第二講偏好、效用與消費者基本問題

第二講偏好、效用與消費者的基本問題一、消費集與偏好關系二、效用函數三、消費者的基本問題一、消費集與偏好關系1、消費空間n整個消費集合可以用

來表示。X

R1

2n

R

x

,

x

,,

x

R,

x

0,i

1,2,

,n,

x

Rn的第i個元素ix?的第i個坐標，當n=1時，x是一個實數，也成為標量。xi

R是指消費者在進行消費時所能選擇的商品的范圍（或稱選擇域），也稱為消費束。它可以用一個n元商品組合的向量描述，記為x，在數學上x為n維歐式空間上的一點。設定商品數量只能取非負的實數才有意義，xi

R

x

x

0

Rnox1x2沒有任何限制時的消費集消費集，又稱選擇集，指的是消費者在所處的環(huán)境施加的技術和制度約束下可能消費的消費束的集合。它反映了商品空間中消費的技術和制度上的可能性。如果技術上沒有施加

的限制，那么消費集就是商品空間。但一般來說，消費集是商品空間的子集。見下圖，24小時為技術約束，8小時為制度約束。閑暇時間面包o248xo閑暇小時x24

面包消費集2、消費集的性質（1）消費集是商品空間的子集，但不是空集

X

R非空的限制是為了保證分析有意義（2）消費集X是連續(xù)的即消費者的任意消費束都存在于消費集中，而且，由于特定的消費組合構成的消費束有無窮多個，填充了整個消費集空間，故假定消費集連續(xù)是合理的。這個假定通常用X是閉集表示?；蛘哒f，消費集中的所有的極限點都包含在該集之中，因此，X是連續(xù)的。閉集是技術上的要求（3）消費集是凸集凸集的數學表示形式：12n

Rx

(1

)xxyz

x

凸組合yxXx

(1凸集偏好x1x2oyxx

(1非凸集偏好ox1x2x

0I

(x（4）消費集的下限指消費者可以不消費0

X偏好關系偏好關系反映了消費者在選擇消費束時的順序，是對消費者的一些特性（諸如消費者在選擇消費束時的洞察能力、消費者對不同消費束的喜好程度等）所施加的限制。在消費者選擇理論中，偏好關系有著舉足輕重的地位，在本講中專門偏好關系。偏好偏好經常被稱為口味，素質，文化、國民性，劣根性（例如小農意識）等等。效用在現(xiàn)代經濟學理論中，偏好關系被當作偏好的最原始、最基本的特性。效用函數只代表或概括由偏好關系所傳遞的信息。效用是一個比較古老的概念。在埃奇渥斯、穆勒以及其它哲學功利學派先驅們的古典理論中，效用被視為一些客觀的事物， 和痛苦被視為界定良好的實體－－－它在個人之間可被度量與比較。此外，邊際效用遞減原理被接受為一種心理法則，而且早期的需求法則主要依賴它。在古典理論里，效用是一種的滿足程度。它是可以準確度量的，同時也可以在不同的消費者之間做比較。對古典效用理論提出質疑由于古典效用理論的假設過于嚴格甚至有些牽強，這一理論一直廣受爭議。帕累托、斯盧茨基、希

克斯都曾先后對古典效用理論提出質疑。既然偏好是消費者的之物，外人無法直接觀測，那么人們怎么去對它進行比較。又如經濟學假設偏好是不變的，消費者多元化偏好和替代選擇如何解釋。人們同樣質疑偏好的穩(wěn)定性。例如，商品組合（暖氣，冷氣）在夏天和冬天肯定會有不同的排序，怎么解釋？對消費者行為理論的發(fā)展消費者理論近期演進的歷史過程中，

已力圖削減許多或隱性或顯性的傳統(tǒng)假設，同時保留許多具有預見力的

理論。帕累托（1896）肯定可度量“效用”思想對需求理論至關重要。斯盧茨基（1915)在沒有所謂可度量客觀效用概念的條件下，首次進行了需求理論的系統(tǒng)檢驗。?？怂梗?939）證明邊際效用遞減原理對于需求法則成立是既非必要，也非充分的條件。德布魯（Debreu,1959）運用僅依賴于偏好關系的效用函數推導出了標準的消費者選擇理論。3、偏好偏好的定義在一個消費中，兩個消費束哪個更受到消費者的偏好，使得消費者在心理上對那個消費方案更加趨向。偏好關系有以下幾個：沒有差別；嚴格的偏好關系和弱偏好關系。三組關系用符號表示為(見下頁)偏好定義定義：

以序號

來表示“弱偏好序”，~即對于任意屬于消費集X的兩個消費束x1

和

，如果x

2

，說明序號1

2~x

x“

至少與

一x1

樣好”x；2

以表示“嚴格偏好序”，即如果

，說明“x1

嚴x

2格地偏好x1

于

”；以序號～x

2

表示“無差異”，即如果

～

，說明“

1與

一x2

樣好”。x1x

21（2）理性偏好的公理化假設人是理性的,理性的含義是什么?理性指消費者對消費集上的商品組合的排序滿足一些基本要求.這些基本要求就是三個公理化假設.1、公理1：偏好關系的完備性,這就是說，任意兩個消費束之間是可以進行比較的。偏好關系的公理公理1：完備性（Completeness）。對于任意，要么

，要么二者同時成立。屬于X的兩個消費束x1和

x，2 要么1

2x

x~~2

1x

x與其自身一樣好。~2、公理2：偏好關系的非對稱性（反身性）：

x

x

,一個消費束至少應當3、公理3：偏好關系的傳遞性：即消費偏好的心理順序在短期具有一定的穩(wěn)定性。且

，則有~公理3：傳遞性（Transitivity）。對于任意屬于X的三個消費束x1

、x

2

和x3，如果有x1

x2

，2

3x

x~~x1

x3

。公理1到公理3意味著消費者能夠完整地對消費集X中任何有限數目的消費束排序，從最好到

，當然也有可能消費者對有些消費束之間的偏好無差異?？傊?，偏好關系使消費者能夠對消費集中的消費束建立一種排序。對于X=

，圖2.1展示了滿足公理1到公理2R3假設的偏好。如圖2.1所示，位于曲線上（不包括虛線）點的集合以及虛線內的點的集合所代表的消費束與點x0

所代表的消費束無差異；位于曲線上方的點的集合包括兩條虛線中位于右上方那一條虛線上的點的集合所代表的消費束嚴格地偏好于，而x0

又嚴格x0

地偏好于位于曲線下方的點的集合包括兩條虛線中位于左下方那一條虛線上的點的集合所代表的消費束集。如圖2.1（3）偏好關系的性質及無差異曲線的形狀1、公理4：連續(xù)性：即偏好不應具有“跳躍”2、公理5’：局部非飽和性，或稱局部非饜足性：即對于任意的消費都不存在充分的滿足。3、公理5：單調性：即消費者總是偏好

的商品，或者在心理上反映為多多益善。4、公理6’：凸性：即任意兩個消費束的線性組合至少應當與原來的消費束中的差者一樣好。5、公理6：嚴格凸性：即任意兩個消費束的線性組合至少應當比原來的消費束中的差者更好。公理4:連續(xù)性（

Continuity

）。對于所有的

，集合和集合根據公理4，由于集合和集合在

均是閉的，所以集合~

也是閉的。這樣就排除了圖2.1中無差異集的開區(qū)域。（即西北部表示無差異集的開區(qū)域）x

R0

n0~{x

:

x

x

}0~{x

:

x

x

}nR在

均是閉的。由此，還可推斷出

{x

:x

x0}和{x

:x

都是開集。連續(xù)性公理保證突然的偏好逆轉不會出現(xiàn)。~{X

:

x

x0

}~{X

:

x

x0nR{x

:

x0x

}2對于

X=

R

，圖

2.2

展示了滿足公理

1、公理

2、公理

3和公理4

的偏好。如圖

2.2

所示，位于曲線上的點的集合以及位于曲線內的點的集合所代表的消費束與點x0所代表的消費束無差異，位于曲線上方的點的集合所代表的消費束嚴格地偏好于x0，而x0又嚴格地偏好于位于曲線下方點的集合所代表的消費束。圖2.2在探討偏質時，通過增加關于偏好的附加假設來完成，在這些假設中，我們可由較少約束推進到較多約束。因此，給性質公理標上帶點的數字，來表明其對相關定理的替代性－－較之與其相對應的非加點的公理，它們在概念上有相似性，并且具有較少的限制性。公理5’局部非飽和性（非厭足性）（Local

Nonsatiation）。0

nx

B0

n對于所有x

R

，取任意的

0

，總會存在一些

(x

)

R

，使得x

x0

。B

(x

0)表示一個以x0

為中心，以

為半徑的一個開球。局部非飽和性意味著對于代表消費集中任意消費束的點x0

，無論

多么小，總能在以x0

為圓心，以

為半徑的鄰域內找到一消費集中消費束的點，使該消費束嚴格偏好于x0

。公理5’顯著地影響了無差異集的結構，排除了圖2.2中的無差異區(qū)域存在的可能性。圖2.3局部非飽和性假設：在給定的一個點的任何領域內，無論這個鄰域多么小，將總會存在至少一個點，使得消費者更為偏好。饜足是指某一特定的商品組合是最佳的，與最佳商品組合越接近的商品組合效用越高。而局部非饜足性則排除了饜足點的存在，對于任意的商品組合，消費者都能從適當的細微變化中獲益。局部非飽和性假設的經濟學含義是人們的是無限的。2對于

X=

R

，圖

2.3

所展示的偏好滿足公理

1

到公理

4。如圖

2.3所示，位于曲線上的點的集合所代表的消費束與點x0

所代表的消費束無差異，位于曲線上方的點的集合所代表的消費束嚴格地偏好于x0

，而x0

又嚴格地偏好于位于曲線下方的點的集合所代表的消費束。0

1

n公理

5

嚴格單調性（Monotonicity）。對于所有的x

,

x

R

，如果x0

x1

，那么x0

x1

；另一方面，如果x0

x1

，那么x0

x1

。~可以看出，公理5’與公理5

所要表達的含義相同，但后者要比2前者嚴格。公理5

排除了在R

上的無差異集向上彎曲或包含一個斜率為正的部分的可能性。它同時要求集合{x

:x

x0

}應處在無差異集的下方，集合{x

:x

x0

}應處在無差異集的上方。為更好的理解，考慮圖2.4。圖2.4單調性和局部非飽和性有聯(lián)系，實際上，單調性限制了更為偏好的點在領域內的位置。單調性對無差異曲線施加了兩個限制：無差異曲線的斜率不能為正，嚴格單調性則限制斜率為負；越遠離圓點的無差異曲線滿足程度越高。圖2.4

中的偏好與圖2.3

中的相同，滿足公理

1

到公理

4。在圖2.4

中，根據公理4

明顯可以看出，位于x0

左下方的點x1

和0

2

0

2位于x

右上方的點x

不可能位于x

的無差異集上。所以，在R

上滿足公理1

到公理4

的假說性偏好的無差異集應排除所有位于x0左下方和位于x0

右上方的點，見圖2.5。2對于X=R

，圖2.5

所展示的偏好滿足公理1

到公理5。圖2.5公理6’凸性（Convexity）。如果x2

x1

，那么對于所有的~~t

[0,1]，有xt

tx2

(1

t)x1

x1

。~公理6

嚴格凸性（Strict

Convexity）。如果x

2

≠x1

，并且x2

x1那么對于所有的t

(0,1)，有xt

x1

。對于凸性的直觀理解是消費者不會偏好于消費束，而傾向于多元化的消費。從圖

2.5

容易看出，公理6’，除了無差異集凹向原點的可能性。由此時滿足公理1

到公理

6

假設的偏好，見圖2.6。2對于X=R

，圖2.6

所展示的偏好滿足公理1

到公理6。偏好凸性假設的性質，一方面意味著無差異曲線凸向原點，經濟上意義為，兩種商品的更為平衡的組合會帶來更高的滿足程度，這源于消費者的多樣性特點，因此這一假設也被稱為多樣化偏好。至此， 得到了好的無差異曲線。最為熟悉的性狀良二、效用函數1、效用函數效用函數的定義效用是心理上的滿足程度效用函數刻畫了滿足水平與所消費的商品之間的關系若個人的偏好是完備的、反身的、傳遞的、連續(xù)的和強單調性xn

)函數可以表示為

u

f

(x1,

x2

,2、效用函數的存在性效用函數的存在性由德布魯于1954年首次提出，隨后有許多

進行了補充。在證明中，只要能夠存在一個消費束x和另一個消費束y,使得u(x)≥u(y)成立，滿足x≧y的性質3、邊際效用和邊際替代率（1）定義邊際效用是新增一個單位商品的消費所增加的總效用邊際效用公式公式：邊際效用用公式表示為效用函數的一階導數若效用函數為：2u

mu(x)

u

,

u

,x

xx

1n

u

u(x1,

x2

, ,

xn

)邊際效用遞減規(guī)律戈森認為邊際效用隨著商品數量的增加而不斷減少，以后被稱為戈森第一定理（即邊際效用遞減規(guī)律）。mu(x)

xi（2）邊際替代率是在保證效用水平不變的條件下，消費者對于所消費的商品束的替代關系。在不同領域具有不同的表達形式x1x2ABx12xo兩類商品的邊際替代率對于效用函數為：?1f

'

(x

)

0x1

x211

211u

u等式兩邊對

x

求偏導u得(x出1,f

(x1

))

c1,uf

'

(x

)

ux

xdx其中，f

'

(x

)

dx2dxu

u

dxux1

x2x1u,

2

0,

2dx1

dx1x1

x2

1,

2或者u(x另外一種推導方式，設函數為進行全微分，得到由于要滿足效用水平的不變，效用u的總變動為0，所以，1u

u(1

21

2du

u

dx

u

dxxxu

u

dx2

u

0,

dx2

ux1

x2x1

x2

dx1

dx11，222dx1

u(x)

/

x1

MRSi,

j

(x)物品1于物品2的替代率MRSdx

u(x)

/

uxu(x)

/

xidx

jdxi

u(x)

/

uxj同地，

注意:(1)MRSi,j

(x)是一正數；（2)MRSi,j

(x)表示效用不變時

xi可以替代xj的比率。邊際替代率遞減規(guī)律指：xi

xi

xj

(u

/u

)

0或者f

''

(x)

04、偏好特征與效用函數（1)良

偏好指滿足嚴格單調性和嚴格凸性的偏好，這種偏好含有一般化的偏好特征，從而往往是標準的消費者行為理論中對消費者偏好特征的描述。效用函數的特征:嚴格遞增和嚴格擬凹其中，嚴格遞增性是由偏好的嚴格單調

出嚴格擬凹是由偏好的嚴格凸

出凹性是指對于任意給定的兩個消費束，一定存在一個任意的線性組合，使得

平均消費的效用水平至少和單獨消費每一種商品所得到的消費效用水平及其

平均效用水平相一致。對某一種商品而言，其邊際效用是非遞增的。擬凹性又稱為準凹性，即對于任意給定的兩個消費束，則它們的任意消費束的效用水平至少與原消費束的差者一樣好這個性質的存在排除了無差異曲線凹向原點和平直的部分當

有，對于任意兩個消費束（也可以被認定為消費品）x0

,

x1

R

而言，當

0

1

時，存在U

x0

(1

)x1

u(x0

)

(1

)u(x1)的關系，則就可以稱

u為凹函數。進一步，x0

x1,0＜時＜，1U

x0

(1

)x1

＞u(x0

)

(1

)u(x1)則稱

u

為一個嚴格的凹函數xu(x0)

(1)u(x1)u(x0

)u

x0

(1

)x1

ouu(

x0

(1

)x1x1u(x1

)凹函數x0無差異曲線無差異曲線是一個上水平集或上等高集表示在二維平面上，消費者有商品x和y組成的任意數量組合上所得到的效用水平不存在差異無差異曲線的邊界可以被看成為一個常數無差異曲線一般具有良好行為的偏質無差異曲線具有以下性質：是凸向原點的凸函數；距離原點越遠代表的效用水平越高；不同的無差異曲線兩兩不能相交u(x)

aL

x

R,

u(x)

a

ox0x1u(x)

a3u(x)

a2u(x)

a1不同水平的等效用曲線?和?代表這條無差異曲線，當

時，一定存在：可以做出如下圖形x0

(x0

,

x0

)1

21

1

11

2x

(x

,

x

)0是效用為u的無差異曲線上的兩個點，x0

,

x1

R

的定義函數x2

0

101011

111f

x

(1

)x

f

(x

)

(1

)

f

(x

)

x2

x0

(1

)x1u

x0

(1

)x1

u11xx01x00111

x

(1

)x1x10111

x

(1

)xf0111

f

(x

)

(1

)

f

(x

)~x2

f

(x1

)12x11f

(x

)00

1fx2

(x

)u(x0

)

u(x1)

u0x1無差異曲線凸性圖x2

f

(x1

)A1A2U21UA3相交的無差異曲線（2）完全替代品（perfectsubstitutes）效用函數

u(x

,

x

)

ax

bx1

2

1

2這種偏好的特征在于每種商品的邊際效用都是不變的常量，從而邊際替代率也是不變的常量。（3）完全互補品（perfect

complements）效用函數為：u(x1

,

x2

)

minax1

,

bx2

其特點是僅僅增加一種商品的數量并不能增大效用，從而兩種商品完全沒有替代性（4）Cobb-Douglas效用函數效用函數形式：u(

x

,

x

)

xa

xb1

2

1

2

ax21,21bx這意味著邊際替代率僅僅取決于兩種商品的比例，與絕對值無關，從而有MRS1，（2

x）=MRS1,2

(tx)這種特征用圖形表示為，經過原點畫一條射線，射線上的點（不包括原點）所表示的商品組合中兩種商品的比例都相等從而這些商品組合的邊際替代率就應該相等這表現(xiàn)為這些點所處的差異曲線在這些點的切線是平行的。MRSx2Bacx1（5）擬線性偏好（quasi-linear

preference）u(x1,x2

)

v(x2

)

x1這意味著第一種商品是擬線性的。1,2v,

(x

)1MRS

(x)

，其特點在于商品組合的邊際替代率2僅僅取決于第二種商品的數量。具有第二種商品的商品組合具有相同的邊際替代率x1x02x1bacx2三、消費者的基本問題1、集約束條件可以被表示為：npx

pi

xi

wi

1x

(x1,

x2

, ,

xn

),

xi

0,i

1,

2,（1）約束：任何消費者在進行消費的過程中都存在著市場的約束，這個約束被稱為經濟約束一般地說，對于消費者的消費行為約束的具體表現(xiàn)形式有：貨幣收入水平、商品價格和和其它的行政、法律等因素相對來說，市場的價格是外生的因素若價格向量為，p

(p1,p2

,消費向量為?,

pn

),

pi

0,i

1,

2, ,

n.,

n.（2）

集是滿足消費者

約束的集合，又被稱為可行消費集，瓦爾拉斯

集或競爭性的集它決定了

集的上邊界可以表示為

2 1

1

2

2B

x

R

,

p

x

p

x

wABOx1x2B（3）集的性質都以同樣的比例t變化時，集保持不變。?集是一個凸集，即任意兩個消費束中的線性組合仍然在這個集中。p2線滿足零次齊次性：即當收入與價格斜率為

p1

代表兩種商品之間的交換比例

n

n

B

x

|R

,t

px

tw

x

|R

,

px

w

x0

(1

)

x1

x22、效用最大化的選擇（1）效用最大化的問題的約束下，選擇最為偏在給定價格和好的消費束在有收入和價格水平的約束中，所求出的最優(yōu)解被稱為瓦爾拉斯需求對應，當n=2時，收入與價格水平的單值結果x(p,w)為瓦爾拉斯需求函數，又被稱為是馬歇爾需求函數，記為：x

f

(

p,

w)效用最大化問題可以表示為:最優(yōu)的消費束可以表示為：對于所有的價格和水平都是單值時，則稱為瓦爾拉斯需求函數，或稱為馬歇爾需求函數，記為x=f

(p,w)ma

x

u(x)xs.t px

wx(p,w)

R

ns.tp1

x1

p2

x2構造拉格朗日函數max在約束條件下的求最大的效用值L

f

(x1,

x2

,

)

u(x1,

x211

1222L

w