量方程：可得應(yīng)力偏量的三個不變量：應(yīng)力偏量方程：可得應(yīng)力偏量的三個不變量：29當(dāng)取坐標(biāo)軸為應(yīng)力主軸時有：當(dāng)取坐標(biāo)軸為應(yīng)力主軸時有：302-8八面體應(yīng)力2-8八面體應(yīng)力31平衡物體整體平衡，內(nèi)部任何部分也是平衡的。對于彈性體，必須討論一點(diǎn)的平衡。2－9平面微分方程－－應(yīng)力與體力的關(guān)系平衡2－9平面微分方程－－應(yīng)力與體力的關(guān)系32平衡微分方程切應(yīng)力互等定理

平衡微分方程切應(yīng)力互等定理33彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界條件，維持彈性體表面的平衡。邊界面力已知——面力邊界Ss

面力邊界條件——確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。2－10靜力邊界條件－－應(yīng)力與面力的關(guān)系彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界條件，維持彈性34靜力邊界條件－－面力邊界條件如平面問題的靜力邊界條件：靜力邊界條件－－面力邊界條件如平面問題的靜力邊界條件：35面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部的平衡。這種平衡只是靜力學(xué)可能的平衡。真正處于平衡狀態(tài)的彈性體，還必須滿足變形連續(xù)條件。面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，36第二章應(yīng)力分析2－1外力－－面力和體力2－2一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)力張量2－3應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換2－4主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量2－5最大和最小應(yīng)力2－8八面體應(yīng)力2－6應(yīng)力橢球2－7應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏量2－9平面微分方程－－應(yīng)力與體力的關(guān)系2－10靜力邊界條件－－應(yīng)力與面力的關(guān)系第二章應(yīng)力分析2－1外力－－面力和體力2－2一點(diǎn)的應(yīng)力37一、面力2－1外力－－面力和體力面力是分布在物體表面上的力，例如風(fēng)力，靜水壓力，物體之間的接觸力等面力的方向規(guī)定以與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)一、面力2－1外力－－面力和體力面力是分布在物體表面上的力38二、體力體力就是分布在物體整個體積內(nèi)部各個質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為質(zhì)量力。例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。體力的方向規(guī)定以與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)二、體力體力就是分布在物體整個體積內(nèi)部各個質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為392－2一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)力張量

一、單元體及應(yīng)力分量表示2－2一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)力張量一、單元體及應(yīng)力分量表示40二、正面與負(fù)面及應(yīng)力的正負(fù)號元規(guī)定正面指某一單元面的外法線沿坐標(biāo)軸的正向負(fù)面指某一單元面的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)向應(yīng)力正負(fù)：作用在正面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸的正向?yàn)檎饔迷谪?fù)面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸的負(fù)向?yàn)檎粗?，為?fù)。兩互相垂直截面上在其相交處的剪應(yīng)力成對存在，且數(shù)值相等、符號相反，這稱為剪應(yīng)力互等定理。二、正面與負(fù)面及應(yīng)力的正負(fù)號元規(guī)定正面指某一單元面的外法線沿41三、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱為一點(diǎn)的應(yīng)力42任一斜單元面上全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上投影的計(jì)算公式任一斜單元面上全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上投影的計(jì)算公式43任一斜單元面上全應(yīng)力的計(jì)算公式:正應(yīng)力剪應(yīng)力已知物體內(nèi)一點(diǎn)的9個應(yīng)力分量，就可求出任一斜截面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力、剪應(yīng)力。任一斜單元面上全應(yīng)力的計(jì)算公式:正應(yīng)力剪應(yīng)力已知物體內(nèi)一點(diǎn)的44四、應(yīng)力張量使用應(yīng)力張量可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)四、應(yīng)力張量使用應(yīng)力張量可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)452－3應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

坐標(biāo)系作平移變換時，同一點(diǎn)的應(yīng)力分量是不會改變的新的坐標(biāo)系Ox'y'z'

2－3應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系作平移變換時，同一點(diǎn)的應(yīng)力分量是46應(yīng)力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位改變而變化。同一點(diǎn)由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。討論應(yīng)力分量在坐標(biāo)變換時的變化規(guī)律。應(yīng)力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位改變而變化。47新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系之間有如下關(guān)系:一、新舊坐標(biāo)系下的方向余弦新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系一、新舊坐標(biāo)系下的方向余弦48二、應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式1.作斜截面ABC與x‘軸垂直，其應(yīng)力矢量為P，再將P向舊坐標(biāo)系上進(jìn)行投影，得：二、應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式1.作斜截面ABC與x‘軸垂直，其492.將Px、Py、Pz投影到x’軸上，得x’面上的正應(yīng)力：3.將Px、Py、Pz分別向y’、z’軸投影，得x’面上沿y’方向的剪應(yīng)力和沿z’的剪應(yīng)力：2.將Px、Py、Pz投影到x’軸上，得x’面上的正應(yīng)力：50彈性力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)課件51三、平面問題的應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式三、平面問題的應(yīng)力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式522－4主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主平面是指剪應(yīng)力為零的平面應(yīng)力主軸為主平面法線方向（或主方向）主應(yīng)力為主平面的正應(yīng)力一、應(yīng)力狀態(tài)的特征方程A點(diǎn)處有一個主面n剪應(yīng)力為0正應(yīng)力即全應(yīng)力2－4主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主平面是指剪應(yīng)力為零的平面應(yīng)53主應(yīng)力的三個分量為Px,Py，Pz

代入公式，得主應(yīng)力的三個分量為Px,Py，Pz代入公式，得54整理，得且這是關(guān)于主平面方向余弦l，m，n的齊次線性方程組

這個方程組具有非零解的條件為系數(shù)行列式等于零

整理，得且這是關(guān)于主平面方向余弦l，m，n的齊次線性方程55展開行列式，得其中：特征方程有三個實(shí)數(shù)根s1，s2，s3分別表示這三個根，代表某點(diǎn)三個主應(yīng)力。對于應(yīng)力主方向，將s1，s2，s3分別代入前式。展開行列式，得其中：特征方程有三個實(shí)數(shù)根56應(yīng)力狀態(tài)特征方程——確定彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向。主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。因此，特征方程的根是確定的，即I1、I2、I3的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的。I1、I2、I3分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量。應(yīng)力狀態(tài)特征方程57I1,I2,I3分別稱為應(yīng)力張量的第一，第二和第三不變量

所謂不變量是指同一點(diǎn)的應(yīng)力張量而言的，它們與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)二、應(yīng)力張量不變量I1,I2,I3分別稱為應(yīng)力張量的第一，第二和第三不變58主應(yīng)力和應(yīng)力主方向取決于結(jié)構(gòu)外力和約束條件，與坐標(biāo)系無關(guān)。因此特征方程的三個根是確定的。特征方程的三個根，即一點(diǎn)的三個主應(yīng)力均為實(shí)數(shù)。根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明。任意一點(diǎn)三個應(yīng)力主方向是相互垂直的——三個應(yīng)力主軸正交的。應(yīng)力不變量性質(zhì)坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量各分量變化，但應(yīng)力狀態(tài)不變。應(yīng)力不變量正是對應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。不變性實(shí)數(shù)性正交性主應(yīng)力和應(yīng)力主方向取決于結(jié)構(gòu)外力和約束條件，與坐標(biāo)系無關(guān)。特592－5最大和最小應(yīng)力

一、最大和最小的正應(yīng)力最大和最小的正應(yīng)力即為三個主應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式描述了應(yīng)力隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)動的變化規(guī)律結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析需要簡化和有效的參數(shù)——最大正應(yīng)力、最大切應(yīng)力以及方位主應(yīng)力和主平面——應(yīng)力狀態(tài)分析重要參數(shù)應(yīng)力不變量——進(jìn)一步探討應(yīng)力狀態(tài)最大和最小的正應(yīng)力即為主應(yīng)力是一點(diǎn)所有微分面上最大或最小的正應(yīng)力2－5最大和最小應(yīng)力一、最大和最小的正應(yīng)力最大和最小的正60二、最大和最小的剪應(yīng)力二、最大和最小的剪應(yīng)力612－6應(yīng)力橢球任一斜單元面上的全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的分量：得橢球方程：2－6應(yīng)力橢球任一斜單元面上的全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的分量：得62通過A點(diǎn)所有單元上全應(yīng)力的矢量末端都落在橢球面上。