第四節(jié)-連續(xù)型隨機變量及其概率密度(共44張PPT)

第四節(jié)連續(xù)隨機變量及其概率密度定義

設

X

是隨機變量,若存在一個非負其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X

是連續(xù)型r.v.

，f(x)是它的概率連續(xù)型r.v.的概念可積函數(shù)

f(x),

使得密度函數(shù)(p.d.f.)，簡記為d.f.第1頁，共44頁。xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義第2頁，共44頁。①受眾多相互獨立的隨機因素影響發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~(t),求（3）X的分布函數(shù)F（x）故至少要進行4次獨立測量才能滿足故至少要進行4次獨立測量才能滿足誤差的絕對值不超過10米的形狀不變化，只是位置不同曲線y=f(x)以x軸為漸近線k位進行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作分布函數(shù)與密度函數(shù)度是取最近的刻度值,求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X的d.度是取最近的刻度值,求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X的d.服從的r.p.d.f.

f(x)的性質

常利用這兩個性質檢驗一個函數(shù)能

在f(x)

的連續(xù)點處，f(x)描述了X在

x

附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率.否作為連續(xù)性r.v.的d.f.第3頁，共44頁。積分不是Cauchy積分，而是Lesbesgue意義下線段質量長度密度的積分，所得的變上限的函數(shù)是絕對連續(xù)的，因此幾乎處處可導第4頁，共44頁。注意:對于連續(xù)型r.v.X,P(X=a)=0其中a

是隨機變量

X

的一個可能的取值命題

連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零強調概率為0(1)的事件未必不發(fā)生(發(fā)生)事實上第5頁，共44頁。對于連續(xù)型r.v.

Xbxf(x)a第6頁，共44頁。xf(x)a第7頁，共44頁。例1已知某型號電子管的使用壽命X為連續(xù)r.v.,其d.f.為(1)求常數(shù)c(3)

已知一設備裝有3個這樣的電子管,每個電子管能否正常工作相互獨立,求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.(2)

計算第8頁，共44頁。解(1)令c=1000(2)

第9頁，共44頁。(3)設在使用的最初1500小時三個電子管中損壞的個數(shù)為Y設A

表示一個電子管的壽命小于1500小時第10頁，共44頁。求：（1）常數(shù)a；（2）（3）X的分布函數(shù)F（x）（1）由概率密度的性質可知所以a＝1/2

例2：設隨機變量X具有概率密度解：第11頁，共44頁。第12頁，共44頁。(1)均勻分布常見的連續(xù)性隨機變量的分布若X的d.f.

為則稱X

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱

X

服從參數(shù)為a,b的均勻分布.記作第13頁，共44頁。X

的分布函數(shù)為第14頁，共44頁。xf(x)abxF(x)ba第15頁，共44頁。即X落在(a,b)內(nèi)任何長為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關,只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.進行大量數(shù)值計算時,若在小數(shù)點后第k

位進行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作服從的r.v.隨機變量應用場合第16頁，共44頁。例3

秒表最小刻度值為0.01秒.若計時精度是取最近的刻度值,求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X的d.f.并計算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率.解

X等可能地取得區(qū)間所以上的任一值，則第17頁，共44頁。(2)指數(shù)分布若X

的d.f.為則稱X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)第18頁，共44頁。1xF(x)0xf(x)0第19頁，共44頁。對于任意的0<a<b,應用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務系統(tǒng)中的服務時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似第20頁，共44頁。若X~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實上命題第21頁，共44頁。解(1)例4

假定一大型設備在任何長為

t

的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~(t),求相繼兩次故障的時間間隔T的概率分布;設備已正常運行８小時的情況下,再正常運行10小時的概率.第22頁，共44頁。即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”第23頁，共44頁。(3)正態(tài)分布若X的d.f.為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，亦稱高斯(Gauss)分布第24頁，共44頁。N(-3,)第25頁，共44頁。f(x)的性質：圖形關于直線x=

對稱,即在x=

時,f(x)取得最大值在x=±

時,曲線

y=f(x)在對應的點處有拐點曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀f(+x)=f(-x)第26頁，共44頁。第27頁，共44頁。

f(x)的兩個參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對于不同的,對應的f(x)的形狀不變化，只是位置不同—形狀參數(shù)固定，對于不同的，f(x)的形狀不同.若1<2則比x=2所對應的拐點更靠近直線x=附近值的概率更大.x=1所對應的拐點前者取第28頁，共44頁。固定，對于不同的，f(x)的形狀不同.例8設測量的誤差X~N(7.曲線y=f(x)的圖形呈單峰狀度是取最近的刻度值,求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X的d.發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~(t),求對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)例5設X~N(1,4),求P(0X)則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱例8設測量的誤差X~N(7.在f(x)的連續(xù)點處，曲線y=f(x)以x軸為漸近線固定，對于不同的，f(x)的形狀不同.一次試驗中,X落入?yún)^(qū)間(-3,+3)若X~Ｅ(),則f(x)的性質Show[fn1,fn3]大小幾何意義大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比第29頁，共44頁。正態(tài)變量的條件若r.v.

X①受眾多相互獨立的隨機因素影響②每一因素的影響都是微小的③且這些正、負影響可以疊加則稱X為正態(tài)r.v.第30頁，共44頁?？捎谜龖B(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度；學生的考試成績；第31頁，共44頁。一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為其值有專門的表供查.——標準正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)第32頁，共44頁。第33頁，共44頁。-xx第34頁，共44頁。對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換第35頁，共44頁。例5設X~N(1,4),求P(0X)解第36頁，共44頁。例6已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解一第37頁，共44頁。解二圖解法由圖0.3第38頁，共44頁。例7

3原理設

X~N(,2),求解一次試驗中,X落入?yún)^(qū)間(-3,+3)的概率為0.9974,而超出此區(qū)間可能性很小由3原理知，當?shù)?9頁，共44頁。標準正態(tài)分布的上分位數(shù)z設X~N(0,1),0<<1,稱滿足的點z

為X的上分位數(shù)

z常用數(shù)據(jù)第40頁，共44頁。例8

設測量的誤差X~N(7.5,100)(單位:米)問要進行多少次獨立測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過10米的概率大于0.9?解第41頁，共44頁。設A

表示進行n次獨立測量至少有一次誤差的絕對值不超過10米n>3故至少要進行4次獨立測量才能滿足要求.第42頁，共44頁。例9：某儀器需安裝一個電子元件，要求電子元件的使用壽命不低于1000小時即可?，F(xiàn)有甲乙兩廠的電子元件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件的壽命服從正態(tài)分布N(1100,502),乙廠生產(chǎn)的電子元件的壽命分布服從正態(tài)分布N(1150,802)。問應選擇哪個廠生產(chǎn)的產(chǎn)品呢？若要求元件的壽命不低于1050小時，又如何？解：設甲、乙兩廠的電子元件的壽命分別為X和Y